專題05二次根式【專題目錄】技巧1：巧用二次根式求字母或代數(shù)式的值技巧2：常見二次根式化簡求值的九種技巧【題型】一、二次根式有意義的條件【題型】二、利用二次根式的性質(zhì)化簡【題型】三、二次根式的乘除運算【題型】四、最簡二次根式【題型】五、同類二次根式【題型】六、二次根式的加減【題型】七、二次根式乘除混合運算【考綱要求】1、掌握二次根式有意義的條件和基本性質(zhì)(eq\r(a))2＝a(a≥0)，能用二次根式的性質(zhì)eq\r(a2)＝|a|來化簡根式．2、能識別最簡二次根式、同類二次根式．能根據(jù)運算法則進行二次根式的加減乘除運算以及混合運算.【考點總結(jié)】一、二次根式二次根式概念二次根式的概念形如eq\r(a)(a≥0)的式子.二次根式有意義的條件要使二次根式eq\r(a)有意義，則a≥0.最簡二次根式①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式性質(zhì)雙重非負性①被開方數(shù)是非負數(shù)，即a≥0；②二次根式的值是非負數(shù)，即SKIPIF1<0≥0.兩個重要性質(zhì)①(eq\r(a))2＝a(a≥0)；②eq\r(a2)＝|a|＝SKIPIF1<0；【考點總結(jié)】二、二次根式的運算二次根式運算二次根式的加減法合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(a≥0，b＞0)．二次根式的混合運算運算順序與實數(shù)的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．【注意】1、化簡二次根式的步驟（易錯點）（1）把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；（2）把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積；（3）如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式(eq\r(a))2＝a(a≥0)把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡。2、二次根式運算中的注意事項（1）一般將最后結(jié)果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。（2）二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來?！炯记蓺w納】技巧1：巧用二次根式求字母或代數(shù)式的值【類型】一、利用二次根式的定義判定二次根式1．下列式子中為二次根式的是()A.eq\r(3,8)B.eq\r(－1)C.eq\r(2)D.eq\r(x)(x＜0)【類型】二、利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍2．無論x取何實數(shù)，代數(shù)式eq\r(x2－4x＋m)都有意義，化簡式子eq\r(（m－3）2)＋eq\r(（4－m）2).【類型】三、利用最簡二次根式的定義識別最簡二次根式3．把下列各式化成最簡二次根式．(1)eq\r(1.25)；(2)eq\r(4a3b＋8a2b)(a≥0，b≥0)；(3)eq\r(－\f(n,m2))(mn＞0)；(4)eq\f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))(x≠y)．【類型】四、利用被開方數(shù)相同的最簡二次根式的條件求字母的值4．如果最簡根式eq\r(b－a,3b)和eq\r(2b－a＋2)是被開方數(shù)相同的最簡二次根式，那么()A．a(chǎn)＝0，b＝2B．a(chǎn)＝2，b＝0C．a(chǎn)＝－1，b＝1D．a(chǎn)＝1，b＝－25．如果最簡二次根式eq\r(3a－8)與eq\r(17－2a)在二次根式加減運算中可以合并，求使eq\r(4a－2x)有意義的x的取值范圍．技巧2：常見二次根式化簡求值的九種技巧【類型】一、估算法1．若將三個數(shù)－eq\r(3)，eq\r(7)，eq\r(11)表示在數(shù)軸上，則其中被如圖所示的墨汁覆蓋的數(shù)是________．【類型】二、公式法2．計算：(5＋eq\r(6))×(5eq\r(2)－2eq\r(3))．【類型】三、拆項法3．計算：eq\f(\r(6)＋4\r(3)＋3\r(2),（\r(6)＋\r(3)）（\r(3)＋\r(2)）).[提示：eq\r(6)＋4eq\r(3)＋3eq\r(2)＝(eq\r(6)＋eq\r(3))＋3(eq\r(3)＋eq\r(2))]【類型】四、換元法4．已知n＝eq\r(2)＋1，求eq\f(n＋2＋\r(n2－4),n＋2－\r(n2－4))＋eq\f(n＋2－\r(n2－4),n＋2＋\r(n2－4))的值．【類型】五、整體代入法5．已知x＝eq\f(1,3－2\r(2))，y＝eq\f(1,3＋2\r(2))，求eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－4的值．【類型】六、因式分解法6．計算：eq\f(\r(2)＋\r(3),2＋\r(6)＋\r(10)＋\r(15)).【類型】七、配方法7．若a，b為實數(shù)，且b＝eq\r(3－5a)＋eq\r(5a－3)＋15，試求eq\r(\f(b,a)＋\f(a,b)＋2)－eq\r(\f(b,a)＋\f(a,b)－2)的值．