GRE數(shù)學(xué)—排列組合公式及例題講解排列---序有關(guān)組合C---牽涉到序的題排列分序組合分例如把5不同書分給3個,有種分.排"把5書分給3個,有種分法 "組"1．列及算公式從n不同素，任取mm)元素按一定序排成列，叫做從n不同中取出m個元一個排列從n不同元中取出mm)個素的有排列個數(shù)做從n個同元中取出m素的排數(shù)，號A,)示.A,=n)-)?n+=!(nm(規(guī)定01.2．合及算公式從n個不元素，任取mm)元素并一組做從n個同元素中取出m個元的一個合；從n個不同素中出mm)個素的所有合的，叫做從n個不元素中取出m個素的組數(shù)用符號c,)表.c,=n)!n(n-!!)；(mc,nm;3．他排與組公式從n個素中取出r個元的循排數(shù)＝n)=/(nr.n元素成k類，每的個別是nn.k這n元素全排列數(shù)為n(!2.*k.k類元,類的數(shù)無,從取出m個元素組合數(shù)為(k,.排列A(n下，m為標(biāo)）A=（1（mm（m（是階乘號；A（兩個n分上標(biāo)和標(biāo)）=01（n標(biāo)1為標(biāo)）=n組合C(n下，m為標(biāo)）C=mmmn=！n；n（兩個n分上標(biāo)和標(biāo)）=1n（n標(biāo)1為標(biāo)=；nC-m287830公式A指排從N個素取R進(jìn)行排。公式C指組從N個素取R，不進(jìn)排列。N元素總個數(shù)R參與擇的素數(shù)！-乘，如 ！9*65*21從N倒數(shù)r個達(dá)式應(yīng)該為*n)n)(nr);因?yàn)閺膎到（r)個數(shù)為n－（-1＝r舉例：Q:有從1到9計9個球，請，可成多少三位數(shù)？A: 123和213是兩不的排列對排順序有求，既屬于排列”算范疇。上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)9,7之的合，我們以這看，百數(shù)有9可能，位數(shù)則應(yīng)該有91種能位數(shù)應(yīng)該有9-1可終共有87個三位。計式＝（，)**(從9倒數(shù)3的乘積）Q: 有從1到9共計9個球問如果一組代表三國聯(lián)盟，可合成多個“聯(lián)盟”？A: 23合和12組合表同一組合要有三號碼球在一即可不要求序的于“組合C”算疇。上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個即為組合數(shù)3)*7*1排列、合的和公式型例析例1 設(shè)有3名學(xué)生和4課小組（）每生都只加一個課外組2名學(xué)生只參個課外組而每個小至多有一名生參各有多種不法？1于每名生都參加4課外中的任一，而不限每個小組的數(shù)，共有種不方法．2于每名生都加一個外小而且每小組至多有名學(xué)加，因共有種同方法．點(diǎn)評由要讓3學(xué)生選擇課小組兩問都乘法原理進(jìn)計算．例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四不同共有多種？解依題意，符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個，共3類，類中不排法用畫“圖”式逐一出：∴符合意的不排法共有9種．點(diǎn)評按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理．為把握不同排法規(guī)律樹圖”一種直觀形的有法也是決計數(shù)問題一種模型．例３ 判列問題排列還是組問題計算出果．（高年學(xué)生會有11人每兩人通一共通了少封信？每兩握了一手，了多少手？高年數(shù)學(xué)課小組共10人從中一正組長一名副組長有多種不同選法從中選2名參數(shù)學(xué)競賽有多少種不的選？有359八質(zhì)從中任兩個數(shù)求它的商有多少不同？②從任取求它的以得到多個不積？4）有8：①從選出2分別給乙兩人一盆有多少種不的選②從中選出2在教室多少同的選？分析（1）①由于每人互通一封信，甲給乙的信乙給甲的信是不同的封以與順有關(guān)列由于兩互握一手甲與乙握乙甲手是同次握順序無所是合問題其他類似析．（1①是問題共了封②是組問題需握手（．2是排問題有（種不同的法組合問共有種不同選法．（3①是問題共有不的商②組合題共有種不同的積．（4①是問題共有不的選法是組問題共有種不同的法．例４ 證明．證明 左式右式．∴等成立．點(diǎn)評 這個排列等式明問題用階之商的式并利用階的性質(zhì)可使變過程簡化．例5 化簡．解一 解二 點(diǎn)評 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解二選組合數(shù)兩個，都使形過以簡化．例6 解程（1）2）．解1）程解得．（）原程可變?yōu)椤?，，∴原程可化為．即，得第六?排合、二式定理一、考要求1掌握法原乘法原能用兩個原分析一些簡的問題.2理解列組的意掌排數(shù)合數(shù)計公式和合數(shù)的性質(zhì)，能用解決一簡單題.3掌握項(xiàng)式和二項(xiàng)系數(shù)質(zhì)能用們計和論證些簡單問.二、知結(jié)構(gòu)三、知點(diǎn)、點(diǎn)提示()加原理原理說明 加法乘法原是學(xué)排列組的基礎(chǔ)掌握此原理為處理排列組合有關(guān)問提供論根.例1 5高中業(yè)生準(zhǔn)報考3所高等校每報且只一不同的名方有多少?解：5學(xué)生每人都以在3高等院中任所報名因而每個學(xué)都有3不同的報方法根據(jù)乘原理到不同名方法總共有3333335種)()排、排公式說明 排列數(shù)公式解排應(yīng)用題中學(xué)中較為特，它研究的象以研問題方法和前面握的不同內(nèi)容抽象題方比靈活歷屆考要考查列的題是選題或填空考.例2由數(shù)字1245成有重復(fù)字的數(shù)其中于5000的偶共()A0個B8個36個.4個23解為要偶數(shù)個位只是2或4的排法有1小于000的五位數(shù)萬位能是13或4中剩下一個法有A1在首末兩位數(shù)定后間3個數(shù)的有A3，得A1A3A13()233 3 3 2由此可此題應(yīng)選例3將數(shù)字1234填入為1234的個方格每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?解：數(shù)字1填入第2方格每個方的標(biāo)所填的字均不相同的法有3，即1431243；樣將數(shù)字1填入第3方格也對著3填法將字1入第4格也應(yīng)3種法因此共有法為33A1=(3例四 五可問題，思考三)合、合數(shù)式、組數(shù)的性質(zhì)說明 歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查排列組合的應(yīng)用題，且本上由選擇或填考查.例4 從4型和5臺乙電機(jī)中任取出3，其中少有甲型與乙電視機(jī)各1臺，不同取共有( )A0種 .4種 0種 .5種解： 出的3臺電視中甲型1臺乙型2臺的有C1·C2

