人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)勾股定理導(dǎo)入新課有一個(gè)角為90°的三角形,叫做直角三角形直角三角形的概念你知道在古代，人們?nèi)绾畏Q呼直角三角形的三邊嗎？勾股弦

勾、股、弦之間有什么關(guān)系呢？探究新知我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：你從圖片中發(fā)現(xiàn)了什么？觀察(1)三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？?jī)蓚€(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面積思考SS1S2等腰直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.S=S1+S2，abc(2)圖中正方形s1、s2、s所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？s1s2s即c2=a2+b2.探究在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個(gè)小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？方法1：補(bǔ)形法(把以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：你還有其他辦法求C的面積嗎？根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖413259169思考正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？知識(shí)歸納命題1如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.由上面的幾個(gè)例子，我們猜想：abc思考你能用不同的方式證明命題1嗎？abbcabca證法1

讓我們跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.abc∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,證明：“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.證法2畢達(dá)哥拉斯證法，請(qǐng)先用手中的四個(gè)全等的直角三角形按圖示進(jìn)行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.在我國(guó)又稱商高定理，在外國(guó)則叫畢達(dá)哥拉斯定理，或百牛定理.

如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.公式變形（a、b、c為正數(shù)）勾股定理abc知識(shí)歸納練習(xí)1.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.解：由勾股定理得52+122=c2,c=13;解：由勾股定理得62+b2=102,b=8;解：由勾股定理得a2+152=252,a=20.2.如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的邊長(zhǎng)分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.解：根據(jù)圖形正方形E的邊長(zhǎng)為:故E的面積為:252=625.例題與練習(xí)例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．(1)若a＝

，c＝4，求b；(2)若c＝8，∠A＝30°，求b；(3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC.解：(1)b＝3；(2)b＝

；(3)S△ABC＝54.例2如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的長(zhǎng)．解：∵AD⊥BC，∴在Rt△ADC中，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，例3如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，把△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點(diǎn)E，若AD＝4，DC＝3，求BE的長(zhǎng)．解：由折疊的性質(zhì)，得△ACD≌△ACD′，∴∠D′＝∠D＝90°，CD′＝CD＝AB＝3.∵∠AEB＝∠CED′，∠B＝∠D′＝90°，∴△ABE≌△CD′E(AAS)，設(shè)BE＝x，則AE＝CE＝4－x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2，即(4－x)2＝32＋x2，∴AE＝CE.練習(xí)1.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是(

)A．48B．60C．76D．80C2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＋b＝

，c＝3，求△ABC的面積．∴a2＋b2＋2ab＝12.由題知，a2＋b2＝c2＝9，解：∵a＋b＝

，課堂小結(jié)勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個(gè)角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時(shí)一定要分類討論證明人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理17.1勾股定理第2課時(shí)勾股定理的應(yīng)用導(dǎo)入新課勾股定理的概念在任何一個(gè)平面直角三角形中的兩直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。在△ABC中，∠C=90°，則a2+b2=c21.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊為a，b，c，∠C＝90°.52012(1)已知a＝3，b＝4，則c＝______；(2)已知c＝25，b＝15，則a＝_______；(3)已知c＝19，a＝13，則b＝_______；(結(jié)果保留根號(hào))(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，則b＝______．思考2．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)的點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，則該河流的寬度為_________m.480思考問題觀看下面同一根長(zhǎng)竹竿以三種不同的方式進(jìn)門的情況，對(duì)于長(zhǎng)竹竿進(jìn)門之類的問題你有什么啟發(fā)？這個(gè)跟我們學(xué)的勾股定理有關(guān)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題探究新知一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m,寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?2m1mABDC【思考】（1）木板能橫著或豎著從門框通過嗎？（2）這個(gè)門框能通過的最大長(zhǎng)度是多少？不能（3）怎樣判定這塊木板能否通過木框？求出斜邊的長(zhǎng)，與木板的寬比較.小于AC即可.解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5因?yàn)锳C大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.

2m1mABDC知識(shí)歸納利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)問題直角三角形勾股定理實(shí)際問題轉(zhuǎn)化利用構(gòu)建解決例題與練習(xí)ABDCO

解：在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例1如圖，一架2.6m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?例2如圖，在一棵樹的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹，走到離樹20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直接躍向池塘A處(假設(shè)它經(jīng)過的路線為直線)，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，求這棵樹的高．解：設(shè)BD＝xm．由題意知，BC＋AC＝BD＋AD，∴AD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10＋x)2＋202＝(30－x)2，解得x＝5，∴x＋10＝5＋10＝15.答：這棵樹高15m.例3如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)BE＝15cm，寬AB＝10cm，高AD＝20cm，點(diǎn)M在CH上，且CM＝5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是多少？解：分兩種情況比較最短距離：如答圖①所示，螞蟻爬行的最短路線為AM，答：需要爬行的最短距離是25cm.∴第二種路線較短，此時(shí)最短距離為25cm.

