2．1.1建立空間直角坐標系新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習教

材

要

點要點一空間直角坐標系空間直角坐標系在空間任取一點O，以O為原點，作三條________的有向直線Ox，Oy，Oz，在這三條直線上選取共同的長度單位，分別建立坐標軸，依次稱為x軸、y軸、z軸，從而組成了一個空間直角坐標系O--xyz?．坐標平面在空間直角坐標系O--xyz中，由兩條坐標軸確定的平面叫坐標平面，分別稱為________平面，________平面，________平面．右手系伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后讓四指沿握拳方向旋轉90°指向________正方向，此時大拇指的指向即為________正方向．兩兩垂直xOyyOzxOzx軸y軸z軸批注?畫空間直角坐標系O--xyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.要點二空間直角坐標系中的坐標有了空間直角坐標系，空間中的點P與有序實數組(x，y，z)之間就建立了一一對應的關系．有序實數組(x，y，z)稱為點P的坐標，記作P(x，y，z)，其中x稱為點P的橫坐標，y稱為點P的縱坐標，z稱為點P的豎坐標．點的坐標?原點的坐標為O(0，0，0)，x軸上的點的坐標為________，y軸上的點的坐標為________，z軸上的點的坐標為________．平面上點的坐標?xOy平面內的點的坐標為________，yOz平面內的點的坐標為________，xOz平面內的點的坐標為________．(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)批注?坐標軸上的點的特征：x軸上的點縱坐標和豎坐標都為0；y軸上的點橫坐標和豎坐標都為0；z軸上的點橫坐標和縱坐標都為0.批注?坐標平面上的點的特征：xOy平面上的點豎坐標為0；yOz平面上的點橫坐標為0；xOz平面上的點縱坐標為0.基

礎

自

測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)空間直角坐標系中的任意一點的坐標是唯一的．(

)(2)空間直角坐標系中x軸上點的橫坐標x＝0，豎坐標z＝0.(

)(3)空間直角坐標系中xOz平面上點的坐標滿足z＝0.(

)√××2．點(2，0，3)在空間直角坐標系中的(

)A．y軸上

B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限內答案：C解析：點(2，0，3)的y軸坐標為0，所以該點在xOz平面上．3．在空間直角坐標系O-xyz，點A(1，－2，5)關于平面yOz對稱的點B為(

)A．(1，－2，－5)

B．(－1，－2，5)C．(－1，－2，－5)D．(1，2，－5)答案：B解析：關于平面yOz對稱的點：橫坐標互為相反數，縱坐標和豎坐標相同．4．在空間直角坐標系中，自點P(－4，－2，3)引x軸的垂線，則垂足的坐標為____________．(－4，0，0)解析：∵點P(－4，－2，3)，∴自點P引x軸的垂線，垂足坐標為(－4，0，0)．題型探究·課堂解透題型

1在空間坐標系下確定點的位置例1在空間直角坐標系O--xyz中，畫出下列各點：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．解析：點A為原點．點B為x軸上坐標為2的點．點C的豎坐標為0，因此點C就是xOy平面內橫坐標為2、縱坐標為3的點．點D是y軸上坐標為3的點．點A′是z軸上坐標為2的點．點B′是zOx平面內橫坐標為2、豎坐標也為2的點．要作出點C′(2，3，2)，只需過x軸上坐標為2的點B作垂直于x軸的平面α，過y軸上坐標為3的點D作垂直于y軸的平面β，根據幾何知識可以得出：這兩個平面的交線就是經過點C(2，3，0)且與z軸平行的直線l.再過z軸上坐標為2的點A′作垂直于z軸的平面γ，那么直線l與平面γ的交點也是三個平面α，β，γ，的交點，就是點C′.點D′是yOz平面內縱坐標為3、豎坐標為2的點．在同一空間直角坐標系中，畫出以上各點，它們剛好是長方體ABCD-A′B′C′D′的八個頂點(如圖)．方法歸納在空間坐標系下確定點的位置的方法(1)先確定點(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由豎坐標確定點(x0，y0，z0)在空間直角坐標系中的位置；(2)以原點O為一個頂點，構造棱長分別為|x0|，|y0|，|z0|的長方體(三條棱的位置要與x0，y0，z0的符號一致)，則長方體中與O相對的頂點即為所求的點．鞏固訓練1

在空間直角坐標系中，標出點M(2，－6，4)．解析：方法一先確定點M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因為點M的豎坐標為4，則|MM′|＝4，且點M和z軸的正半軸在xOy平面的同側，這樣就可確定點M的位置了(如圖所示)．方法二以O為一個頂點，構造三條棱長分別為2，6，4的長方體，使此長方體在點O處的三條棱分別在x軸正半軸、y軸負半軸、z軸正半軸上，則長方體中與頂點O相對的頂點即為所求的點(圖略)．題型

2在空間坐標系下求點的坐標例2設正四棱錐S--P1P2P3P4的所有棱長均為a，建立適當的坐標系．求點S，P1，P2，P3和P4的坐標．

方法歸納在空間坐標系下求點的坐標作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．

題型3在空間坐標系下求對稱點的坐標例3在空間直角坐標系中，已知點P(－2，1，4)．(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標；(2)求點P關于xOy平面對稱的點的坐標；(3)求點P關于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標．解析：(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，所以對稱點坐標為P1(－2，－1，－4)．(2)由點P關于xOy平面對稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，所以對稱點坐標為P2(－2，1，－4)．(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐標為(6，－3，－12)．方法歸納求空間對稱點的2個策略鞏固訓練3

求點(－2，1，