學(xué)科素養(yǎng)拓訓(xùn)1.在三角形ABC和三角形CDE中,∠ACB=∠CDE=90°,∠BAC=60°,∠ABC=30°,∠DEC=∠DCE=45°,CD=BC.(1)當(dāng)AB∥DC時(shí),如圖1,求∠DCB的度數(shù);(2)當(dāng)CD與CB重合時(shí),如圖2,判斷DE與AC的位置關(guān)系,并說明理由;(3)當(dāng)AB∥EC時(shí),如圖3,求∠DCB的度數(shù);(4)在圖3的基礎(chǔ)上,三角形ABC固定不動(dòng),將三角形DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠DCB(0°≤∠DCB≤180°)分別等于多少度時(shí),DE分別與三角形ABC的各邊平行?答案1.解:(1)因?yàn)锳B∥DC,∠ABC=30°,所以∠DCB=∠ABC=30°.(2)DE∥AC.理由如下:因?yàn)椤螦CB=∠CDE=90°,所以DE∥AC.(3)因?yàn)锳B∥EC,所以∠BCE=∠ABC=30°,又因?yàn)椤螪CE=45°,所以∠DCB=∠DCE-∠BCE=15°.(4)當(dāng)∠DCB=60°或120°時(shí),DE∥AB,如圖甲.

當(dāng)∠DCB=90°時(shí),DE∥CB,如圖乙.當(dāng)∠DCB=0°或180°時(shí),DE∥AC,如圖丙.2.[與物理知識(shí)結(jié)合的平行線問題]材料1:反射定律當(dāng)入射光線AO照射到平面鏡上時(shí),將遵循平面鏡反射定律,即反射角(∠BOM)的大小等于入射角(∠AOM)的大小,顯然,這兩個(gè)角的余角也相等,其中法線(OM)與平面鏡垂直,并且滿足入射光線、反射光線(OB)與法線在同一個(gè)平面.材料2:平行逃逸角對(duì)于某定角∠AOB=α(0°<α<90°),點(diǎn)P為邊OB上一點(diǎn),從點(diǎn)P發(fā)出一光線PQ(射線),∠BPQ=β(0°<β<90°),當(dāng)光線PQ接觸到邊OA和OB時(shí)會(huì)遵循反射定律發(fā)生反射,當(dāng)光線PQ經(jīng)過n次反射后與邊OA或OB平行時(shí),稱角β為定角α的n階平行逃逸角,特別地,當(dāng)光線PQ直接與OA平行時(shí),稱角β為定角α的0階平行逃逸角.(1)已知∠AOB=α=20°,①如圖1,若PQ∥OA,則∠BPQ=

°,即該角為角α的0階平行逃逸角;

②如圖2,經(jīng)過一次反射后的光線P1Q∥OB,此時(shí)的∠BPP1為α的1階平行逃逸角,求∠BPP1的大小;③若經(jīng)過兩次反射后的光線與OA平行,請(qǐng)補(bǔ)全圖3,并直接寫出角α的2階平行逃逸角為

°.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,歸納猜想對(duì)于任意角α(0°<α<90°),其n(n為自然數(shù))階平行逃逸角β=

(用含n和α的代數(shù)式表示).

答案2.解:(1)①20因?yàn)镻Q∥OA,所以∠BPQ=∠AOB=20°.②在題圖2中,由反射定律得,∠AP1Q=∠PP1O,因?yàn)镻1Q∥OB,所以∠AP1Q=∠AOB=20°,∠BPP1+∠QP1P=180°,又因?yàn)椤螦P1Q+∠PP1O+∠QP1P=180°,所以∠BPP1=∠AP1Q+∠PP1O=2∠AOB=40°.③60補(bǔ)全圖形如圖所示.

(2)(n+1)α由(1)可知,角α的0階平行逃逸