.WORD格式整理....專業(yè)知識(shí)分享..第4章向量代數(shù)與空間解析幾何習(xí)題解答習(xí)題4.1一、計(jì)算題與證明題1．已知,,,并且．計(jì)算．解：因?yàn)?,,并且所以與同向，且與反向因此，，所以2．已知,,求．解：（1）（2）得所以3．設(shè)力作用在點(diǎn),求力對(duì)點(diǎn)的力矩的大小．解：因?yàn)?所以力矩所以，力矩的大小為4．已知向量與共線,且滿足,求向量的坐標(biāo)．解：設(shè)的坐標(biāo)為，又則（1）又與共線，則即所以即（2）又與共線，與夾角為或整理得（3）聯(lián)立解出向量的坐標(biāo)為5．用向量方法證明,若一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分,則該四邊形為平行四邊形．證明：如圖所示，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，則有由矢量合成的三角形法則有所以即平行且等于四邊形是平行四邊形6．已知點(diǎn),求線段的中垂面的方程．解：因?yàn)?中垂面上的點(diǎn)到的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由得化簡得這就是線段的中垂面的方程。7．向量,,具有相同的模,且兩兩所成的角相等,若,的坐標(biāo)分別為,求向量的坐標(biāo)．解：且它們兩兩所成的角相等，設(shè)為則有則設(shè)向量的坐標(biāo)為則（1）（2）所以（3）聯(lián)立（1）、（2）、(3)求出或所以向量的坐標(biāo)為或8．已知點(diǎn),,,，求以,,為鄰邊組成的平行六面體的體積．求三棱錐的體積．求的面積．求點(diǎn)到平面的距離．解：因?yàn)椋?,所以（1）是以它們?yōu)猷忂叺钠叫辛骟w的體積（2）由立體幾何中知道，四面體（三棱錐）的體積（3）因?yàn)椋?，這是平行四邊形的面積因此□(4)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由立體幾何使得三棱錐的體積所以習(xí)題4.2一、計(jì)算題與證明題1．求經(jīng)過點(diǎn)和且與坐標(biāo)平面垂直的平面的方程．解：與平面垂直的平面平行于軸，方程為(1)把點(diǎn)和點(diǎn)代入上式得(2)(3)由（2），（3）得,代入（1）得消去得所求的平面方程為2．求到兩平面和距離相等的點(diǎn)的軌跡方程．解；設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由點(diǎn)到平面的距離公式得所以3．已知原點(diǎn)到平面的距離為120,且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為,求的方程．解：設(shè)截距的比例系數(shù)為，則該平面的截距式方程為化成一般式為又因點(diǎn)到平面的距離為120，則有求出所以，所求平面方程為4．若點(diǎn)在平面上的投影為,求平面的方程．解：依題意，設(shè)平面的法矢為代入平面的點(diǎn)法式方程為整理得所求平面方程為5．已知兩平面與平面相互垂直，求的值．解：兩平面的法矢分別為，，由⊥，得求出6．已知四點(diǎn),,,,求三棱錐中面上的高．解：已知四點(diǎn),則由為鄰邊構(gòu)成的平行六面體的體積為由立體幾何可知，三棱錐的體積為設(shè)到平面的高為則有所以又所以，因此，7．已知點(diǎn)在軸上且到平面的距離為7,求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：在軸上，故設(shè)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)到平面的距離公式，得所以則那么點(diǎn)的坐標(biāo)為8．已知點(diǎn)．在軸上且到點(diǎn)與到平面的距離相等,求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：在軸上，故設(shè)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到平面的距離公式得化簡得因?yàn)榉匠虩o實(shí)數(shù)根，所以要滿足題設(shè)條件的點(diǎn)不存在。習(xí)題4.3一計(jì)算題與證明題1．求經(jīng)過點(diǎn)且與直線和都平行的平面的方程．