2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之函數(shù)

一.選擇題（共6小題）

1.（2021?北京）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水

平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：〃師）.24/7降雨量的等級(jí)劃分如下:

等級(jí)24力降雨量（精確到0.1）

..........

小雨0.1?9.9

中雨10.0?24.9

大雨25.0?49.9

暴雨50.0—99.9

..........

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200皿〃，高為300加〃的圓錐形雨量

器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24/?的雨水高度是150〃"〃（如圖所示），則這

24/?降雨量的等級(jí)是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

2.（2019?北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

1.1

A.y=x2B.y=2xC.y=log]XD.y-

Tx

3.（2019?北京）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與

5Ei

亮度滿足機(jī)2-如=—/g—其中星等為恤的星的亮度為以a=i,2）.已知太陽(yáng)的

2E?

星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（)

A.IO10-1B.10.1C.lg\O.\D.10-101

1

4.(2017?北足)已知函數(shù)/(x)=3"-(——)*,則f(x)()

3

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

5.(2017?北京)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測(cè)宇宙中

普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1()8。，則下列各數(shù)中與」—最接近的是()

N

(參考數(shù)據(jù)：/g3po.48)

A.1033B.1()53C.1073D.1093

1

6.(2017?北京)已知函數(shù)/(x)=3廠(——)x,則/'(x)()

3

A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

二.填空題(共6小題)

7.(2021?北京)已知函數(shù)/(x)=|/gx|-fcv-2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

(1)若&=0,則/(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

(2)存在負(fù)數(shù)%,使得/(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；

(3)存在負(fù)數(shù)鼠使得了(X)恰有3個(gè)零點(diǎn)；

(4)存在正數(shù)使得/(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

1

8.(2020?北京)函數(shù)/.(x)=------F妹的定義域是.

1

9.(2020?北京)為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排

放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=/(r),用-

/(b)一的大小評(píng)價(jià)在3,句這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi),

b-a

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在Z，勿這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在13時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0,，，出，勿，山，印這三段時(shí)間中,在［0,3的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

10.(2019?北京)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、

西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這

四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客

網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的

最大值為.

11.(2018?北京)能說明“若/(x)>f(0)對(duì)任意的在(0,2］都成立，則f(x)在［0,

2］上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

12.(2017?北京)三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中A,

的橫、縱坐標(biāo)分別為第，?名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分

別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=l,2,3.

(1)記Q為第，名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，。2,Q3中最大的是.

(2)記p,為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則0,p2,P3中最大的

是

t零件數(shù)（件）

A1

B173

?Bi

工作時(shí)間（小時(shí)）

2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之函數(shù)

參考答案與試題解析

選擇題（共6小題）

1.（2021?北京）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水

平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：機(jī)機(jī)）.24力降雨量的等級(jí)劃分如下:

等級(jí)24/1降雨量（精確到0.1）

..........

小雨0.1-9.9

中雨10.0?24.9

大雨25.0?49.9

暴雨50.0?99.9

..........

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200〃〃"，高為300〃"〃的圓錐形雨量

器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24〃的雨水高度是150〃〃〃（如圖所示），則這

24/2降雨量的等級(jí)是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求

出圓錐的體積，求出平面上積水的厚度，由題意即可得到答案.

112

【解答】解：圓錐的體積為y=—Sh=—r兀h，

33

因?yàn)閳A錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，

11

所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為一X——X200=50"〃?，

22

將/'=50,〃=150代入公式可得U=125000TT（W/J?3）,

圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，

平底上積水的體積為V=S/?,且對(duì)于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積，

所以兀?乙X元

S=ZOO）?=10（）00（mn?）,

2

125000元

則平地上積水的厚度h=--------=12.5（%相），

10000兀

因?yàn)?0<12.5<25,

由題意可知，這一天的雨水屬于中雨.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握錐體和柱體體

積公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.

2.（2019?北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

11

A.y=x2B.y=2*C.y=logjxD.y=---

Tx

【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】判斷每個(gè)函數(shù)在（0,+8）上的單調(diào)性即可.

]_1

【解答】解：y=12在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=￡:=一在

Tx

（0,+8）上都是減函數(shù).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】考查尋函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性.

