試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年中考數(shù)學(xué)二輪專題提升訓(xùn)練：圓的綜合1．如圖，以的邊為直徑的交于點D，的切線，垂足為點E．

(1)求證：．(2)若的半徑等于5，，求的長．2．如圖，為的直徑，C為上一點，D為延長線一點，且，于點E．

(1)求證：直線為的切線；(2)設(shè)與交于點F，的延長線與交于點P，①求證：；②若，，求和的值3．已知中，直徑長為12，、分別切于點，，弦．

(1)如圖1，若，求的大小和弦的長；(2)如圖2，過點的切線分別與、的延長線交于點，，且，求弦的長．4．如圖，的直徑，點C、點D在上，，交延長線于點E，連接，且．

(1)證明：；(2)證明：的切線；(3)若，，求的長．5．如圖1，是的直徑，是的切線，點是直徑右側(cè)半圓上一點，過點作于點，連結(jié)交于點．

(1)求證：．(2)連結(jié)、，若，求證：．(3)如圖2，連結(jié)，若是的切線，求證：．6．如圖，為的直徑，弦于點E，于點F，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．7．如圖，是的直徑，弦于E，與弦交于G，過點F的直線分別與的延長線交于M，N，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．8．如圖，是的直徑，點C是半圓的中點，點D是上一點，連接交于點E，點F是延長線上一點，且．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，，求的半徑．9．如圖，已知是圓的直徑，點在圓上，且，過點作弦的平行線與的延長線交于點(1)若圓的半徑為，且點為弧的中點時，求線段的長度；(2)在（1）的條件下，當(dāng)，α?xí)r，求線段的長度；（答案用含α的代數(shù)式表示）(3)若，且，求的面積．10．如圖，為的直徑，為上一點，作的平分線交于點，過點作的切線，交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．11．如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，平分，過點作的平行線，交的延長線于點．(1)求證：與相切；(2)求證：．12．如圖，半徑為2，弦，A是弦所對優(yōu)弧上的一個點，連接并延長交點M，連接，過點B作，垂足為E．(1)求證：．(2)過點A作，分別交，于點H，D．求的長．13．已知為的直徑，點C和點D為上的動點（兩點在的異側(cè)且都不與A、B重合），連接與交于點E，連接，．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，求的長度；(3)如圖2，若，，且對任意的點C，弦上都有一點F滿足，連接，求線段的最小值．14．已知：是的外接圓，連接并延長交于點，．(1)如圖，求證：；(2)如圖，點在的延長線上，連接并延長交于點，且，求證：；(3)如圖，在（2）的條件下，過點作交于點，若，，求線段的長．15．已知為的直徑，C為上一點，和過點C的切線互相垂直，垂足為D，交于點E．(1)如圖①，求證：平分；(2)如圖②，過B作交于點F，連接，若，，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(2)【詳解】（1）證明：如圖，連接．

∵為的切線，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵為的直徑，∴．又∵，∴，∴；（2）解：∵的半徑等于5，∴．∵，∴，∴在中，．∵，∴．又∵，∴，∴，即，解得：．2．②，【詳解】（1）證明：如圖所示，連接．∵于點E，∴，

∵，∴C是的中點，又∵O是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴，又∵點C在圓上，∴是圓O的切線；（2）解：①如圖所示，連接，

∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，且，∴，且，∴，∴，∴；②∵是直徑，點F在圓上，∴，∵，∴，∴，∴又由（2）的①知：，∴，∴在直角中，．3．(1)，(2)【詳解】（1）解：、分別切于點，，，在四邊形中，，，，，是的直徑，，即，，，（2）解：連接、、，如圖，，為的切線，

，在和中，，同理：，，為的切線，，，，，∴四邊形為平行四邊形，．，設(shè)則，，在中，，即，，是的直徑，為斜邊上的高，，12x560．4．(3)4【詳解】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于，∴．∵．∴．∵為的直徑，∴．∵，∴．∴．∴；（2）證明：連接，

∵，∴．由（1）得，，∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∴為的切線；（3）解：∵，∴．又∵，∴．∵，∴．連接，∴．∵為的直徑，∴．在中，，∴．5．【詳解】（1）證明：是的直徑，是的切線，，于點，交于點，，，，；（2）證明：如圖1，延長、交于點，

，，，，，，，，，，；（3）證明：如圖2，連結(jié)并延長、交于點，連結(jié)、、，

、都是的切線，，，，是的直徑，，，，，，，，，，，，．6．(2)的長是【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，∴，∵于點E，于點F，且，∴點C在的平分線上，∴平分，∴，∴，∴，∴，∵經(jīng)過的半徑的外端，且，∴是的切線．（2）解：∵為的直徑，弦于點E，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長是．7．(2)【詳解】（1）證明：連接．則．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即．∴是的切線．（2）連接．由（1），．可設(shè)，．∵，∴．∵，∴．∴，．∴．∵是直徑，∴．∴∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．8．(2)的半徑為【詳解】（1）證明：連接∵點C是半圓的中點∴，∴∵∴∵∴又∵∴∴∴，即又∵為的半徑∴為的切線（2）解：∵為的直徑∴∵∴∵∴，∴∵∴∴又∵∴∴即∴，∴∴的半徑為9．(1)；(2)；(3)108．【詳解】（1）解∶如圖，過作于，連接，則，∵是圓的直徑，∴，∵點為弧的中點，∴弧弧，∴，∴，∴，∴，∵圓的半徑為，即，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，由可知，∴；（3）解：如圖，連接，，，并延長至點，∵是圓的直徑，∴，∵，，∴垂直平分，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴即，設(shè)，則，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，即，解，∴，∴的面積．10．(2)．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵是的切線，∴，，∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵是圓周角，是圓心角，所對弧相同，∴，∴，∴．（2）解：如圖2，過點作于點，連接，∵，，，∴，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．11．【詳解】（1）證明：如圖：連接．∵平分，∴，∴；∵為直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴與相切．（2）解：∵，∴，又∵，∴；∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．12．(2)【詳解】（1）證明：由題意得為的直徑，∴，∴∵，∴；（2）解：如下圖所示，連接，延長交于點N，連接∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是直徑，∴，∴．13．(1)(2)(3)【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴的度數(shù)為：，∴，∵，∴．（2）解：過點C作于點G，如圖所示：∵，，，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴．（3）解：連接，，，如圖所示：∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴點F在以為直徑的圓上，設(shè)點M為的中點，連接，交于點H，當(dāng)點F在點H處時，最小，過點M作于點N，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴的最小值為．14．(3)【詳解】（1）如圖，連接，，，，（垂直平分線上的點到兩端點的距離相等）．，；（2）證明：如圖，連接，設(shè)，，．，，（垂直平分線上的點到兩端點的距離相等），，．四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，∴；（3）解：如圖，連接，，，過點作于點，過點作于點，設(shè)，．，，，，．∵，，，