課程根本信息課題數(shù)學(xué)活動：探究四點共圓的條件教科書書名：《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)〔九年級上冊〕》出版社：人民教育出版社出版日期：2014年6月教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：〔1〕探索并證明對角互補的四邊形的四個頂點共圓的結(jié)論. 〔2〕在探究的過程中，體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.教學(xué)重點：四點共圓的條件的探究.教學(xué)難點：四點共圓的條件的證明.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題【創(chuàng)設(shè)情境】〔1〕經(jīng)過一點A，可以在平面內(nèi)作無數(shù)個圓.〔2〕經(jīng)過兩點A，B，可以在平面內(nèi)作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.〔3〕經(jīng)過三點：假設(shè)A，B，C三點共線，那么不能作出過三點的圓；假設(shè)A，B，C三點不共線，可以作出一個圓.即：不在同一直線上的三點可以確定一個圓，也就是說過任意一個三角形的三個頂點都能作一個圓.〔4〕經(jīng)過平面內(nèi)四點：假設(shè)四個點中有任意三點共線，那么不能作出過四點的圓；假設(shè)其中任意三點都不共線，能否作出過四點的圓呢？【提出問題】過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？二、探究問題，提出猜測【引例】過以下四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？正方形 矩形 平行四邊形 等腰梯形 直角梯形想一想：正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有這些特征的其它四邊形，過它的四個頂點是否一定能作一個圓？【猜測1】有一組對邊平行的四邊形的四個頂點共圓.【猜測2】有兩個角是直角的四邊形的四個頂點共圓.分析：需要分情況討論.當(dāng)兩個直角相鄰時，由直角梯形可知，四個頂點不一定共圓.當(dāng)兩個直角相對時，如圖1，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°.如圖2，連接BD，作BD的中點O，連接OA，OC，那么OA=OB=OD=OC，所以A，B，C，D在圓O上. 圖1 圖2【猜測3】過對角互補的四邊形的四個頂點，可以作一個圓.三、證明猜測，得出結(jié)論：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°.求證：A，B，C，D四點共圓.證明：過A，B，C三點作⊙O，假設(shè)點D不在⊙O上，那么點D在⊙O內(nèi)或點D在⊙O外. 假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，延長AD交⊙O于E，連接CE，那么∠B+∠E=180°.又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.這與△CDE中，∠ADC>∠E矛盾，所以點D不在⊙O內(nèi).假設(shè)點D在⊙O外，〔請自己完成后面的畫圖和證明〕……綜上，假設(shè)不成立，點D在過A，B，C三點的圓上.結(jié)論：經(jīng)過對角互補的四邊形的四個頂點，可以作一個圓.四、運用遷移【例】三角形的三條高線交于一點.：如圖，△ABC的兩條高BD，CE交于點H，連接AH并延長交BC于F.求證：AF⊥BC.【例】如圖，∠ABC=∠ADC.求證：A，B，C，D四點共圓.五、總結(jié)提升【課堂小結(jié)】你可以用哪些方法證明四點共圓？如果要證明五個或五個以上的點共圓，可以怎樣做？【布置作業(yè)】如圖，在四邊形ABCD中，點E在BC的延長線上，添加以下條件中的一個后，不一定使A，B，C，D四點共圓的是〔〕.〔A〕∠B+∠D=180° 〔B〕∠A=∠BCD〔C〕∠A=∠DCE 〔D〕∠A=∠BCD=90°如圖，將一個含45°角的直角三角板ABC和一個含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜邊AC恰好重合，那么∠BDC=________°.如圖，正方形ABCD中，點E是BC邊上一點〔不與B，C重合〕，∠AEF=9