第6講函數(shù)的奇偶性通關(guān)一、函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)函數(shù)圖象的對稱性軸對稱中心對稱函數(shù)示意圖奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)滿足的關(guān)系式本質(zhì)當(dāng)取的自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值相等當(dāng)取的自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值也互為相反數(shù)1.函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱;2.是偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱是奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱;3.奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.4.為偶函數(shù).5.若奇函數(shù)的定義域包含0,則.通關(guān)二、函數(shù)奇偶性的運算偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)通關(guān)三、一些重要類型的奇偶函數(shù)1.函數(shù)為偶函數(shù),函數(shù)為奇函數(shù). 2.函數(shù)且為奇函數(shù)3.函數(shù)且為奇函數(shù).4.函數(shù)且)為奇函數(shù).結(jié)論一、定義域優(yōu)先函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.【例1】若函數(shù)是偶函數(shù),定義域為,則__________.__________.【答案】【解析】因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以,解得.又函數(shù)為偶函數(shù),結(jié)合偶函數(shù)圖像的特點,易得.【變式】已知偶函數(shù)的定義域為,則_________.【答案】16【解析】因為為偶函數(shù),故其定義域關(guān)于原點對稱,所以,由函數(shù)為偶函數(shù)可得,故.結(jié)論二、函數(shù)的構(gòu)造任何一個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù),總可以表示為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和,其中.【例2】已知是奇函數(shù),是偶函數(shù),且,則_________._________.【答案】【解析】因為是奇函數(shù),是偶函數(shù),所以,則,即兩式相減,解得;兩式相加,解得.【變式】已知是奇函數(shù),是偶函數(shù),且,則_________._________.【答案】【解析】因為是奇函數(shù),是偶函數(shù),所以,則即.兩式相減,解得;兩式相加,解得.結(jié)論三、奇函數(shù)特性1.是奇函數(shù)2.若是奇函數(shù),且有意義,則.【例3】若函數(shù)是奇函數(shù),則的值為（）. A.1 B.0 C. D.【答案】B【解析】因為是奇函數(shù),且,所以,即,所以.故選B.【變式】若函數(shù)為奇函數(shù),則實數(shù)的值（）. .等于0 B.等于1 C.等于2 D.不存在【答案】【解析】解法一：若函數(shù)為奇函數(shù),則,即對任意實數(shù)恒成立,整理.故選B.解法二：因為有意義,所以.故選B.結(jié)論四、偶函數(shù)特性1.是偶函數(shù)2.若是偶函數(shù),則.3.如果偶函數(shù)在軸左側(cè)區(qū)間是遞減的,右側(cè)區(qū)間是遞增的,則自變量,，誰距離軸近,誰的函數(shù)值小,即若,則;反之,若,則;4.如果偶函數(shù)在軸左側(cè)區(qū)間是遞增的,右側(cè)區(qū)間是遞減的,則自變量,，誰距離軸近,誰的函數(shù)值大,即若,則;反之,若,則.【例4】設(shè)為定義在上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是（） A. В. C. D.【答案】C【解析】因為為定義在上的偶函數(shù),且上是增函數(shù),所以在上是減函數(shù),由得,等價為,則,得得即實數(shù)取值范圍是.故選C.【變式】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足,則的最小值是（） A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由于為偶函數(shù),所以,因為在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,即的最小值為.故選C.結(jié)論五、奇偶性與單調(diào)性關(guān)系1.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是遞增的,那么函數(shù)在區(qū)間上也是遞增的;2.如果偶函數(shù)在區(qū)間上是遞增的,那么函數(shù)在區(qū)間上是遞減的.【例5】設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且,則不等式的解集為_________.【答案】【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以,所以不等式等價于,即或根據(jù)條件可作出函數(shù)的大致圖像,如圖所示.故不等式的解集為.【變式】已知奇函數(shù)的定義域為,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,則滿足的實數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【解析】因為的定義域為,所以有,解得(1).