3.（2019?北京）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與

5Ei

亮度滿足機(jī)2-如=一心一其中星等為利的星的亮度為&a=i,2).已知太陽(yáng)的

2E?

星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()

A.IO10-1B.10.1C./glO.lD.1O10-1

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

54

【分析】把已知熟記代入加2-〃?1=—收一二，化簡(jiǎn)后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

2E?

【解答】解：設(shè)太陽(yáng)的星等是如=-26.7,天狼星的星等是〃?2=-1.45,

5Ei

由題意可得：一1.45—(一26.7)=—1妖」

2E?

孫2=10/，則'=101°」

5E2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

1

4.(2017?北京)已知函數(shù)/(X)=3"-(——)*,則/(x)()

3

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】探究型；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由已知得/(-X)--f(x),即函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，由函數(shù)y=3”為增函數(shù),

1

y=(_)X為減函數(shù)，結(jié)合“增"-“減”="增”可得答案.

3

【解答】解:f(x)=3X-(―)*=3J3),

3

/./(-%)=3x-3X=-/(x),

即函數(shù)/(x)為奇函數(shù),

1

又由函數(shù)y=3,為增函數(shù)，y=(―)x為減函數(shù)，

3

1

故函數(shù)/(X)=3'-(―)'為增函數(shù)，

3

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合

應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2017?北京)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測(cè)宇宙中

普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1()8。，則下列各數(shù)中與上_最接近的是()

N

(參考數(shù)據(jù)：/g3po.48)

A.1033B.1()53C.1073D.1()93

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】計(jì)算題.

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：T=J°g-T，可得：3=10妒-10。48,代入M將M也化為

10為底的指數(shù)形式，進(jìn)而可得結(jié)果.

【解答】解：由題意：M^3361,1()80,

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)有：3=10/?3^10°-48,

(IO048)361?10173,

173

M1093

N1O60

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題解題關(guān)鍵是將一個(gè)給定正數(shù)T寫成指數(shù)形式：T=J°g-T，考查指數(shù)形式

與對(duì)數(shù)形式的互化，屬于簡(jiǎn)單題.

1

6.(2017?北京)已知函數(shù)/(X)=3'-(一)。則()

3

A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D,是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】探究型；定義法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由已知得/(-x)=-/(尤)，即函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，由函數(shù)y=3*為增函數(shù),

1

y=(一)X為減函數(shù)，結(jié)合“增"-“減”="增”可得答案.

3

1

【解答】解：/(x)=3J-(——)*=3*-3),

3

(-%)=3-3*=-f(x),

即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

1

又由函數(shù)y=3*為增函數(shù)，y=(——)x為減函數(shù)，

3

1

故函數(shù)/(x)=3'-(―)'為增函數(shù)，

3

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合

應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題(共6小題)

7.(2021?北京)已知函數(shù)/(x)=|/gx|-履-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

(1)若％=0,則/1(x)有2個(gè)零點(diǎn)：

(2)存在負(fù)數(shù)也使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；

(3)存在負(fù)數(shù)%,使得了(X)恰有3個(gè)零點(diǎn)；

(4)存在正數(shù)上使得/(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(1)(2)(4).

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】作圖題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；簡(jiǎn)

易邏輯：數(shù)學(xué)建模；直觀想象.

【分析】函數(shù)/(*)=|/gx|-日-2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|/gx|與直線y=&+2的

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；從而作圖，結(jié)合圖象依次判斷即可.

【解答】解：函數(shù)/(%)=|則-履-2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù))，=|3|與直線y=kx+2

的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

作函數(shù)y=|/gx|與直線y=fcv+2的圖象如右圖，

若k=0,則函數(shù)與直線y=fcv+2的圖象在（0,1）與（1,+8）上各有一個(gè)交點(diǎn),

如直線/1，則f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，故（1）正確；

當(dāng)火=-2時(shí),,當(dāng)（0,1］時(shí)，/（》）=-四%+21:-2,

11

/（10'2）=2+——-2>0,/（10-1）=1+--2<0,

505

故/G）在（W2,101）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

又/（1）=0,結(jié)合圖象知，/（x）在（0,1］上有兩個(gè)零點(diǎn)，

即y=|/gx|與y=-2x+2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故當(dāng)直線繞點(diǎn)（0,2）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，