解：兩已知直線的方向矢分別為，平面與直線平行，則平面的法矢與直線垂直由⊥，有（1）由⊥，有（2）聯(lián)立（1），（2）求得,只有又因?yàn)槠矫娼?jīng)過點(diǎn)，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。2．求通過點(diǎn)P(1，0，-2)，而與平面3x-y+2z-1=0平行且與直線相交的直線的方程．解：設(shè)所求直線的方向矢為，直線與平面平行，則⊥，有（1）直線與直線相交，即共面則有所以（2）由（1），（2）得，即取，，，得求作的直線方程為3．求通過點(diǎn))與直線的平面的方程．解：設(shè)通過點(diǎn)的平面方程為即(1)又直線在平面上，則直線的方向矢與平面法矢垂直所以(2)直線上的點(diǎn)也在該平面上，則（3）由（1），（2），（3）得知，將作為未知數(shù)，有非零解的充要條件為即，這就是求作的平面方程。4．求點(diǎn)到直線的距離．解：點(diǎn)在直線上，直線的方向矢,則與的夾角為所以因此點(diǎn)到直線的距離為5．取何值時(shí)直線與軸相交?解：直線與軸相交，則有交點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線方程得，求得6．平面上的直線通過直線：與此平面的交點(diǎn)且與垂直,求的方程．解：依題意，與的交點(diǎn)在平面上，設(shè)通過交點(diǎn)的平面方程為即（1）已知直線的一組方向數(shù)為所以由直線與平面垂直得所以得將，代入（1）得化簡得故所求直線方程為7．求過點(diǎn)且與兩平面和平行直線方程．解：與兩平面平行的直線與這兩個(gè)平面的交線平行，則直線的方向矢垂直于這兩平面法矢所確定的平面，即直線的方向矢為將已知點(diǎn)代入直線的標(biāo)準(zhǔn)方程得8．一平面經(jīng)過直線（即直線在平面上）：，且垂直于平面，求該平面的方程．解：設(shè)求作的平面為(1)直線在該平面上，則有點(diǎn)在平面上，且直線的方向矢與平面的法矢垂直所以(2)(3)又平面與已知平面垂直，則它們的法矢垂直所以(4)聯(lián)立(2),(3),(4)得代入（1）式消去并化簡得求作的平面方程為習(xí)題4.4一計(jì)算題與證明題1．一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離是它到的距離的兩倍,求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，得化簡得2．已知橢圓拋物面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，xOy面和xOz面是它的兩個(gè)對(duì)稱面，且過點(diǎn)(6，1，2)與,求該橢圓拋物面的方程．解：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，面和面是它的對(duì)稱面的橢圓拋物線方程為代入已知點(diǎn)，得聯(lián)立求出代入（1）式得化簡得求作的橢圓拋面方程為3．求頂點(diǎn)為，軸與平面x+y+z=0垂直，且經(jīng)過點(diǎn))的圓錐面的方程．解：設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，該圓錐面的軸線與平面垂直，則軸線的方向矢為，又點(diǎn)與點(diǎn)在錐面上過這兩點(diǎn)的線的方向矢為，點(diǎn)與點(diǎn)的方向矢為，則有與的夾角和與的夾角相等，即化簡得所求的圓錐面方程為4．已知平面過軸,且與球面相交得到一個(gè)半徑為2的圓,求該平面的方程．解：過軸的平面為（1）球面方程化為表示球心坐標(biāo)為到截面圓的圓心的距離為,如題三.4圖所示由點(diǎn)到平面的距離公式為化簡得解關(guān)于A的一元二次方程地求出分別代入(1)式得消去得所求平面方程為或5．求以,直線為中心軸的圓柱面的方程．解:如習(xí)題三.5所示,圓柱面在平面上投影的圓心坐標(biāo)為,半徑為,所以求作的圓柱面方程為6．求以,經(jīng)過點(diǎn)的圓柱面的方程解:設(shè)以軸為母線的柱面方程為(1)因?yàn)辄c(diǎn),在柱面上,則有(2)(3)則(4)聯(lián)立(2),(3),(4)求出,,代入(1)式得所求的柱面方程為7．根據(jù)的不同取值,說明表示的各是什么圖形．解:方程(1)①時(shí),(1)式不成立,不表示任何圖形;②時(shí),(1)式變?yōu)?表示雙葉雙曲線;③時(shí),(1)式變?yōu)?表示單葉雙曲線;④時(shí),(1)式變?yōu)?