【類型】八、輔元法8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求eq\f(\r(x＋y),\r(x＋z)＋\r(x＋2y))的值．[來源:學(xué)§科§【類型】九、先判后算法9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求beq\r(\f(b,a))＋aeq\r(\f(a,b))的值．【題型講解】【題型】一、二次根式有意義的條件例1、函數(shù)SKIPIF1<0的自變量SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】二、利用二次根式的性質(zhì)化簡例2、SKIPIF1<0化簡的結(jié)果是（）A．－2 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【題型】三、二次根式的乘除運算例3、計算SKIPIF1<0的結(jié)果正確的是（）．A．1 B．SKIPIF1<0 C．5 D．9【題型】四、最簡二次根式例4、下列各式是最簡二次根式的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】五、同類二次根式例5、下列各式中與SKIPIF1<0是同類二次根式的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】六、二次根式的加減例6、計算SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【題型】七、二次根式乘除混合運算例7、下列各式不成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二次根式（達標訓(xùn)練）一、單選題1．（2021·黑龍江·遜克縣教師進修學(xué)校一模）下列各式中與SKIPIF1<0是同類二次根式的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最簡二次根式的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·黑龍江綏化·三模）函數(shù)SKIPIF1<0的自變量SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<04．（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學(xué)一模）下列各式正確的是（）A．SKIPIF1<0＝±4 B．SKIPIF1<0＝3 C．SKIPIF1<0＝﹣8 D．4SKIPIF1<0﹣4＝SKIPIF1<05．（2022·重慶·模擬預(yù)測）估算SKIPIF1<0的結(jié)果最接近的整數(shù)是（）．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題6．（2022·廣東順德德勝學(xué)校三模）二次根式SKIPIF1<0中，字母m的取值范圍是_____________．7．（2022·重慶·二模）計算：（3.14﹣π）0﹣|SKIPIF1<04|＝_____．三、解答題8．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測）計算：SKIPIF1<0．9．（2021·山東青島·二模）若矩形的周長是SKIPIF1<0cm，一邊長是SKIPIF1<0cm，求它的面積．二次根式（提升測評）一、單選題1．（2022·上海崇明·二模）如果最簡二次根式SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是同類二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，與SKIPIF1<0是同類二次根式的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·廣東番禺中學(xué)三模）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．1 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河北·一模）已知SKIPIF1<0，則代數(shù)式SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·重慶南開中學(xué)三模）估計SKIPIF1<0的值在（

）A．4和5之間 B．5和6之間C．6和7之間 D．7和8之間6．（2022·貴州遵義·二模）已知a，b均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一個三角形的三邊的長，則這個三角形的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題7．（2022·浙江·瑞安市安陽鎮(zhèn)濱江中學(xué)三模）當SKIPIF1<0時，代數(shù)式SKIPIF1<0的值為_______．8．（2022·四川廣安·二模）如圖所示，化簡SKIPIF1<0的結(jié)果是___________．三、解答題9．（2022·廣東·佛山市南海外國語學(xué)校三模）先化簡，再求值：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．10．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模）若三個實數(shù)x，y，z滿足S