存在直線），=后+2與函數(shù)y=|/gx|與直線的圖象相切，即/（X）有一個(gè)零點(diǎn)，如直線自

故（2）正確；

當(dāng)上<0時(shí)，函數(shù)》=|/gx|與直線），=履+2的圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)，故（3）不正確；

當(dāng)k>0且4足夠小時(shí)，函數(shù)y=|/gx|與直線y=fcc+2的圖象在（0,1）與（1,+8）上分

別有1個(gè)、2個(gè)交點(diǎn)，如直線包故（4）正確；

故答案為：（1）（2）（4）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假性的判斷，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)

用，考查了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

1

8.（2020?北京）函數(shù)/（x）=----------+/nx的定義域是（.也>0}.

1

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式組，解不等式即可.

【解答】解：要使函數(shù)有意義，則4,

x>0

'勺￥-］

所以，，所以x>0,

x>0

所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},

故答案為：{xk>0}.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式是解決本題

的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

9.（2020?北京）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排

放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=/（r）,用-

.“一八°）,的大小評(píng)價(jià)在口,句這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi)，

b-a

甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在S，0這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在/2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在f3時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0,3，m，3，32,⑶這三段時(shí)間中，在［0,川的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③.

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象.

【分析】由兩個(gè)企業(yè)污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系圖象結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率逐

一分析四個(gè)命題得答案.

【解答】解：設(shè)甲企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間f的關(guān)系為卬=f（f）,乙企業(yè)的污水排放

量W與時(shí)間/的關(guān)系為W=g(r).

2T儲(chǔ))

對(duì)于①，在山，切這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力為一......—1

品一八

g(t2)-g(t.)

乙企業(yè)的污水治理能力為-——......-.

f2-fl

了。2)一必)

由圖可知，/⑺)-fCt2)>g(n)-g“2),??----------------->-——.......—,

t2Tlt2Tl

即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；

對(duì)于②，由圖可知，/(/)在/2時(shí)刻的切線的斜率小于g(?)在，2時(shí)刻的切線的斜率，

但兩切線斜率均為負(fù)值，

在及時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故②正確；

對(duì)于③，在73時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，

...在73時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)，故③正確；

對(duì)于④，由圖可知，甲企業(yè)在［0,川，①，出，上2，印這三段時(shí)間中，在用，出的污水

治理能力最強(qiáng)，

故④錯(cuò)誤.

，正確結(jié)論的序號(hào)是①②③.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際生活問題，考查學(xué)生的讀圖視圖能力，是中檔題.

10.(2019?北京)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、

西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這

四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客

網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付130元:

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的

最大值為15.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專題】方程思想；分析法；不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】①由題意可得顧客一次購(gòu)買的總金額，減去x,可得所求值；

②在促銷活動(dòng)中，設(shè)訂單總金額為m元，可得Cm-x)X80%\”?X70%,解不等式,

結(jié)合恒成立思想，可得X的最大值.

【解答】解：①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元)，

即有顧客需要支付140-10=130(元)；

②在促銷活動(dòng)中，設(shè)訂單總金額為膽元，

可得(w-x)X80%》機(jī)X70%,

m

即有xW——恒成立，

8

若m<120,可得到支付款為80%〃?；

當(dāng)機(jī)2120,

可得xW工2_=15,

8

則x的最大值為15元.

故答案為：130,15

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式在實(shí)際問題的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.(2018?北京)能說明“若/(x)>f(0)對(duì)任意的賬(0,2］都成立，則/(x)在［0,

2］上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是f(x)=siru.

【考點(diǎn)】命題的否定.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】本題答案不唯一，符合要求即可.

【解答】解：例如f(x)—sinx,

盡管/(x)>/(0)對(duì)任意的在(0,2］都成立，

當(dāng)xe［0,——)上為增函數(shù)，在(——，2］為減函數(shù)，

22

故答案為：f(x)=siax.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2017?北京)三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中Ai

的橫、縱坐標(biāo)分別為第，名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)用的橫、縱坐標(biāo)分

別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=l,2,3.