由,得.又由為奇函數(shù),得,所以,又為奇函數(shù),且在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減.所以.即(2).綜合可知,實數(shù)的取值范圍為.第7講函數(shù)的對稱性對稱軸:對稱軸:對稱軸:每個點關(guān)于對稱軸對稱之后還在圖像上.偶函數(shù)中兩自變量的中點是中間的0,兩函數(shù)值相等,有.因為軸對稱圖形上對稱兩點連線的中點在對稱軸上,所以若和兩點關(guān)于軸對稱,,則兩自變量滿足因為中點在對稱軸上).通關(guān)二、中心對稱對稱中心:每個點繞著對稱中心旋轉(zhuǎn)后還在圖像上.奇函數(shù)中兩自變量的中點是中間的0,兩函數(shù)值中點是0,有.若將對稱中心移到點,可同理,從出發(fā),向左向右距離相等,使其自變對稱,則它們對應(yīng)的函數(shù)值的中點應(yīng)為,所以.當(dāng)自變量關(guān)于對稱時,函數(shù)值關(guān)于對稱.通關(guān)三、常見對稱性結(jié)論序號函數(shù)滿足的條件對稱軸（中心）自對稱軸對稱（1）滿足的函數(shù)的圖象，偶函數(shù)（2）滿足的函數(shù)的圖象（或，或）（3）滿足的函數(shù)的圖象（或，或）（4）滿足的函數(shù)的圖象中心對稱（5）滿足的函數(shù)的圖象，奇函數(shù)（6）滿足的函數(shù)的圖象（或，或）（7）滿足的函數(shù)的圖象（8）滿足的函數(shù)的圖象互對稱軸對稱（9）與兩個函數(shù)的圖象，即軸（10）與兩個函數(shù)的圖象（11）與兩個函數(shù)的圖象（12）與兩個函數(shù)的圖象，即軸（13）與兩個函數(shù)的圖象（14）與兩個函數(shù)的圖象中心對稱（15）與兩個函數(shù)的圖象（16）與兩個函數(shù)的圖象（17）與兩個函數(shù)的圖象結(jié)論一、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于直線對稱.【例1】如果函數(shù)對任意的實數(shù),都有,那么（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由知函數(shù)圖像的對稱軸為,且拋物線的開口向上,則,根據(jù)到對稱軸的距離遠(yuǎn)的函數(shù)值較大得,故選A.【變式】若函數(shù)滿足,且在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的最小值等于_______.【答案】2【解析】由得函數(shù)關(guān)于對稱,故,則,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在上遞增,故,所以實數(shù)的最小值等于2.結(jié)論二、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于直線對稱.【例2】對于函數(shù),若存在常數(shù),使得取定義域內(nèi)的每一個值,都有,則稱為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得準(zhǔn)偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,即準(zhǔn)偶函數(shù)的圖像存在不是軸的對稱軸.選項中函數(shù)的圖像不存在對稱軸,選項中函數(shù)的圖像的對稱軸為軸,只有選項中的函數(shù)滿足題意.故選D.【變式】若函數(shù)對任意都有,則以下結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函數(shù)對任意都有,則的對稱軸為且函數(shù)的開口方向向上,則函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以,即.故選A.結(jié)論三、為偶函數(shù)型為偶函數(shù)的圖像關(guān)于對稱.【例3】函數(shù)在上單調(diào)遞增,且函數(shù)是偶函數(shù),則下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是偶函數(shù),則其圖像關(guān)于軸對稱,所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱,則.又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,則有,所以.故選C.【變式】已知定義域為的函數(shù)在上為減函數(shù),且函數(shù)為偶函數(shù),則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是偶函數(shù),所以,即關(guān)于直線對稱,所以.又因為在為減函數(shù),所以在上為增函數(shù),所以,即.故選D.結(jié)論四、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于點對稱.【例4】 若函數(shù)滿足：,則的圖像的對稱中心為_______.【答案】【解析】因為,所以的對稱中心為.【變式已知函數(shù)當(dāng)時,,且恒成立,則當(dāng)時,____.【答案】【解析】因為,所以的對稱中心為,所以,,當(dāng)時,則,所以,所以.結(jié)論五、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于點對稱.【例5】定義域在上的函數(shù)滿足,函數(shù)關(guān)于________對稱.【答案】【解析】因為,則由函數(shù)的對稱性結(jié)論得關(guān)于點對稱.【變式】已知定義域為的函數(shù)滿足,且函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增.如果,且,則的值（）A．可正可負(fù) B．恒大于0 C．可能為0 D．恒小于0【答案】D【解析】由可得關(guān)于中心對稱,所以有.代入可得,從而.故選D.結(jié)論六、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于點對稱.