立體圖形中求兩點(diǎn)間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.歸納如答圖②所示，螞蟻爬行的最短路線為AM，應(yīng)用勾股定理的前提是在________三角形中．如果三角形不是直角三角形，要先_________________，再利用勾股定理求未知邊的長(zhǎng)．知識(shí)歸納注意：①在直角三角形中，已知兩邊長(zhǎng)，利用勾股定理求第三邊時(shí)，要弄清楚直角邊和斜邊，沒有明確規(guī)定時(shí)，要__________，以免漏解；②求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離的方法：把立體圖形的表面展開成平面圖形，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，______最短”確定路徑，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算；③用勾股定理解決折疊問題時(shí)，能夠重合的線段、角和面積______．直角構(gòu)造直角三角形分類討論線段相等1.如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果取整數(shù)）.解:練習(xí)2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(5，0)和B(0，4)，求這兩點(diǎn)間的距離.解：在Rt△AOB中，∴A、B兩點(diǎn)間的距離為.∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41,

∴AB=.∵OA=5，OB=4,3．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則圖中與格點(diǎn)A的距離是

的格點(diǎn)有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)C3．如圖，小華將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為________m.174．如圖，牧童在A處放牛，牧童家在B處，A，B處距河岸的距離AC，BD分別為500m和300m，且C，D兩處的距離為600m，天黑前牧童從A處將牛牽到河邊去飲水，再趕回家，那么牧童最少要走多少米？解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交CD于點(diǎn)P，答：牧童最少要走1000m.過點(diǎn)A作B′B的垂線，垂足為E.B′PE在Rt△AB′E中，AE＝600m，B′E＝800m，課堂小結(jié)勾股定理的應(yīng)用用勾股定理解決實(shí)際問題用勾股定理解決幾何問題解決“HL”判定方法證全等的正確性問題形象說明無(wú)理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理17.1勾股定理第3課時(shí)利用勾股定理作圖導(dǎo)入新課欣賞下面海螺的圖片：在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案，如第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽.這個(gè)圖是怎樣繪制出來的呢？1．在等腰直角三角形中，直角邊為1，斜邊為多少？21？2．若直角三角形的兩直角邊分別為

，1，斜邊為多少？11思考-101

233.你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？呢？提示：可以構(gòu)造直角三角形作出邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊，就能在數(shù)軸上畫出表示該無(wú)理數(shù)的點(diǎn).探究新知思考

在八年級(jí)上冊(cè)中我們?cè)?jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.求證：

△ABC≌△A′B′C′.證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∠C=∠C′=90°又AB=A′B′,AC=A′C′，根據(jù)勾股定理，得∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.探究我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？分析：13開方就是，如果一個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為的話，問題就可迎刃而解了.是直角邊分別為2，3的直角三角形的斜邊長(zhǎng).√√步驟：01234lABC1.在數(shù)軸上找到點(diǎn)A,使OA=3;2.作直線l⊥OA,在l上取一點(diǎn)B，使AB=2;3.以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn).O也可以使OA=2，AB=3，同樣可以求出C點(diǎn).利用勾股定理表示無(wú)理數(shù)的方法:（1）利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點(diǎn)為圓心，以無(wú)理數(shù)斜邊長(zhǎng)為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點(diǎn)，在原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示是負(fù)無(wú)理數(shù)，在原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示是正無(wú)理數(shù).知識(shí)歸納類似地，利用勾股定理可以作出長(zhǎng)為線段.探究新知“數(shù)學(xué)海螺”11-101

23例題與練習(xí)01234lABC作法：（1）在數(shù)軸上找到點(diǎn)A，使OA=1；例1

在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn).（2）過點(diǎn)A作直線垂直于OA，在直線上取點(diǎn)B,使AB=4，那么OB=；（3）以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C，則OC=.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)C為表示的點(diǎn).

練習(xí)1.在數(shù)軸上作出表示

的點(diǎn)．∴是以4，1為直角邊的直角三角形斜邊的長(zhǎng)，-3-2-1

01-4-5C如圖，即點(diǎn)C表示.2.如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是6.求：（1）高AD的長(zhǎng)；（2）這個(gè)三角形的面積.解：（1）AD⊥BC于D，則BD=CD=3.（2）S=·BC·AD=×6×3≈15.6在Rt△ABD中，由勾股定理AD2=AB2-BD2=62-32=27，故AD=3≈5.2例2利用如圖4×4的方格，作出面積為8平方單位的正方形，然后在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)

和.解：如圖．01234-4-3-2-1例3如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．(1)在圖①中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為5的正方形；圖①解：如圖①所示；(2)如圖②，A，B