(1)記0,?為第，?名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q”。2,。3中最大的是。1.

(2)記Pi為第，?名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則0,P2,P3中最大的是

i22_.

A零件數(shù)（件）

Al

Bi?&

A*l

?Bi

A*3

°工作時(shí)間（小時(shí)）

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】計(jì)算題；圖表型；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】（1）若。i為第，.名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則。?的綜坐標(biāo)+5的

縱坐標(biāo)；進(jìn)而得到答案.

（2）若為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p,為48中點(diǎn)與原點(diǎn)連

線的斜率；進(jìn)而得到答案.

【解答】解：（1）若為第，?名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，

Qi=A\的縱坐標(biāo)+Bi的縱坐標(biāo)；

。2=42的縱坐標(biāo)+&的縱坐標(biāo)，

。3=43的縱坐標(biāo)+83的縱坐標(biāo)，

由已知中圖象可得：21，。2，。3中最大的是Q，

（2）若Pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，

則Pi為AiBi中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

故Pl，P2,心中最大的是〃2

故答案為：Ql，P2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，分析出Q和的幾何意義，是解答的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.命題的否定

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

命題的否定就是對(duì)這個(gè)命題的結(jié)論進(jìn)行否認(rèn).（命題的否定與原命題真假性相反）命題的否

命題就是對(duì)這個(gè)命題的條件和結(jié)論進(jìn)行否認(rèn).（否命題與原命題的真假性沒有必然聯(lián)系）.rP

不是命題P的否命題，而是命題尸的否定形式.對(duì)命題“若P則Q”來(lái)說，rP是“若P則

非0"；P的否命題是“若非P則非Q”

注意兩個(gè)否定：“不一定是”的否定是“一定是”；

“一定不是”的否定是“一定是

【解題方法點(diǎn)撥】若P則4,那么它的否命題是：若Y則rq,命題的否定是：若?則rq.注

意兩者的區(qū)別.

全（特）稱命題的否定命題的格式和方法；要注意兩點(diǎn)：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只

對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定.將量詞“V”與“于‘互換，同時(shí)結(jié)論否定.

【命題方向】命題存在中學(xué)數(shù)學(xué)的任意位置，因此命題的范圍比較廣，涉及知識(shí)點(diǎn)多，多以

小題形式出現(xiàn)，是課改地區(qū)?？碱}型.

2.命題的真假判斷與應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非P的真假，然后由

真值表判斷復(fù)合命題的真假.

注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2-2x+l=0的兩根都不是實(shí)根”,

因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分.

【解題方法點(diǎn)撥】

1.判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的

真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假.

2.判斷一個(gè)“若p則形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”,

則“若p則q”為真；而要確定“若p則為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可.

3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命

題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷.

【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且

全，多以小題形式出現(xiàn).

3.函數(shù)的定義域及其求法

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；

②根式（開偶次方）被開方式20；

③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，以及對(duì)數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；

④指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零.

⑤實(shí)際問題中函數(shù)的定義域；

【解題方法點(diǎn)撥】

求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組.（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義

域是使解析式有意義的自變量的取值集合.（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域的確

定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然

數(shù)等）.（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這

幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域?yàn)榭占?，則函數(shù)不存在.（4）抽象函數(shù)的

定義域：①對(duì)在同一對(duì)應(yīng)法則f下的量“x”“x+a”“x-所要滿足的范圍是一樣的；②函

數(shù)g（X）中的自變量是X,所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（X）中的X的范圍.

【命題方向】高考會(huì)考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題.

4.函數(shù)的圖象與圖象的變換

【函數(shù)圖象的作法】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個(gè)步驟（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）

連線.

解題方法點(diǎn)撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對(duì)應(yīng)法

則，列出表格，然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點(diǎn)，然后連線（平滑曲線）.

命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，

有時(shí)結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性知識(shí)結(jié)合命題.

【圖象的變換】

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周

期性、對(duì)稱性等).