種甲4 5型2臺乙型1取法有C2C1種4 5根據(jù)加原理總的取有C2 2 2 14·C+C4C5037(種)可知此應(yīng)選例5 甲乙丙、丁個公包8項(xiàng)工，甲司承包3，乙公司承包1項(xiàng)，、丁公各承包2項(xiàng)，問有多承包方?8解： 甲公司從8項(xiàng)工中選出3工程的式C385乙公司甲公選后余下的5程中選出1項(xiàng)的方式有C1種；54丙公司甲乙司挑選余下的4項(xiàng)工程選出2工程的式有C24種；丁公司甲乙丙三個司挑余下的2項(xiàng)工選出2工程的2方式有C2.2根據(jù)乘原理承包方的種數(shù)有38C1C2×C2=16().5 4 2()二式定二項(xiàng)展式的質(zhì)說明二項(xiàng)理揭示二項(xiàng)正整數(shù)冪的法則在學(xué)中它是常的基識，從95年至198年歷高考有這方的題目出現(xiàn)主要二項(xiàng)展式中公式等題型為選擇或填空題.例6在-)10展開式，6的數(shù)是()10A2C610

B7C4

C9C6101010.C4101010解 x-)10展開式中第γ1含x6，10x因Tγ+1=C10x

10-γ-)

