考點(diǎn)15空間幾何的平行與垂直一．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b二．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b如果兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的一直線平行與另外平面線線平行相似比（常用三角形的中位線）構(gòu)造平行四邊形（證明一組對邊平行且相等）平行的傳遞性線面垂直的性質(zhì)：垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行線面平行的性質(zhì)面面平行的性質(zhì)平面向量空間向量線面平行證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．五．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b六．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α七．證明線線垂直的思路考點(diǎn)一證明線面平行常用方法【例11】（2023·云南昭通）如圖，在四棱錐中，正方形的邊長為2，是的中點(diǎn)，求證：平面【例12】（2023·遼寧）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，、分別為、的中點(diǎn)，證明：平面.【例13】（2023北京）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)在棱上.證明：當(dāng)時(shí)，直線平面【例14】（2023·安徽）已知四棱錐中，，設(shè)平面平面，求證：【例15】（2023·江蘇）如圖，在多面體ABCDEE中，求證：平面【例16】（2023江西）在如圖所示的幾何體中，，，均為等邊三角形，且平面平面，平面平面，證明：；【變式】1．（2023·遼寧）如圖，四棱錐中，底面為正方形，E為中點(diǎn)，證明：平面2．（2023·江西）如圖，在四棱錐中，為線段的中點(diǎn)，，證明：平面3．（2023·內(nèi)蒙古）如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)，求證：平面4．（2023·甘肅）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，M，N分別為，的中點(diǎn)，求證：平面5．（2023·河南）在棱長為2的正方體中，是底面的中心，求證:平面6（2023·福建）如圖，四邊形為矩形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：平面7．（2023·重）五棱錐中，，，，，，為的中點(diǎn)，求證：平面8.（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面平面，，，是等邊三角形，O，M分別為線段AB，PB的中點(diǎn)，且，，求證：平面9．（2023·江西）如圖，已知四邊形為菱形，對角線與相交于O，，平面平面直線，求證：10．（2023春·山東濱州）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，，AB=2CD，設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，PA，PB的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，證明：平面DEF．考點(diǎn)二證明面面平行【例2】（2023·遼寧朝陽）如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，，證明：平面平面【變式】1．（2023·海南海口·校聯(lián)考一模）如圖所示的多面體由正四棱柱與正四棱錐組合而成，與交于點(diǎn)，，，，證明：平面平面2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的多面體中，形為矩形，求證：平面平面3（2023·陜西）如圖所示，已知點(diǎn)P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M，N，Q分別，，的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明平面平面；（2）求證：．考點(diǎn)三證明線面垂直【例31】（2023·浙江溫州）如圖，直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，O為的中點(diǎn)，證明：平面【例32】（2023·廣西）如圖，在四面體中，，分別是線段，上的點(diǎn)且，，，，，，，證明：平面【例33】（2023·重慶）如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)面底面，且分別為棱的中點(diǎn)，求證：【例34】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，為中點(diǎn)，，求證：平面【例44】（2023·廣東佛山）已知平行六面體的各條棱長均為2，且有，求證：平面【變式】1.（2023·北京·統(tǒng)考高考真題節(jié)選）如圖，在三棱錐中，平面，，求證：平面PAB；2.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，在平面ABC的射影恰為等邊三角形ABC的中心，且，，證明：平面3．（2023·福建）如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點(diǎn)，證明：平面4．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱中，M為的中點(diǎn)，，，求證：平面5．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形和四邊形是全等的直角梯形，且這兩個(gè)梯形所在的平面相互垂直，其中，，證明：平面6．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱中，為的中點(diǎn)，，求證：平面考點(diǎn)四線線垂直【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．證明：.【變式】1．（2024·云南）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，，，，且在中，，，求證：2．（2023·湖北）如圖，在梯形ABCD中，，將沿著BD折起到的位置，使得平面平面，證明：3．（2023湖南）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，且在中，，求證：考點(diǎn)五面面垂直【例5】（2023·遼寧沈陽）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面為棱的中點(diǎn)，證明：平面平面【變式】1．（2023·山東威海）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面平面2．（2023·河南）如圖，在幾何體中，平面，求證：平面平面3．（2024·黑龍江）如圖，在四棱錐中，，．求證：平面平面1．（2023河北）在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．求證：平面.2．（2023·廣西）如圖，正四棱錐中，E為PA的中點(diǎn)，求證：平面EBD.3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且．求證：平面.4．（2023·河南）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，證明：平面5．（2023·河北）如圖，在四棱錐中，，設(shè)分列為棱的中點(diǎn)，證明：平面6．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，為頂點(diǎn)，底面為正方形，設(shè)面與面交于交線，求證：7．（2023·北京）如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：平面8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.9．