第三章4.3第1課時空間中的角基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

課程標準1.理解兩異面直線所成的角與它們的方向向量之間的關(guān)系,會用向量方法求兩異面直線所成的角.2.理解直線與平面所成的角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系,會用向量方法求直線與平面所成的角.3.理解二面角的平面角與兩個平面法向量夾角之間的關(guān)系,會用向量方法求二面角的平面角的大小.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

兩條直線所成的角當兩條直線a與b相交時,我們把兩條直線交角中范圍在

內(nèi)的角叫作兩條直線所成的角.當兩條直線平行時,規(guī)定它們所成的角為0.

兩直線重合時,它們所成角也為0當兩條直線a與b是異面直線時,在空間任取一點O,過點O作直線a'和b',使得a'∥a,b'∥b,把a',b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(如圖).若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b所成的角θ∈

,且θ與兩個方向向量所成的角<a,b>相等或互補,也就是說:當0≤<a,b>≤時,θ=<a,b>;如圖:當

<<a,b>≤π時,θ=π-<a,b>,故cosθ=|cos<a,b>|.如圖:名師點睛不要將兩直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來,因為兩直線所成角的范圍是

,而兩個向量夾角的范圍是[0,π],事實上,兩直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關(guān)系.過關(guān)自診1.[人教A版教材習題]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BD1與AF1所成角的余弦值是(

)A解析

(方法一:坐標法)建立如圖1所示的空間直角坐標系,圖1設(shè)BC=CA=CC1=2,∴B(0,2,0),D1(1,1,2),A(2,0,0),F1(1,0,2),圖22.[人教A版教材習題]如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別是AD,BC的中點,求異面直線AN,CM所成角的余弦值.3.[人教A版教材習題]如圖,M,N分別是正方體ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中點.求:(1)MN和CD'所成角的大小;(2)MN和AD所成角的大小.知識點2

直線與平面所成的角設(shè)向量l為直線l的一個方向向量,n是平面α的一個法向量,則直線l與平面α所成的角θ∈指直線和它在平面內(nèi)的投影所成角

圖1圖2故sinθ=|cos<l,n>|.名師點睛1.直線與平面平行或在平面內(nèi)時,規(guī)定直線與這個平面所成角為0.2.直線與平面垂直,規(guī)定直線與這個平面所成角為

.3.若<l,n>是一個銳角,則θ=-<l,n>;若<l,n>是一個鈍角,則θ=<l,n>-.過關(guān)自診1.[人教A版教材習題]PA,PB,PC是從點P出發(fā)的三條射線,每兩條射線的夾角均為60°,那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是(

)C解析

如圖所示,把PA,PB,PC放在正方體中,PA,PB,PC的夾角均為60°.建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)正方體棱長為1,則P(1,0,0),C(0,0,1),A(1,1,1),B(0,1,0).2.[人教A版教材習題]如圖,在三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OA=OC=3,OB=2.求直線OB與平面ABC所成角的正弦值.提示

∵OA,OB,OC兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系.∵OA=OC=3,OB=2,∴O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0).3.[人教A版教材習題]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,K,L分別是AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA各棱的中點.(1)求證:A1C⊥平面EFGHKL;(2)求DB1與平面EFGHKL所成角的余弦值.知識點3

兩個平面所成的角一般地,已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角<n1,n2>相等(如圖(1))或互補(如圖(2)).圖(2)圖(1)名師點睛1.二面角的平面角的取值范圍是[0,π].2.利用向量求二面角的平面角有兩種方法.(1)幾何法:若AB,CD分別在二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi),且是與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量

的夾角(或其補角)(如圖1).圖1圖2(2)向量法:設(shè)n1,n2是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是二面角的平面角的大小(如圖2).過關(guān)自診1.兩平面相交時,它們所成角的取值范圍是什么?2.[人教A版教材習題]如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,求二面角A-A1B-C1的平面角的余弦值.提示

∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2,取BC的中點O,則AO⊥BC,∴AO⊥平面BB1C1C.取B1C1的中點H,連接OH,∴AO,BO,OH兩兩垂直,以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.3.[人教A版教材習題]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在BB1,DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.(1)求證:A1C⊥平面AEF;(2)當AB=4,AD=3,AA1=5時,求平面AEF與平面D1B1BD的夾角的余弦值.提示

(1)(方法一)∵CB⊥平面A1ABB1,∴A1C在平面A1ABB1上的投影為A1B.由A1B⊥AE,AE?平面A1ABB1,得A1C⊥AE.同理可證A1C⊥AF.∵AF∩AE=A,∴A1C⊥平面AEF.∴A1C⊥AE.同理A1C⊥AF.∵AE∩AF=A,∴A1C⊥平面AEF.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用向量方法求兩異面直線所成的角【例1】

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,求異面直線A1B與B1C所成角的余弦值.規(guī)律方法

1.若異面直線l1與l2所成角為θ,且它們的方向向量分別為向量a,b,利用向量計算θ的步驟如下:2.求兩條異面直線所成的角的兩個關(guān)注點.(1)余弦值非負:兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值,而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角.(2)范圍:異面直線所成角的范圍是

,故兩直線方向向量夾角的余弦值為負時,應(yīng)取其絕對值.

解

建立如圖所示的空間直角坐標系,探究點二利用向量方法求直線與平面所成的角【例2】

如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)求證:MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.規(guī)律方法

若直線l與平面α的夾角為θ,利用法向量計算θ的步驟如下:變式訓練2如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(

)探究點三利用向量方法求兩個平面所成的角【例3】

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點.(1)求證:AE⊥PD;(2)若PA=AB=2,求二面角E-AF-C的平面角的余弦值.(1)證明

由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,可得△ABC為正三角形.因為E為BC的中點,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因為PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA?平面PAD,AD?平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD,所以AE⊥PD.取z1=-1,則m=(0,2,-1).連接BD,因為BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC.規(guī)律方法

用幾何法求二面角,往往需要作出其平面角,這是幾何中的難點之一;而用向量法求解二面角的平面角,只需求出平面的法向量,經(jīng)過簡單運算即可.變式訓練3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求證:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的平面角的余弦值;(3)在線段BC1上是否存在點D(異于B,C1兩點),使得AD⊥A1B,并求

的值.(1)證明

∵四邊形AA1C1C為正方形,∴AA1⊥AC.∵平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,∴AA1⊥平面ABC.(2)解

由(1)知A1A⊥AC,AA1⊥AB,由題意知,AB=3,BC=5,AC=4,則AB⊥AC.如圖,以A為坐標原點建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z).本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)兩條直線所成角、直線與平面所成的角、兩個平面所成的角的取值范圍.(2)兩條直線所成角和兩條直線的方向向量所成角的關(guān)系.(3)直線與平面所成的角和直線的方向向量與平面的法向量所成角的關(guān)系.(4)二面角的平面角與兩個半平面的法向量所成角的關(guān)系.2.方法歸納:幾何法、向量法.3.常見誤區(qū):忽視所求角的取值范圍,求線面角時易誤求線面角的余角,二面角是鈍角還是銳角判斷錯誤.成果驗收·課堂達標檢測123451.平面α的斜線l與它在這個平面上投影l(fā)'的方向向量分別為a=(1,0,1),b=(0,1,1),則斜線l與平面α所成的角為(

)A.30° B.45°C.60° D.90°C123452.(多選題)在一個二面角的兩個平面內(nèi),和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,-1,3),(2,2,4),則這個二面角的平面角的余弦值為(

)AB123453.正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(

)D12345解析

以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