幾何法求最值問題圓錐曲線中的最值問題，是解析幾何中的綜合問題，是一種典型題型．解決最值問題的方法有幾何法、考慮某些量的幾何特征及意義、利用圖形性質(zhì)求解．例1已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值．分析：求的最大值與最小值,考慮用普通方法比較難解，則我們可作適當(dāng)轉(zhuǎn)化，利用橢圓第一定義，把轉(zhuǎn)化為與另一焦點(diǎn)有關(guān)的線段，即,再結(jié)合平面內(nèi)三點(diǎn)共線時(shí)有最值，而點(diǎn)在線段延長線的不同側(cè)時(shí)，會(huì)使取得最大值或最小值．解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，可知其坐標(biāo)為（3，0），由橢圓的第一定義得：，則，可知，當(dāng)P為的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，當(dāng)為的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為．故的最大值為，最小值為．例2P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓和上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為（）A.6B.7C.8D.9解：設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是（－5，0）與（5，0），則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、三點(diǎn)共線以及P與N,三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)|PM|－|PN|≤（|PF1|+2）－（|PF2|－1）=故選D．求解策略：先將點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離，再利用雙曲線的第一定義．例3（1）設(shè)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到的距離與p點(diǎn)到直線：的距離之和的最小值．分析:此題中的：剛好是拋物線的準(zhǔn)線，而點(diǎn)在準(zhǔn)線上，由拋物線第一定義可把到直線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)距離，即所求距離轉(zhuǎn)化為,而剛好是三點(diǎn)距離之和，而在平面中，當(dāng)三點(diǎn)共線即，，三點(diǎn)共線時(shí)它們所得距離之和最?。猓喝鐖D3，由拋物線第一定義得,在平面中，又，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即所求最小值為．（2）設(shè)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若有點(diǎn)，求的最小值．分析:此題是求“的最小值”問題，由拋物線的離心率，則可把轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合幾何知識(shí)從而問題得解．解：作拋物線的準(zhǔn)線為,過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交點(diǎn)為由拋物線定義得如圖，當(dāng)為過點(diǎn)的的垂線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),即所求最小值為4．小結(jié)：根據(jù)圓錐曲線第一定義轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問題，結(jié)合三角形中兩邊和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等結(jié)論可解決問題例4求橢圓上的點(diǎn)P到直線L：x－2y－12=0的最大距離和最小距離．解：（求切點(diǎn)）設(shè)與L平行的直線與橢圓相切于點(diǎn)P(x，y)，由橢圓方程得此切線方程，∵，∴，即（1），又（2），解(1)(2)得切點(diǎn)的坐標(biāo)為P（－2，3）P（2，－3）．設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，．（參數(shù)法）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(4cosθ，sinθ)，它到直線L的距離為，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．例5若求a+b的最小值.解：方法1：利用截距的幾何意義，數(shù)形結(jié)合構(gòu)建橢圓相切，借助判別式為0得．方法2：利用橢圓的參數(shù)方程，化歸為三角最值問題，小結(jié)：注意參數(shù)方程的靈活運(yùn)用，解題時(shí)恰當(dāng)?shù)匾雲(yún)?shù)，將復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡單的三角運(yùn)算，并提供進(jìn)一步利用函數(shù)性質(zhì)的