2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下列不等式成立的是（）

A.嗚〉*B,圖>圖C.log,-<log,-D.[L

2.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）

3.已知向量問=1石=（；,〃?），若0+則實數(shù)初的值為（）

22

4.過雙曲線C:毛-4=13>02>0）的右焦點尸作雙曲線C的一條弦AB,且曲+而=0,若以A5為直徑的圓經(jīng)

a'b'

過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）

A.72B.y/3D.亞

5.。是正四面體ABC。的面ABC內(nèi)一動點，E為棱AO中點，記。P與平面BCE成角為定值。，若點P的軌跡為

一段拋物線，則tan6=（）

A.y/2D.272

22

6-已知雙曲線c：十步叱。6。）的一個焦點為八點小是C的一條漸近線上關于原點對稱的兩點‘以.

為直徑的圓過尸且交。的左支于M,N兩點，若|MN|=2,廠的面積為8,則C的漸近線方程為（）

A.y=±y/3x

~T

C.y=+2xD.y=±gx

x-2y+l>0

7.已知實數(shù)x、）'滿足不等式組《2x-y-lW0,則z=-3x+），的最大值為（

y>0

c3

A.3B.2C.--D.-2

2

8.拋物線/=3紡，的準線方程是y=l,則實數(shù)。=（）

9.已知a,beR,3+ai=b—(2a—l)i,則()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

10.已知集合人={0,1},B={0,1,2},則滿足AUC=B的集合C的個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

11.已知點A是拋物線/=4），的對稱軸與準線的交點，點口為拋物線的焦點，點P在拋物線上且滿足|%=同P目，

若加取得最大值時，點P恰好在以A尸為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）

C石一］J2-1

A.y/3—1B.V2-1D.-----

'22

12.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該

單位去年的水費開支占總開支的百分比為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.袋中裝有兩個紅球、三個白球，四個黃球，從中任取四個球，則其中三種顏色的球均有的概率為.

14.三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有種（比

如：B與。、5與C是相鄰的，A與。、C與O是不相鄰的）.

15.已知z-i=l+2i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z=.

16.已知△ABC得三邊長成公比為、"的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=l+cosr,

17.（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為.（，為參數(shù)），以坐標原點。為極點，x軸

y=11+smZ

的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為6=&（0＜。＜|^,直線/交曲線C于A3兩點，尸為43中

點.

（1）求曲線C的直角坐標方程和點P的軌跡的極坐標方程；

（2）^\AB\\OP\=y/3,求a的值.

x=3-

18.（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為｛,,。為參數(shù)），以原點。為極點，x軸正半軸

＞=4，-4

為極軸建立極坐標系，曲線。的極坐標方程為夕=10cos。.

（I）設直線/與曲線C交于N兩點，求|MV|；

（H）若點尸（x,y）為曲線C上任意一點，求卜+6y-10］的取值范圍.

19.（12分）如圖所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,A5=3C=24）=2,四邊形EDCF為矩形,

CF=6,平面￡DCF_L平面ABCD.

⑴求證：。尸||平面ABE；

⑵求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.

（3）在線段DF上是否存在點P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為且，若存在，求出線段BP的長，若不

4

存在，請說明理由.

x=l+j5-acos-

20.（12分）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的參數(shù)方程是｛,—（。

y=2+j5-asin。

為參數(shù)，常數(shù)。<5）,曲線C2的極坐標方程是psin2e+4sin6=p.

（1）寫出G的普通方程及C2的直角坐標方程，并指出是什么曲線；

（2）若直線/與曲線G，G均相切且相切于同一點尸，求直線/的極坐標方程.

21.（12分）A4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為伍c已知/十^十缶《=從，石sinA+cos8=0.

（1）求cosC；

（2）若AABC的面積S=?,求從

2

22.（10分）已知耳，居分別是橢圓E：\+[=13>〃>0）的左，右焦點，點在橢圓E上，且拋物線

ab2

y1=4x的焦點是橢圓E的一個焦點.

（1）求a,A的值:

（2）過點心作不與x軸重合的直線/,設/與圓1+產(chǎn)=。2+從相交于A,5兩點，且與橢圓E相交于C,D兩點,

當用?用=1時，求4ECO的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.

【詳解】

1一八14.11,?

對于4，*.*0<—<一fsin—<cos—,A錯誤：

2422

,、入11

對于3,?.?>=（；）在R上單調(diào)遞減，.?.（g）<（；）,3錯誤;

對于C,???log,|=^23>1,log,^-=log32<l,,',log,1>log>c錯誤:

對于O,...y=j在R上單調(diào)遞增，。正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的

單調(diào)性.