表示橢球面;⑤時(shí),(1)式變?yōu)?表示母線平行于軸的橢圓柱面;⑥時(shí),(1)式變?yōu)?表示雙曲柱面;⑦時(shí),(1)式變?yōu)?不表示任何圖形;8．已知橢球面經(jīng)過橢圓與點(diǎn),試確定的值．解:因?yàn)闄E球面經(jīng)過橢圓與點(diǎn),則有所以代入(2)得即復(fù)習(xí)題四一、計(jì)算與證明題1．已知,,,并且．計(jì)算．解:,,,且則.所以2．設(shè)力作用在原點(diǎn)點(diǎn),求力對(duì)點(diǎn)的力矩的大?。?原點(diǎn)坐標(biāo),則，對(duì)的力矩為力矩的大小為3．已知點(diǎn),求線段的中垂面的方程．解：已知點(diǎn),，設(shè)的中垂面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間的距離公式得化簡得4．已知平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為且的體積為80,又在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為,求的方程．解：設(shè)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為，則平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為所以，因此，平面的方程為5．已知兩平面與平面相互垂直,,求的值．解：平面，平面，與垂直，則⊥，所以即所以6．取何值時(shí)直線與軸相交?解：直線與軸相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線方程為（1）（2）（1）+（2）得，而原點(diǎn)不在直線上，故，所以7．設(shè)圓柱面過直線,以及軸,求的方程．解：直線是平面與的平面的交線，在平面上，與軸的距離為6且平行與軸直線，過點(diǎn)，方向矢為也平行于軸，所以該圓柱面的母線平行于軸，且準(zhǔn)線在平面內(nèi)，點(diǎn)均在該準(zhǔn)線上，所以準(zhǔn)線的圓心坐標(biāo)為，半徑為故圓柱面的方程為8．已知球面面的方程為,求的與軸垂直相交的直徑所在直線的方程．解：求面的方程為化為所以球心坐標(biāo)為所求直徑與軸垂直，則垂足坐標(biāo)為，則該直徑所在直線的方向矢為，把點(diǎn)與代入直線的準(zhǔn)線方程得所求直線方程為一、計(jì)算題與證明題1．已知,,,并且．計(jì)算．解：因?yàn)?,,并且所以與同向，且與反向因此，，所以2．已知,,求．解：（1）（2）得所以4．已知向量與共線,且滿足,求向量的坐標(biāo)．解：設(shè)的坐標(biāo)為，又則（1）又與共線，則即所以即（2）又與共線，與夾角為或整理得（3）聯(lián)立解出向量的坐標(biāo)為6．已知點(diǎn),求線段的中垂面的方程．解：因?yàn)?中垂面上的點(diǎn)到的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由得化簡得這就是線段的中垂面的方程。7．向量,,具有相同的模,且兩兩所成的角相等,若,的坐標(biāo)分別為,求向量的坐標(biāo)．解：且它們兩兩所成的角相等，設(shè)為則有則設(shè)向量的坐標(biāo)為則（1）（2）所以（3）聯(lián)立（1）、（2）、(3)求出或所以向量的坐標(biāo)為或8．已知點(diǎn),,,，求以,,為鄰邊組成的平行六面體的體積．求三棱錐的體積．求的面積．求點(diǎn)到平面的距離．解：因?yàn)椋?,所以（1）是以它們?yōu)猷忂叺钠叫辛骟w的體積（2）由立體幾何中知道，四面體（三棱錐）的體積（3）因?yàn)?，所以，這是平行四邊形的面積因此□(4)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由立體幾何使得三棱錐的體積所以1．求經(jīng)過點(diǎn)和且與坐標(biāo)平面垂直的平面的方程．解：與平面垂直的平面平行于軸，方程為(1)把點(diǎn)和點(diǎn)代入上式得(2)(3)由（2），（3）得,代入（1）得消去得所求的平面方程為2．求到兩平面和距離相等的點(diǎn)的軌跡方程．解；設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由點(diǎn)到平面的距離公式得所以3．