【例6】已知滿足,則以下四個選項一定正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù) C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】D【解析】根據(jù)可得的對稱中心為,把的圖像向左并且向下平移1個單位之后即得奇函數(shù)的圖像,所以是奇函數(shù).故選D.【變式】已知函數(shù)滿足,若函數(shù)與圖像的交點為,則（）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由,得關(guān)于對稱,而也關(guān)于對稱,所以對于每一組對稱點,所以.故選B.結(jié)論七、為奇函數(shù)型為奇函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱.【例7】若函數(shù)是奇函數(shù),那么函數(shù)的圖像關(guān)于________對稱.【答案】【解析】因為是奇函數(shù),所以關(guān)于對稱,的圖像向左平移1個單位即得的圖像,所以的圖像關(guān)于對稱.【變式】已知函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時,,則當(dāng)時,________.【答案】【解析】因為為奇函數(shù),所以關(guān)于對稱,即,所以.當(dāng)時,則,所以,所以.結(jié)論八、型簡單分式函數(shù),由變量分離法得對稱中心.【例8】函數(shù)的對稱中心是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為,所以函數(shù)的圖像的對稱中心的坐標(biāo)為.故選D.【變式】函數(shù)的圖像的對稱中心是,則____.【答案】3【解析】因為,所以函數(shù)的圖像的對稱中心是,由已知得,故.結(jié)論九、含絕對值的函數(shù)對稱性1.的圖像關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的最小值為0;2.的圖像關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的最小值為;3.的圖像關(guān)于點對稱，且函數(shù)的值域為,【例9】設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,則的值為（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】由題知的對稱軸為,即,解得.故選A.【變式】設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱,且函數(shù)的最大值為2,則______.【答案】12或0【解析】因為的圖像關(guān)于點對稱,所以.當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,,解得.所以或.結(jié)論十、兩個函數(shù)的對稱性若函數(shù)定義域為,則函數(shù)與兩函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱(由可得).【例10】對任意的函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與函數(shù)的圖像恒（） A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于直線對稱 C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于軸對稱【答案】C【解析】函數(shù)與的圖像關(guān)于軸即對稱,因為的圖像是由函數(shù)的圖像向左平移一個單位得到的;函數(shù)是由函數(shù)的圖像向左平移一個單位得到的,所以兩個函數(shù)的對稱軸也向左平移了一個單位,故所求的對稱軸是.故選C.【變式】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的關(guān)系為()A．關(guān)于對稱 B．關(guān)于對稱 C．關(guān)于對稱 D．關(guān)于對稱【答案】A【解析】由題意可判斷兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,可設(shè)函數(shù)圖像上的任意點,該點關(guān)于直線的對稱點為在的圖像上,故,而,所以對任意恒成立,所以,即.故選A.結(jié)論十一、對稱軸斜率為1或－11.關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)為.2.關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)為.【例11】已知函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于對稱,則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為時,的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于對稱;所以時;所以時,.又是奇函數(shù),所以.故選C.【變式】設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱,且,則（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點,它關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為,由題意知在函數(shù)的圖像上,所以,解得,即,所以,解得.故選C.結(jié)論十二、對稱性與單調(diào)性結(jié)論1.如果函數(shù)在對稱軸左側(cè)區(qū)間是遞減的,右側(cè)區(qū)間是遞增的,則自變量誰距離對稱軸近,誰的函數(shù)值小,即若,則;反之,若,則;2.如果函數(shù)在對稱軸左側(cè)區(qū)間是遞增的,右側(cè)區(qū)間是遞減的,則自變量誰距離對稱軸近,誰的函數(shù)值大,即若,則;反之,若,則.【例12