2.A

【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐

如圖

該幾何體為三棱錐A-BCD,長度如上圖

所以S&MBD=EC=/Xlx2=l,S2CN=5X1X1=5

3

=

所以^&BCD2X2—s&VBD~~SWEC~MiCN

2

所以匕3,=；￡舐江3=1

故選：A

【點睛】

本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長

方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線，屬中檔題.

3.D

【解析】

由兩向量垂直可得B)=o,整理后可知仲―@『=0,將已知條件代入后即可求出實數(shù)，〃的值.

【詳解】

解：.,.(￡+3).(￡-石)=0,即問-一埠=0,

將,=1和慟2=(()+加2代入，得出加2=(,所以能=±*.

故選:D.

【點睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標運算.對于向量問題，若已知垂直，通?？傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0,

繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.

4.C

【解析】

由麗+麗=0得尸是弦A3的中點.進而得A5垂直于X軸，得生=a+c，再結(jié)合a,),c關系求解即可

a

【詳解】

因為麗+麗=0,所以廠是弦A3的中點.且A8垂直于x軸.因為以A3為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，所以

*2_2

—=?+<?,即-------=a+c>貝!]c-a=a,故e=—=2.

aaa

故選：C

【點睛】

本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎題.

5.B

【解析】

設正四面體的棱長為2,建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面BCE的法向量，設P的坐標，求出向量麗,

兀

求出線面所成角的正弦值，再由角。的范圍0,-,結(jié)合。為定值，得出sin。為定值，且P的軌跡為一段拋物線，

所以求出坐標的關系，進而求出正切值.

【詳解】

由題意設四面體A3CD的棱長為2,設。為8c的中點，

以。為坐標原點，以。4為x軸，以0B為＞軸，過。垂直于面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

O-xyz,

OA=BX2=B取。4的三等分點G、F如圖,

則可得QB=OC=1,

2

1nAG=OR=2oA=空，DG=yjAD2-AG2=^-,EF=-DG=—，

則OG=-OA=—,

3333323

(.2/7A

所以B(O,1,0)、c(o,—1,0)、A(G,O,O)、D￥，O，1-

I33J

由題意設P（x,y,0）,

?.?△ABO和AACD都是等邊三角形，E為A￡＞的中點，.,.BEJ.AD,CE1AD,

-.BEC\CE=E.?.AT)_L平面8CE,為平面BCE的一個法向量,

ir

因為DP與平面BCE所成角為定值。，則Ow0,-

由題意可得

____,\AD-DP\

sin0=cos<…二祠=

2.］一呵+“一呵

t3J'I3J

_卜+刊_(x+碼_Id+2瓜+3

一/氐一1/+3丁+8-V3x2+3y2-2^3x+9~\3x2+3/-2V3x+9，

因為P的軌跡為一段拋物線且tan6為定值，則sin8也為定值，

，一廠=。,可得3y2=8百犬，此時sin8=，^,貝！Jcose=，^，tan6=S'n-

3y2-2y/3x3x2933cos。2

故選：B.

【點睛】

考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題.

6.B

【解析】

0A2

由雙曲線的對稱性可得5^/=50療即九'=8,又|MN|="=2,從而可得。的漸近線方程.

【詳解】

設雙曲線的另一個焦點為尸，由雙曲線的對稱性，四邊形AEBb'是矩形，所以5^=50小，即匕c=8,由

,得：l所以更所以〃所以〃所以的漸近

</>2y=±L,|MN|==2,=c，=2,c=4,a=26，C

CC

線方程為y=±且x.

3

故選B

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案.

【詳解】

x-2y+\>0

畫出不等式組2x-y-1W0所表示平面區(qū)域，如圖所示，

y>0

由目標函數(shù)z=-3x+y,化為直線y=3x+z,當直線y=3x+z過點A時,

此時直線y=3x+Z在y軸上的截距最大，目標函數(shù)取得最大值,

x—2y+l-0

又由〈c，解得A(—1,0),

y=0

所以目標函數(shù)的最大值為z=-3x(T)+()=3,故選A.

【點睛】

本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一、二移、

三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題.

8.C

【解析】

根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程，再對照系數(shù)求解即可.

【詳解】

4

因為準線方程為y=1，所以拋物線方程為1=-4)，,所以3。=T,即。=一§.

故選：C

【點睛】

本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.

9.C

【解析】

兩復數(shù)相等，實部與虛部對應相等.

【詳解】

由3+ai=8-(2a-l)i,

3=b

即a=；,b=l.

a-l-2a

,,.b=9a.