其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，

連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換：

y=f(x)a>0,右移a個(gè)單位(〃<0,左移同個(gè)單位)=y=/(x-a)；

y—f(x)b>0,上移6個(gè)單位(b<0,下移|6|個(gè)單位)(x)+b.

(2)伸縮變換：

伸長(zhǎng)為原來(lái)的5倍

y=f(x)-3,縮短一來(lái)》一‘產(chǎn)”四)；

y=f(x)A>1,伸為原來(lái)的A倍(0VAV1,縮為原來(lái)的A倍)=y=A_/'(x).

(3)對(duì)稱變換：

y=f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱=y=~f(x)；

y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱=y=/(-x)；

y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱用=-f(-x).

(4)翻折變換：

y=fCx)去掉)，軸左邊圖，保留)，軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊=.y=/(R)；

y=f(x)留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y=，(x)|.

解題方法點(diǎn)撥

1、畫函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的

曲線時(shí)，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利

用圖象變換作出，但要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移

變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

(3)描點(diǎn)法：當(dāng)上面兩種方法都失效時(shí);則可采用描點(diǎn)法.為了通過描少量點(diǎn)，就能得到

比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論.

2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法

(1)知圖選式：

①?gòu)膱D象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域;

②從圖象的變化趨勢(shì)，觀察函數(shù)的單調(diào)性；

③從圖象的勸稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；

④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性.

利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確的選項(xiàng).

(2)知式選圖：

①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置：

②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.

④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確選項(xiàng).

注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項(xiàng)無(wú)法排除時(shí)，代特殊值，或從某些量上尋找突破口.

3、(1)利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；

從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

(2)利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù)

有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù);利用此法也可由解的個(gè)數(shù)求

參數(shù)值.

4、方法歸納：

(1)1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)--圖象變換中的易錯(cuò)點(diǎn)

在解決函數(shù)圖象的變換問題時(shí)，要遵循“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的x,y變換”的原則，寫出

每一次的變換所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯(cuò).

(2)3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)--正確作出函數(shù)圖象的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點(diǎn)：

①正確求出函數(shù)的定義域；

②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、

形如y=x+的函數(shù)；

③掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來(lái)幫助我

們簡(jiǎn)化作圖過程.

(3)3種方法--識(shí)圖的方法

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面來(lái)

獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：

①定性分析法，也就是通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，

利用這一特征來(lái)分析解決問題；

②定量計(jì)算法，也就是通過定量的計(jì)算來(lái)分析解決問題；

③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析

解決問題.

5.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一般地，設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)

自變量XI，X2,

當(dāng)X1<X2時(shí)，都有/Gl)</(X2)，那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)X1>X2

時(shí)，都有/(xi)</(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間O上是減函數(shù).

若函數(shù)/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)于(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格

的)單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=/.(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解題方法點(diǎn)撥】

證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論.

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

第一步：求函數(shù)的定義域.若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指

數(shù)函數(shù)可不考慮定義域.

第二步：求函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)/(x),并令，(x)=0,求其根.

第三步：利用f(x)=0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開

區(qū)間，并列表.

第四步：由/G)在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f(x)在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、

最值.

第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f(x)或/(x)rnin^a,解不等式求參數(shù)的取

值范圍.

第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論

【命題方向】

從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱

點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、

最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)

方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法.預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化

與化歸思想及邏輯推理能力.

6.奇偶性與單調(diào)性的綜合

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

對(duì)于奇偶函數(shù)綜合，其實(shí)也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在

一起，所以說關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時(shí)能融會(huì)貫通，靈活運(yùn)

用.在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)

X,都有/(-x)=-/(X),其圖象特點(diǎn)是關(guān)于(0,0)對(duì)稱.②偶函數(shù)/(x)的定義域關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有/(-x)=/(x),其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱.

【解題方法點(diǎn)撥】

參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f(x)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用/(x)=/(-%)這個(gè)去求解；

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反

a—2H

例題：如果f(x)=-------為奇函數(shù)，那么a=.

2"+1

解：由題意可知，/G)的定義域?yàn)镽,

a-2x

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f(X)=-------=-/(-X)="=1

2“1

【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多

總結(jié)，一定要重視這一個(gè)知識(shí)點(diǎn).

