PAGEPAGE1江蘇省無錫市四校2024屆高三上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，則.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋裕瑒t，所以的虛部為.故選：A.3.設(shè)平面向量，均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以“”是“”的充分必要條件，故選：C.4.北京時(shí)間2020年11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動等11個關(guān)鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點(diǎn)（離月面最近的點(diǎn)）約為200公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)（離月面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）約為8600公里，以月球中心為一個焦點(diǎn)的橢圓形軌道上等待時(shí)間窗口和指令進(jìn)行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.48 B.0.32 C.0.82 D.0.68〖答案〗D〖解析〗由題意可知橢圓實(shí)軸長，所以，焦距，所以，所以橢圓的離心率，故選：D.5.兩個圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐母線長為，側(cè)面積較小的圓錐半徑為，側(cè)面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為、，則，得，因?yàn)閮蓤A錐的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，所以，得，再由勾股定理，得，同理可得，所以兩個圓錐的體積之比為：.故選：A.6.等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)與公差相等，，則的值為（）A.6069 B.6079 C.6089 D.6099〖答案〗A〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槭醉?xiàng)與公差相等，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故選：A．7.已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，故函?shù)關(guān)于對稱；又的定義域?yàn)?，，所以由?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷在上單調(diào)遞增；又，所以，即，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以的最小值為.故選：B.8.已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，因?yàn)闀r(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，則，所以，所以為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又，，，而，所以，即.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.若且，則下列結(jié)論成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗對于A，取，滿足，此時(shí)，A錯誤；對于B，，由不等式性質(zhì)知，成立，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，于是，因此若且，則成立，C正確；對于D，取，滿足，而，D錯誤故選：BC10.函數(shù)圖象如圖所示，則（）AB.C.對任意的都有D.在區(qū)間上的零點(diǎn)之和為〖答案〗AB〖解析〗由題圖可知函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，把代入得，則，得，，，則AB選項(xiàng)均正確；，當(dāng)時(shí)，，不滿足對任意的都有，C錯誤；，，則共有個零點(diǎn)，不妨設(shè)為、、、，且，則，，兩式相加，整理得，故的所有零點(diǎn)之和為，D錯誤，故選：AB.11.已知，是圓O：上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)O到直線的距離為，則B.若的面積為，則C.若，則點(diǎn)O到直線的距離為D.的最大值為，最小值為〖答案〗AC〖解析〗對于A：易知圓：的半徑，因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離，所以，即選項(xiàng)A正確；對于B：因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得，因?yàn)椋曰?，即選項(xiàng)B錯誤；對于C：因?yàn)椋?，即，即，因，所以，即是邊長為1的等邊三角形，所以點(diǎn)O到直線的距離為，即選項(xiàng)C正確；對于D：由題意設(shè)，，且，則因?yàn)椋?，則，，，所以，即，即選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.12.在正四棱錐中，，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值是B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，與所成角可能為D.當(dāng)時(shí)，與平面所成角正弦值的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗由，可得，其中，，所以為正方形內(nèi)的點(diǎn)(包括邊界)，在正四棱錐中，，，設(shè)，連接，則平面，，對A，由題可知，當(dāng)重合時(shí)取等號，故A正確；對B，當(dāng)時(shí)，，即，故在線段上，因?yàn)?，所以三角形的面積為定值，而三棱錐的高為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對C，當(dāng)時(shí)，，故在線段上，由題可知平面，故平面，所以為在平面內(nèi)的射影，，而在中，，所以，，故與所成角不可能為，故C錯誤；對D，當(dāng)時(shí)，，故在線段上，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)與平面所成角為，所以，設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的最大值為______．〖答案〗〖解析〗由題知命題的否定“”是真命題．令，則解得，故實(shí)數(shù)的最大值為故〖答案〗為：14.已知向量，在方向上的投影向量為，則_______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，，所以，即，所?故〖答案〗為：.15.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等分，以每條邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一次分形”；再用同樣的方法將所得圖形中的每條線段重復(fù)上述操作，這稱為“二次分形”；.依次進(jìn)行“次分形”（）.規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.若將邊長為1的正三角形“次分形”后所得分形圖的長度不小于120，則的最小值是______.（參考數(shù)據(jù)：，）〖答案〗〖解析〗依題意可得“次分形”圖的長度是“次分形”圖的長度的，由“一次分形”圖的長度為，所以“每次分形”圖的長度可看成是首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列，所以“次分形”圖的長度為，故，即，兩邊取對數(shù)得，所以，則，又，故n的最小整數(shù)值是．故〖答案〗為：．16.已知函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，有，則______；若函數(shù)恰好有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.〖答案〗0或〖解析〗當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，令，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在恒成立，無解，當(dāng)時(shí)，，即，故或，解得或或，但舍去，其余兩個滿足要求，當(dāng)時(shí)，，故0為的一個零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在時(shí)取得極大值，也是最大值，且，且當(dāng)時(shí)，恒成立，畫出其圖象如下，要想有3個不同的零點(diǎn)，只需；故〖答案〗為：0或；四、解答題17.在中，，，的對邊別為，，，若.（1）求角；（2）若，，求.解：（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫杭?，所?/p>

即，故，由為三角形內(nèi)角可得，.（2），，由余弦定理，又，代入得.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由①當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，②①②式相減得，即兩邊同除以得，，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，則（2），可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，19.如圖，在四棱錐中，底面，，．點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)在棱上，．（1）若，為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．（1）證明：過作的平行線交于，連接，，又，，，又，，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又，又，，，且，四邊形是平行四邊形，，，平面，平面，平面（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，．，3，，，0，，，0，，3，，設(shè)，，，，0，，，，=，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，則，，平面的一個法向量為，，，設(shè)直線與平面所成角為，，，則20.如圖，半徑為1的光滑圓形軌道圓、圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是直線與圓的交點(diǎn)，在圓形軌道、圓上各有一個運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)，同時(shí)分別從點(diǎn)、開始逆時(shí)針繞軌道做勻速圓周運(yùn)動，點(diǎn)，運(yùn)動的角速度之比為2：1，設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角度為，以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）若為銳角且，求、的坐標(biāo)；（2）求的最大值．解：（1）因?yàn)闉殇J角，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所以，．?）因?yàn)辄c(diǎn)，分別運(yùn)動的角速度之比為2：1，所以當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角度為時(shí)，轉(zhuǎn)動角度為，因此，．，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為．21.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）若不過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由題意，則直線的方程為：可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則，又，，所以橢圓的方程為（2）設(shè)若直線斜率不存在，設(shè)，則，，直線：.若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為由即由韋達(dá)定理，即，化簡得，則直線方程為過定點(diǎn)，綜上，直線l過定點(diǎn).22.已知函數(shù).（1）若在定義域內(nèi)單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）