故選：c.

【點睛】

本題考查復數(shù)的概念，屬于基礎題.

10.A

【解析】

由AuC=6可確定集合C中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.

【詳解】

由=B可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合。有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4種情況，所以選

A項.

【點睛】

考查集合并集運算，屬于簡單題.

11.B

【解析】

設P(x,y),利用兩點間的距離公式求出”的表達式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出”的最大值時的P點坐標，結(jié)合橢

圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.

【詳解】

設尸(x,y),因為A是拋物線f=4y的對稱軸與準線的交點，點b為拋物線的焦點，

所以A（0,T）,下（0,1）,

則…乩gif+f=卜+1）”

=/i+^—,

VV+2y+l

當y=0時，m=l,

m=11+24y——=11+--<1+——=V2

當y>0時，V?+2y+ly+4+2[2+2卜；

當且僅當y=l時取等號，，此時P（9,1）,

\PA\=2y/2,\PF\=2,

???點P在以AF為焦點的橢圓上，2c=|A尸|=2,

由橢圓的定義得2a=|網(wǎng)+|Pq=20+2,

,c2c2r-.

所以橢圓的離心率e=—=「=c房c=J2—l,故選B.

a2a2J2+2

【點睛】

本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率

有以下幾種情況：①直接求出a，C,從而求出e；②構(gòu)造C的齊次式，求出e；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定

義來求解.

12.A

【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費

開支占總開支的百分比.

【詳解】

250

水費開支占總開支的百分比為一二二，，八八x20%=6.25%.

250+450+100

故選：A

【點睛】

本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4

13.一

7

【解析】

基本事件總數(shù)〃==126,其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數(shù)m=+C}C\C\=72,由此

能求出其中三種顏色的球都有的概率.

【詳解】

解：袋中有2個紅球，3個白球和4個黃球，從中任取4個球，

基本事件總數(shù)〃=C；=126,

其中三種顏色的球都有，可能是2個紅球，1個白球和1個黃球或1個紅球，2個白球和1個黃球或1個紅球，1個白

球和2個黃球，

所以包含的基本事件個數(shù)m=+C\C}C\+C；C\C\=72,

ni724

...其中三種顏色的球都有的概率是P=—===—.

n1267

4

故答案為：—.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

14.192

【解析】

根據(jù)題意，分2步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4

個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，分2步進行分析：

①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，

有3x4=12種安排方法；

②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有2x2x2x2=16種安排方法，

則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法16x12=192種；

故答案為：192

【點睛】

本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

15.2-i

【解析】

解：vz-i=l+2i

.1+2/。+萬）i..

..z=------=-——=2-1

ii2

故答案為：2—i

【點睛】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎題.

16.r

4

【解析】

試題分析：根據(jù)題意設三角形的三邊長分別設為為-、尸-、-，??一L所對的角為最大角，設為-，則

根據(jù)余弦定理得，-K故答案為▼

COSL=―.-----

考點：余弦定理及等比數(shù)列的定義.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(x-1)2+(y-l)2=1,=；(2)a=^^a=~

【解析】

(1)根據(jù)曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)人可得曲線C的直角坐標方程，再由QC=0，|OHTOC|cos/POC,

可得點P的軌跡G的極坐標方程；

(2)將曲線C極坐標方程求,與直線I極坐標方程聯(lián)立,消去Q,得到關于P的二次方程，由P的幾何意義可求出\AB\,

而(1)可知|OP|=J^cos(a-?],然后列方程可求出a的值.

【詳解】

(1)曲線。的直角坐標方程為(x—1尸+(y—1尸=1,

圓c的圓心為c,|oq=e,設p(0,e),所以NPOC=?！?

則由|o4=|oqcosNPOC,即夕=&cos0<e<]為點P軌跡G的極坐標方程.

(2)曲線C的極坐標方程為P2-2V2pcos。一?+1=0,

將/：e=a[o<a<])與曲線C的極坐標方程聯(lián)立得，P2-2V2/7COS(￡Z--^1+1=0,

設4(8，0),3(夕2，￡)0<

所以|旗|=胴一闖=

\OP\=0cos(a_?),

由IAB|.|OP|=A/5,即2/2cos2

令cos[a-?出

=m，上述方程可化為16加*一8m2一3=0,解得m=——

272

54—7T

n即n。=—或。=—

1212

此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求

解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

18.(I)6(II)|%+V3y-10|e[0,15]

【解析】

(I)化簡得到直線/的普通方程化為4x+3y=0,,C是以點(5,0)為圓心，5為半徑的圓，利用垂徑定理計算得到

答案.