，0γ,=4于是展式中第5項(xiàng)含x，第5項(xiàng)數(shù)是C4

-)9C410 10故此題應(yīng)選例7 (1(1)2x)3x1(1)５展開中的x２的系數(shù)等于 解：此可視項(xiàng)為1，比(1的等數(shù)列前5的和，則其和為6在x)6中含x3項(xiàng)是C3x-)323因此展開中x2的系數(shù)2.()綜例題析6例8 若x+)4aaax2axa4，則aaa)2(a+a)2的值為0 1 2 3 4

0 2 4 1 3( )A1 .10 D2解：例9 2醫(yī)生和4名護(hù)被分到2所學(xué)校學(xué)生檢每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)，不同分配共有( )A6種 .2種 .8種 24種解 醫(yī)生法有A22種士方法有C26種所以共有622 4＝12種不的分方法。應(yīng)選例0 從4臺型和5臺乙電機(jī)中任取出3，其中至要有甲型乙型機(jī)各1，則取法共( ).A0 種 B4 種 .0種 .5種解取出的3視機(jī)中甲型機(jī)分為有一恰有二兩種情形.∵C2+C2C156040.4 5 4∴應(yīng)選例11 小組有10名學(xué)其女生3現(xiàn)選舉2名表至少有1女生的不同法( )A7種 .8種 21種 .4種解：分恰有1生和恰有2名代表兩：∵C1C17C23+24，3 3∴應(yīng)選例12 數(shù)學(xué)1245成沒有復(fù)數(shù)的六位數(shù)中個位數(shù)小于數(shù)字的有( A10個 30個C64個 60個解先考可組無限制件的數(shù)有多個應(yīng)有A1·A560.5 5由對稱性個位小于十?dāng)?shù)的數(shù)和個數(shù)大位數(shù)的位數(shù)各占一.∴有×000符合題的六數(shù).應(yīng)選例13 一個方體的點(diǎn)為的面體有( ).A70個 B64個8C58個 D52個解：如，正有8個點(diǎn)，任取4個的合數(shù)為C470.8其中共四點(diǎn)分3類構(gòu)側(cè)面的有6組成垂底的對角的有2組；如DBC1的有4.∴能形四面有76-5()應(yīng)選例4如把條異面線看一對”那么棱錐的棱在的12直線，異直線共().A12對.4對C36對.8對解：設(shè)六棱錐為—BE.6任取一側(cè)棱AC1則OA與CC、、EF均形異面線對.6∴共有C6=4異面直.應(yīng)選例5 正六的中心頂點(diǎn)共7個點(diǎn)，其中點(diǎn)頂點(diǎn)三角形共 個以數(shù)作答7解：7中任取3則有C35.7其中三共線的有3組正六形有3條直).∴三角個數(shù)為3332個.例6 設(shè)含有0個素的合全部子數(shù)為S其中由3個素組成的集數(shù)為T則的值為 。解 10元素集合的部子有：SC0

+C1

+C2

C3

C4

+C5

+C6

C7

C8

C9

+C0

2=2410 10

10 10 10

10 10

10 10 10 10其中，含3個的子集數(shù)有=C3

=2010故=例7 在0品n中有4件品，從任意了5件至少有3件是品的法 (數(shù)字答解：“至少3品”即“有3品”或“有4品”.∴C3C2

+C4C1

46種)4 46 4 46例8 有甲、丙三任務(wù)需2人承，乙、丙各需1擔(dān)從0中選派4人承這三任不同選法有( A20種 .25種C50種 .40種解：先從10人中選2個承任務(wù)C2)10再從剩余8人中選1人承任務(wù)C18)又從剩余7人中選1人承任務(wù)C17)∴有C2

C18C1720(種10應(yīng)選例19 合123｝集總有( A7個 B8個 C6個 .5個解 個元集合的集中含任何素的有一個由一個元素組的子數(shù)C1 23，由個元成的子集數(shù)C3。3由3個素組子集數(shù)C3由加原理可集合的總個是3C1 2 33C3C31+118故此題應(yīng)選例20 設(shè)在20件產(chǎn)中有3件次品，在從意抽