（2023·陜西）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，且，點(diǎn)在棱上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為中點(diǎn)，若，求證：直線//平面10．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，是邊長為2的正三角形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，證明：平面11．（2023·四川綿陽）如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面12.（2023·山西）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，平面，過的平面交平面于，證明：平面13．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，證明：平面14.（2023·湖北荊門）如圖，點(diǎn)為半圓弧上異于，的點(diǎn)，在矩形中，，設(shè)平面與平面的交線為，證明：平面15．（2023·浙江）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，證明：平面16．（2023貴溪市）在直三棱柱中,分別為的中點(diǎn),，證明:平面17．（2023·上海）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，證明：直線平面18．（2023·遼寧）如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且為棱中點(diǎn)，求證：平面19．（2023·四川）將長方體沿截面截去一個(gè)三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面20（2023·新疆）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面21．（2023·云南·高二學(xué)業(yè)考試）已知：如圖，四棱錐，平面，四邊形是平行四邊形，為中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求證：.22．（2023·安徽）如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：23．（2024·江蘇揚(yáng)州）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，，求證：24．（四川省遂寧市2024屆高三一模數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面，求證：25．（2023·云南昆明）如圖甲，在矩形中，，，，為邊上的點(diǎn)，且.將沿翻折，使得點(diǎn)到，滿足平面平面，連接，，如圖乙，求證：平面平面；26．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，側(cè)棱底面，且，，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，，證明：27．（2024·黑龍江哈爾濱）如圖，在以為頂點(diǎn)，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為是圓所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且是圓的切線，連接交圓于點(diǎn)，連接，求證：平面28．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，證明：平面29．（2023·河南）已知正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，證明：30．（2023·江西）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面，證明：31．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，且，，E為棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PB上的點(diǎn)，證明：32．（2023上·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是平行四邊形，且，，，，，證明：平面33．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知三棱錐中,，，為的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，證明：平面34．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，四邊形CDEF是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，，，G，H分別為CF，DE的中點(diǎn)，證明：平面BDE35．（2023貴州銅仁）如圖,在直角梯形中，，，且，現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面互相垂直，求證：平面平面36（2023·內(nèi)蒙古）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在上，且，證明：平面37.（2023·河南）如圖，已知斜四棱柱，底面為等腰梯形，E為線段的中點(diǎn)，四邊形為菱形，點(diǎn)到底面的距離為，且為線段的中點(diǎn)，證明：平面38．（2023·四川）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，二面角的大小是，分別是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：平面39．（2023·江蘇）如圖，在四棱錐中，是正三角形，，平面平面，是棱上動(dòng)點(diǎn)，求證：平面平面40（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，，求證：平面平面41．（2023上·四川成都·）如圖，長方體中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱，為棱的中點(diǎn)，證明：平面平面42．（2023·河北邢臺·寧晉中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，，，，證明：43．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，，是上一點(diǎn)，，，．將沿著翻折，使運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，得到四棱錐，證明：44．（2023·全國·高三校聯(lián)考期中）如圖所示，在四棱錐中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，求證：45．（2023·河南）如圖，在三棱柱中，，平面平面為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.46．（2023·廣東佛山）在四棱錐中，已知底面是直角梯形，，平面平面，且，證明：平面平面47．（2023·河南駐馬店）如圖1，梯形中，，過，分別作，，垂足分別為、.若，，，將梯形沿，折起，且平面平面（如圖2），證明：48．（2023·海南省直轄縣級單位）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面，求證：49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知長方形中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起，使得平面平面．求證：．50（2023·陜西西安）如圖，在四棱錐中，，，，，求證：平面平面1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分