./第三章多維隨機變量及其分布1.[一]在一箱子里裝有12只開關(guān),其中2只是次品,在其中隨機地取兩次,每次取一只?？紤]兩種試驗：〔1放回抽樣,〔2不放回抽樣。我們定義隨機變量X,Y如下：試分別就〔1〔2兩種情況,寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：〔1放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。P<X=i,Y=j>=P<X=i>P<Y=j>P<X=0,Y=0>=P<X=0,Y=1>=P<X=1,Y=0>=P<X=1,Y=1>=或?qū)懗蒟Y0101〔2不放回抽樣的情況P{X=0,Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=1,Y=0}=P{X=1,Y=1}=或?qū)懗蒟Y01013.[二]盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到白球的只數(shù),求X,Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：〔X,Y的可能取值為<i,j>,i=0,1,2,3, j=0,12,i+j≥2,聯(lián)合分布律為P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=0}=P{X=2,Y=1}=P{X=2,Y=2}=P{X=3,Y=0}=P{X=3,Y=1}=P{X=3,Y=2}=05.[三]設(shè)隨機變量〔X,Y概率密度為〔1確定常數(shù)k。 〔2求P{X<1,Y<3}〔3求P<X<1.5} 〔4求P<X+Y≤4}分析：利用P{<X,Y>∈G}=再化為累次積分,其中解：〔1∵,∴〔2〔3y〔4y6．〔1求第1題中的隨機變量〔X、Y的邊緣分布律。〔2求第2題中的隨機變量〔X、Y的邊緣分布律。2解：〔1①放回抽樣〔第1題2XY0x+y=41x+y=410xoxo1邊緣分布律為 X 0 1 Y 0 1 Pi·P·j②不放回抽樣〔第1題XY0101邊緣分布為 X 0 1 Y 0 1 Pi·P·j〔2〔X,Y的聯(lián)合分布律如下XY0123000300解：X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X 0 1 2 3 Y 1 3Pi·P·j7.[五]設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為解：8.[六]設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。x=yyxo解:xo9.[七]設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為〔1試確定常數(shù)c?！?求邊緣概率密度。解:l=yoyoy=x2xy=x2x15.第1題中的隨機變量X和Y是否相互獨立。解：放回抽樣的情況P{X=0,Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=在放回抽樣的情況下,X和Y是獨立的不放回抽樣的情況：P{X=0,Y=0}=P{X=0}=P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=P{X=0}·P{Y=0}=P{X=0,Y=0}≠P{X=0}P{Y=0}∴X和Y不獨立16.[十四]設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在〔0,1上服從均勻分布。Y的概率密度為〔1求X和Y的聯(lián)合密度?！?設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實根的概率。解：〔1X的概率密度為y=x2Y的概率密度為y=x21xDyo且知X,Y相互獨立,1xDyo于是〔X,Y的聯(lián)合密度為〔2由于a有實跟根,從而判別式即：記19.[十八]設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機變量,其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨立的,試求〔1兩周〔2三周的需要量的概率密度。解：〔1設(shè)第一周需要量為X,它是隨機變量設(shè)第二周需要量為Y,它是隨機變量且為同分布,其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量,由X和Y的獨立性可知：∵z≥0∴當(dāng)z<0時,fz<z>=0當(dāng)z>0時,由和的概率公式知∴〔2設(shè)z表示前兩周需要量,其概率密度為設(shè)ξ表示第三周需要量,其概率密度為：z與ξ相互獨立η=z+ξ表示前三周需要量則：∵η≥0, ∴當(dāng)u<0, fη<u>=0當(dāng)u>0時所以η的概率密度為22.[二十二]設(shè)某種型號的電子管的壽命〔以小時計近似地服從N〔160,20分布。隨機地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時的概率。解：設(shè)X1,X2,X3,X4為4只電子管的壽命,它們相互獨立,同分布,其概率密度為：設(shè)N=min{X1,X2,X3,X4}P{N>180}=P{X1>180,X2>180,X3>180,X4>180}=P{X>180}4={1－p[X<180]}4=<0.1587>4=0.0006327.[二十八]設(shè)隨機變量〔X,Y的分布律為XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05〔1求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0}〔2求V=max<X,Y>的分布律〔3求U=min<X,Y>的分布律解：〔1由條件概率公式P{X=2|Y=2}===同理 P{Y=3|X=0}=〔2變量V=max{X,Y}顯然V是一隨機變量,其取值為V：012345P{V=0}=P{X=0Y=0}=0P{V=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=1}=0.01+0.02+0.01=0.04P{V=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}+P{Y=2,X=0}+P{Y=2,X=1}=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P{V=3}=P{X=3,Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}+P{Y=3,X=0}+P{Y=3,X=1}+P{Y=3,X=2}=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P{V=4}=P{X=4,Y=0}+P{X=4,Y=1}+P{X=4,Y=2}+P{X=4,Y=3}=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P{V=5}=P{X=5,Y=0}+……+P{X=5,Y=3}=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28〔3顯然U的取值為0,1,2,3P{U=0}=P{X=0,Y=0}+……+P{X=0,Y=3}+P{Y=0,X=1}+……+P{Y=0,X=5}=0.28同理P{U=1}=0.30P{U=2}=0.25P{U=3}=0.17或縮寫成表格形式〔2V 0 1 2 3 4 5Pk0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28〔3 U 0 1 2 3Pk0.28 0.30 0.25 0.17〔4W=V+U顯然W的取值為0,1,……8P{W=0}=P{V=0U=0}=0P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1U=0}∵V=max{X,Y}=0又U=min{X,Y}=1不可能上式中的P{V=0,U=1}=0,又P{V=1U=0}=P{X=1Y=0}+P{X=0Y=1}=0.2故P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1,U=0}=0.2P{W=2}=P{V+U=2}=P{V=2,U=0}+P{V=1,U=1}=P{X=2Y=0}+P{X=0Y=2}+P{X=1Y=1}=0.03+0.01+0.02=0.06P{W=3}=P{V+U=3}=P{V=3,U=0}+P{V=2,U=1}=P{X=3Y=0}+P{X=0,Y=3}+P{X=2,Y=1}+P{X=1,Y=2}=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13P{W=4}=P{V=4,U=0}+P{V=3,U=1}+P{V=2,U=2}=P{X=4Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}=0.19P{W=5}=P{V+U=5}=P{V=5,U=0}+P{V=5,U=1}+P{V=3,U=2}=P{X=5Y=0}+P{X=5,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=2,Y=3}=0.24P{W=6}=P{V+U=6}=P{V=5,U=1}+P{V=4,U=2}+P{V=3,U=3}=P{X=5,Y=1}+P{X=4,Y=2}+P{X=3,Y=3}=0.19P{W=7}=P{V+U=7}=P{V=5,U=2}+P{V=4,U=3}=P{V=5,U=2}+P{X=4,Y=3}=0.6+0.6=0.12P{W=8}=P{V+U=8}=P{V=5,U=3}+P{X=5,Y=3}=0.05或列表為W 0 1 2 3 4