7.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①②/ogMMy(。>0且aWl).

,、M

loga(MN)=log“M+log“N；logo——=log?M-log^；

N

_1

10&V="10gaM;log。>'M=—log“M.

8.根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1.實(shí)際問題的函數(shù)刻畫

在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫.用函數(shù)的觀點(diǎn)

看實(shí)際問題,是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容.

2.用函數(shù)模型解決實(shí)際問題

(1)數(shù)據(jù)擬合：

通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的

整體特征,看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)

函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式,再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定

這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合.

(2)常用到的五種函數(shù)模型：

①直線模型：一次函數(shù)模型>=依+6(%#0),圖象增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線式上升(x的系數(shù)A>0),

通過圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它，特例是正比例函數(shù)模型》=依(A>0).

②反比例函數(shù)模型：)，=工(k>0)型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而減小.

X

③指數(shù)函數(shù)模型：y^a^+cCb>0,且6W1,aWO),其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函

數(shù)值增大的速度越來(lái)越快(底數(shù)6>1,a>0),常形象地稱為指數(shù)爆炸.

④對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即尸，mogd+H(心0,m70)型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,

函數(shù)值增大越來(lái)越慢(底數(shù)，”>0).

⑤募函數(shù)模型，即y^a-^+b(aWO)型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y^ajr+bx+c(a

W0)，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大(?>0).

在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變

量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問題結(jié)合，如取整等.

3.函數(shù)建模

（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模.

（2）過程：如下圖所示.

情境

ZZL

（提出何逸）

不（函數(shù)模型）

合

乎

實(shí)［數(shù)學(xué)結(jié)果）

際

下乎實(shí)際

何用結(jié)果〕

【典型例題分析】

典例1：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：

銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額），（單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)X

（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過利潤(rùn)的25%,

其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.00360°七6,1〃7弋1.945,1〃102弋2.302）（）

A.y=0.025xB.>>=1.003rC.y=/+k）g7XD.y-......1......x2

4000

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)在［10,1000］時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函

數(shù)的最大值不超過5；③yWx?25%,然后一一驗(yàn)證即可.

解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：

當(dāng)xe［10,1000］時(shí),

1

①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y〈x?25%=―X,

4

A中，函數(shù)y=0.025x,易知滿足①，但當(dāng)x>200時(shí)，y>5不滿足公司要求；

3中，函數(shù)丫=1.0（）3',易知滿足①，但當(dāng)x>600時(shí)，y>5不滿足公司要求；

C中，函數(shù)y=/+log7X,易知滿足①，當(dāng)x=1000時(shí)，y取最大值/+log71000=4-k7<5,

1

且/+10g7xW—X恒成立，故滿足公司要求；

4

1

。中，函數(shù)y=------x2,易知滿足①，當(dāng)x=400時(shí)，y>5不滿足公司要求；

4000

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)，解題的關(guān)鍵是

一一驗(yàn)證.

典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，

經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，服裝的年銷量x萬(wàn)件與年促銷，萬(wàn)元之間滿足關(guān)系式3-》=」一（k

t+1

為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，服裝的年銷量只能是1萬(wàn)件.已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折

舊，維修等固定費(fèi)用需要3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件服裝需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每

件服裝的售價(jià)定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，試求：

（1）2015年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于促銷費(fèi)/（萬(wàn)元）的函數(shù)：

（2）該企業(yè)2015年的促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？

（注：利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）

分析：（1）通過x表示出年利潤(rùn)y,并化簡(jiǎn)整理，代入整理即可求出y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)t

萬(wàn)元的函數(shù).

（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)即可用基本不等式求出最值，即促銷費(fèi)投入

多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大.

k

解答：解：（1）由題意：3-x=------,

t+1

且當(dāng)/=0時(shí)，x=l.

2

所以女=2,所以37=------，…（1分）

f+1

339n?+3t

生產(chǎn)成本為32x+3,每件售價(jià)一（———）+——，…（2分）

2x2x

332n;4-3t

所以，y=[—（---------------]雋一（321+3）—t…（3分）

2x2x

I3