微積分入門(精華)2024-01-24微積分基本概念微分學(xué)基礎(chǔ)積分學(xué)基礎(chǔ)微分方程初步無窮級(jí)數(shù)簡介微積分在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例目錄01微積分基本概念微分定義微分是函數(shù)局部變化率的線性近似，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的微小變化量。導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值隨自變量變化而變化的速率，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率。微分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系微分是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)是微分的商，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的微分與自變量的增量之比的極限。微分與導(dǎo)數(shù)030201123積分是求一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上與x軸圍成的面積的過程。積分定義定積分是求一個(gè)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上與x軸圍成的面積的過程，其結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)值。定積分定義定積分是積分的一種特殊情況，即求函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的面積。而一般的積分則可能涉及到無窮區(qū)間或者開區(qū)間。積分與定積分關(guān)系積分與定積分微分與積分的互逆性微分和積分是互逆的運(yùn)算，即先對(duì)函數(shù)進(jìn)行微分再進(jìn)行積分（或先積分再微分），可以得到原函數(shù)（或原函數(shù)的等價(jià)形式）。微分與積分的聯(lián)系微分和積分都是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它們之間有著密切的聯(lián)系。例如，通過求解微分方程可以得到函數(shù)的表達(dá)式，而通過求解定積分可以得到函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均值等。微分與積分的區(qū)別雖然微分和積分有著密切的聯(lián)系，但它們研究的對(duì)象和方法是不同的。微分主要研究函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部性質(zhì)，如切線斜率、極值等；而積分則主要研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)，如面積、體積等。微分與積分關(guān)系02微分學(xué)基礎(chǔ)描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的變化趨勢。極限定義極限性質(zhì)無窮小與無窮大唯一性、局部有界性、保號(hào)性、四則運(yùn)算法則。理解無窮小與無窮大的概念及關(guān)系，掌握無窮小的比較。030201極限概念及性質(zhì)03高階導(dǎo)數(shù)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。01導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映函數(shù)在該點(diǎn)的局部變化率。02導(dǎo)數(shù)計(jì)算掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，學(xué)會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、隱函數(shù)求導(dǎo)法則等。導(dǎo)數(shù)定義及計(jì)算010203羅爾定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)處的函數(shù)值之差與區(qū)間長度的比值。柯西中值定理如果兩個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不為零，則兩個(gè)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)使得兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之比等于兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)處的函數(shù)值之比。微分中值定理03積分學(xué)基礎(chǔ)湊微分法通過湊微分，將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單的基本積分公式進(jìn)行計(jì)算。換元法通過變量代換，將不定積分轉(zhuǎn)化為另一種形式，從而方便求解。分部積分法將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，然后利用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。不定積分計(jì)算方法牛頓-萊布尼茲公式通過求解被積函數(shù)的原函數(shù)，并利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分的值。定積分的換元法與不定積分類似，通過變量代換將定積分轉(zhuǎn)化為另一種形式進(jìn)行計(jì)算。定積分的分部積分法與不定積分類似，將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，然后利用分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。定積分計(jì)算方法無窮限廣義積分廣義積分簡介被積函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分，通過取極限的方式求解。瑕積分被積函數(shù)在有限區(qū)間上存在瑕點(diǎn)（即無界點(diǎn)）的積分，通過取極限的方式求解。包括收斂性、絕對(duì)收斂性、比較判別法等性質(zhì)，用于判斷廣義積分是否收斂以及如何進(jìn)行計(jì)算。廣義積分的性質(zhì)04微分方程初步一階線性微分方程解法010203一階線性微分方程的通解公式一階線性微分方程特解的求法一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)''=f(x)型微分方程的解法y''=f(y,y')型微分方程的解法y''=f(x,y')型微分方程的解法可降階高階微分方程解法常系數(shù)線性微分方程解法01常系數(shù)齊次線性微分方程的通解02常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解常系數(shù)線性微分方程組的解法0305無窮級(jí)數(shù)簡介比較判別法、比值判別法、根值判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法、絕對(duì)收斂與條件收斂任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)、麥克勞林級(jí)數(shù)收斂域判斷阿貝爾定理、收斂半徑與收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)展開與收斂域判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法一致收斂性判別法魏爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)連續(xù)性、可積性、可微性06微積分在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例通過計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度，沿著負(fù)梯度方向逐步更新自變量，以求得目標(biāo)函數(shù)的最小值。梯度下降法利用目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)信息，構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)來近似目標(biāo)函數(shù)，并通過求解該二次函數(shù)的極值點(diǎn)來更新自變量。牛頓法通過構(gòu)造一個(gè)近似于目標(biāo)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的矩陣，來模擬牛頓法的迭代過程，從而避免了直接計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)的高昂代價(jià)。擬牛頓法最優(yōu)化問題求解方法多項(xiàng)式擬合利用多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)給定數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可以通過調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)來控制擬合的精度和復(fù)雜度。非線性回歸當(dāng)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系不是簡單的線性關(guān)系時(shí)，可以使用非線性回歸模型進(jìn)行擬合，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。最小二乘法通過最小化預(yù)測值與真實(shí)值之間的平方誤差和，來求解最優(yōu)的擬合曲線參數(shù)。曲線擬合與回歸分析應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)問題通過微積分可以描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如速度、加速度等，進(jìn)而求解物體的運(yùn)動(dòng)軌跡