TT

(II)設尸(5+5cose,5sin6),貝|]k+百=10sin(^+-)-5,得到范圍.

6

【詳解】

(I)由題意可知，直線/的普通方程化為4X+3)，=0,

曲線C的極坐標方程Q=10cos6變形為22=1COS。,

所以C的普通方程分別為Y+y2-iox=o,C是以點(5,0)為圓心，5為半徑的圓,

|4x5+3x0|

設點(5,0)到直線/的距離為d,則"=4,所以|MV|=2,52-42=6.

V32+42

x=5+5cos0

(H)C的標準方程為(x—5f+y2=25,所以參數(shù)方程為?,八(。為參數(shù))，設P(5+5cos6,5sin9),

y=5sin，

卜+鳥叫=〔5+5cos6+5石sin?-10卜10sin(6+()-5,

TFTT

因為一10W10sin(6+—)<10,所以一15<10sin(^+-)-5<5,

66

所以卜+百y—10k[0,15].

【點睛】

本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.

19.(I)見解析(II)筆1(III)|呼|=2

【解析】

試題分析：

(I)取。為原點，D4所在直線為x軸，。石所在直線為二軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面ASE的法向量

n=(73,0,1),且力F=(—據(jù)此有正.而=0,則DF//平面/WE.

—?—?《/a1

(II)由題意可得平面成戶的法向量比=(26,6,4),結(jié)合(I)的結(jié)論可得|cos4=癖｝=V一，即平面A3E

與平面EEB所成銳二面角的余弦值為士叵.

31

(HD設麗=4萬聲=卜九24后)，/IG[0,1],則麗=卜”1,24—2,6/1),而平面ABE的法向量

月=(6,0,1),據(jù)此可得sind=卜我而，乃卜玄，解方程有幾=；或％=據(jù)此計算可得|而|=2.

試題解析：

(I)取。為原點，D4所在直線為％軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則A(l,0,0),5(1,2,0),

E(0,0,⑹,網(wǎng)-1,2,⑹，.?.麗通=(0,2,0),

設平面ABE的法向量為=(x,y,z),二?一尤一妥12=。，不妨設元=(6,o』)，又加=(T,2,6),

二麗?"=一6+6=0，，力F_L為，又丁DF<Z平面ABE,DF//平面ABE.

(II)???屈=卜1,—2,6),=(-2,0,73),設平面8環(huán)的法向量初=(x,y,z),

—x—2y+\/3z=0,//—/—\?,-n105,31

**?\'廠不妨設比二(2班,百,4),cos。=|=,

[-2x+逝z=0,'7\m\-\n\2-V3131

???平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值為上叵.

31

(HI)設5?=九麗=4一1,2,@=(-2,22,732),2e[0,l],/.P(-2,22,732),

/.麗=卜九—1,24—2,瘋)，又?.?平面ABE的法向量萬=(百,0,1),

一

??I-V3Z-V3+>/3AIJ32

sing=cosBP,n=-i=——,：?8A-6/1+1=0，J/1=1或4=[.

2^/(2+l)2+(22-2)2+3A2424

3叵

當；1=工時，BP=.?.阿=2.

222J4

綜上，|法|=2.

20.(1)(x-l)2+(y-2)2=5-a,psin2e+4sin8=p,G表示以0，2)為圓心JT二為半徑的圓；G為拋物線;

(2)夕sin。一pcosg+l=0

【解析】

(1)消去參數(shù)6即得q的直角坐標方程，利用°sin6=x,℃os9=)，即得C2的直角坐標方程；

(2)由直線與拋物線相切，求導可得切線斜率，再由直線與圓相切，故切線與圓心與切點連線垂直，可求解得到切點

坐標，即得解.

【詳解】

(1)消去參數(shù)。即得G的直角坐標方程為：

(x-l)2+(y-2)2=5-a.

2

C2的極坐標方程psin^+4sin^=p.

=p2sin2^+4sin^=p'

?:夕sin8=x,pcos0=y

=>x2=4y.

當a<5時G表示以。，2）為圓心技工為半徑的圓；G為拋物線.

（2）設切點為寸，f=4y

由于y'=1,則切線斜率為半，

由于直線與圓相切，故切線與圓心與切點連線垂直,

2

2-1%

故有4'°_.

21-40

=>%=2=>P（2,1）,

直線/的直角坐標方程為y=犬-1,

所以/的極坐標方程為。sin8—pcos（9+l=0.

【點睛】

本題考查了極坐標，參數(shù)方程綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

ci/,、.3-\/102^/5小、74

21.(1)cosA=-------,co