已知原點(diǎn)到平面的距離為120,且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為,求的方程．解：設(shè)截距的比例系數(shù)為，則該平面的截距式方程為化成一般式為又因點(diǎn)到平面的距離為120，則有求出所以，所求平面方程為5．已知兩平面與平面相互垂直，求的值．解：兩平面的法矢分別為，，由⊥，得求出6．已知四點(diǎn),,,,求三棱錐中面上的高．解：已知四點(diǎn),則由為鄰邊構(gòu)成的平行六面體的體積為由立體幾何可知，三棱錐的體積為設(shè)到平面的高為則有所以又所以，因此，7．已知點(diǎn)在軸上且到平面的距離為7,求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：在軸上，故設(shè)的坐標(biāo)為（00z），由點(diǎn)到平面的距離公式，得所以則那么點(diǎn)的坐標(biāo)為8．已知點(diǎn)．在軸上且到點(diǎn)與到平面的距離相等,求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：在軸上，故設(shè)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到平面的距離公式得化簡得因?yàn)榉匠虩o實(shí)數(shù)根，所以要滿足題設(shè)條件的點(diǎn)不存在。1．求經(jīng)過點(diǎn)且與直線和都平行的平面的方程．解：兩已知直線的方向矢分別為，平面與直線平行，則平面的法矢與直線垂直由⊥，有（1）由⊥，有（2）聯(lián)立（1），（2）求得,只有又因?yàn)槠矫娼?jīng)過點(diǎn)，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。2．求通過點(diǎn)P(1，0，-2)，而與平面3x-y+2z-1=0平行且與直線相交的直線的方程．解：設(shè)所求直線的方向矢為，直線與平面平行，則⊥，有（1）直線與直線相交，即共面則有所以（2）由（1），（2）得，即取，，，得求作的直線方程為3．求通過點(diǎn)與直線的平面的方程．解：設(shè)通過點(diǎn)的平面方程為即(1)又直線在平面上，則直線的方向矢與平面法矢垂直所以(2)直線上的點(diǎn)也在該平面上，則（3）由（1），（2），（3）得知，將作為未知數(shù)，有非零解的充要條件為即，這就是求作的平面方程。4．求點(diǎn)到直線的距離．解：點(diǎn)在直線上，直線的方向矢,則與的夾角為所以因此點(diǎn)到直線的距離為5．取何值時(shí)直線與軸相交?解：直線與軸相交，則有交點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線方程得，求得7．求過點(diǎn)且與兩平面和平行直線方程．解：與兩平面平行的直線與這兩個(gè)平面的交線平行，則直線的方向矢垂直于這兩平面法矢所確定的平面，即直線的方向矢為將已知點(diǎn)代入直線的標(biāo)準(zhǔn)方程得8．一平面經(jīng)過直線（即直線在平面上）：，且垂直于平面，求該平面的方程．解：設(shè)求作的平面為(1)直線在該平面上，則有點(diǎn)在平面上，且直線的方向矢與平面的法矢垂直所以(2)(3)又平面與已知平面垂直，則它們的法矢垂直所以(4)聯(lián)立(2),(3),(4)得代入（1）式消去并化簡得求作的平面方程為3．求頂點(diǎn)為，軸與平面x+y+z=0垂直，且經(jīng)過點(diǎn))的圓錐面的方程．解：設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，該圓錐面的軸線與平面垂直，則軸線的方向矢為，又點(diǎn)與點(diǎn)在錐面上過這兩點(diǎn)的線的方向矢為，點(diǎn)與點(diǎn)的方向矢為，則有與的夾角和與的夾角相等，即化簡得所求的圓錐面方程為4．已知平面過軸,且與球面相交得到一個(gè)半徑為2的圓,求該平面的方程．解：過軸的平面為（1）球面方程化為表示球心坐標(biāo)為到截面圓的圓心的距離為,如題三.4圖所示由點(diǎn)到平面的距離公式為化簡得解關(guān)于A的一元二次方程地求出分別代入(1)式得消去得所求平面方程為或5．求以,直線為中心軸的圓柱面的方程．解:如習(xí)題三.5所示,圓柱面在平面上投影的圓心坐標(biāo)為,半徑為,所以求作的圓柱面方程為6．求以,經(jīng)過點(diǎn)的圓柱面的方程解:設(shè)以軸為母線的柱面方程為(1)因?yàn)辄c(diǎn),在柱面上,則有(2)(3)則(4