1第六章《平面向量及其應(yīng)用》人教A版2019必修第二冊(cè)目錄CONTENTS

01本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

02本章題型歸納

03本章常見考點(diǎn)分析

04教材復(fù)習(xí)參考題6PPT第一板塊

本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)3一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)第二板塊

本章題型歸納7三、本章題型歸納第三板塊

本章常見考點(diǎn)分析9第三板塊本章常見考點(diǎn)分析

01專題一、平面向量的概念

02專題二、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

03專題三、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用專題一平面向量的概念及線性運(yùn)算1專題一

平面向量的概念及線性運(yùn)算121.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.考試要求ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.向量的有關(guān)概念知識(shí)梳理(2)零向量：__________的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于__________長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向______或______的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量______.(5)相等向量：長度______且方向______的向量.(6)相反向量：長度______且方向______的向量.大小方向長度長度為01個(gè)單位相同相反平行相等相同相等相反2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝________(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__________b＋aa＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝_________；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向______；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向______；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝_________|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使__________.b＝λa[常用結(jié)論]KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念例1

(1)(多選)下列命題正確的有(

)AD

解析方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故A正確；單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

C感悟提升訓(xùn)練1

(1)(多選)下列命題中正確的有(

)A.平行向量就是共線向量B.相反向量就是方向相反的向量C.a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞bD.兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件解析由平行向量和共線向量可知，A正確；因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長度相等的兩個(gè)向量，所以B是錯(cuò)誤的；因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任意兩個(gè)向量都不能比較大小，所以C是錯(cuò)誤的；因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行不能推出兩個(gè)向量相等，而兩個(gè)向量相等，則這兩個(gè)向量一定平行，因此兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件，所以D正確.AD

(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在腰AD，BC上，EF過點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是(

)D

考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算角度1平面向量加、減運(yùn)算的幾何意義A角度2向量的線性運(yùn)算A解析如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，

角度3利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)解析

如圖.∵AD為BC邊上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.感悟提升

C解析如圖所示，易知BC＝4AD，CE＝2AD，

考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用DAA.3 B.4C.5 D.6解析延長AG交BC于點(diǎn)H(圖略)，則H為BC的中點(diǎn)，∵G為△ABC的重心，感悟提升A解析設(shè)ke1＋e2＝m(e1＋ke2)，且m＜0，因?yàn)閑1與e2是不共線的非零向量，C等和線的應(yīng)用拓展視野2解析法一由已知可設(shè)OA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系(圖略).

法二如圖，連接AB交OC于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值為2.

法三(等和線法)連接AB，因?yàn)椤螦OB＝120°，所以x＋y的最大值為2.

專題二

平面向量基本定理及坐標(biāo)表示441.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.考試要求ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.平面向量的基本定理知識(shí)梳理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)____________結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝____________________基底若e1，e2________，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底不共線向量λ1e1＋λ2e2不共線2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)__________的向量，叫做把向量作正交分解.互相垂直3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模(x1＋x2,y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是______________.x1y2－x2y1＝0[常用結(jié)論]1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用B

解析如圖所示.∵A，M，Q三點(diǎn)共線，1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.感悟提升B

B解析如圖所示，平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)，且DC＝3DF，考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算C

(2)(2023·北京人大附中統(tǒng)練)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底{a，b}表示c，則(

)A.c＝2a－3b

B.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2b

D.c＝3a－2bD解析如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，則A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，設(shè)向量c＝ma＋nb，則c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.感悟提升A

6解析以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示角度1利用向量共線求參數(shù)A解析∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4，2)，又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，∴2m＋4＝0，解得m＝－2，故選A.

角度2利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)解析因?yàn)辄c(diǎn)O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.感悟提升訓(xùn)練3

平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；解a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，

解設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，

專題三平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用701.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.考試要求ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念知識(shí)梳理(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量__________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝

.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.|a||b|cosθ|a||b|cosθ2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.[常用結(jié)論]1.兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個(gè)向量.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一數(shù)量積的計(jì)算C解析由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，

0

法二建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法：(1)基底法，當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題；(2)坐標(biāo)法，當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.感悟提升C解析設(shè)a與b所成的角為θ，故a在b上的投影向量為(|a|cosθ)e＝－2e.故選C.

11

－1以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，

考點(diǎn)二數(shù)量積的應(yīng)用角度1夾角與垂直例2

(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝(

) A.－6 B.－5 C.5

D.6解析由題意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因?yàn)椤碼，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，C

角度2平面向量的模例3

(2023·華大新高考聯(lián)盟質(zhì)測(cè))已知平面向量a，b，c滿足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，則|a|＝________.解析依題意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2，故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°，感悟提升訓(xùn)練2(1)(2022·全國乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則|a－b|＝(

)A.2 B.3 C.4

D.5解析由題意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，D

B解析由已知得(a－2b)·a＝a2－2a·b＝|a|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，則|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，

(3)(2023·贛州十七校聯(lián)考)已知a＝(1，2)，b＝(－1，3)，若(ka＋b)⊥(2a－b)恒成立，則k的值為________.解析因?yàn)閍＝(1，2)，b＝(－1，3)，所以ka＋b＝(k－1，2k＋3)，2a－b＝(3，1).因?yàn)?ka＋b)⊥(2a－b)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即3(k－1)＋2k＋3＝0，解得k＝0.0考點(diǎn)三平面向量與三角的結(jié)合應(yīng)用AC

向量與三角函數(shù)結(jié)合時(shí)，通常以向量為表現(xiàn)形式，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)問題，要注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系.感悟提升訓(xùn)練3

已知A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·