專題10幾個三角恒等式知識聚焦考點聚焦知識點1積化和差公式與和差化積公式1、積化和差公式2、和差化積公式、3、應(yīng)用和差化積公式時的注意事項（1）在應(yīng)用和差化積公式時，必須是一次同名三角函數(shù)方可施行，若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次，必須用降冪公式降為一次。（2）根據(jù)實際問題選用公式時，應(yīng)從以下幾個方面考慮：=1\*GB3①運用公式之后，能否出現(xiàn)特殊角；=2\*GB3②運用公式之后，能否提取公因式，能否約分，能否合并或消項。（3）為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式，有時需要把某些常數(shù)當做三角函數(shù)值才能應(yīng)用公式，如知識點2半角公式及萬能公式1、半角公式：＝±，＝±，以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的．；以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示．2、萬能公式；；3、利用半角公式求值的思路（1）看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解；（2）明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍；（3）選公式：涉及半角公式的正切值時，常用，其優(yōu)點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常利用，計算。（4）下結(jié)論，結(jié)合（2）求值?？键c剖析考點1積化和差公式的應(yīng)用【例1】（2023·高一課時練習(xí)）（）A．+cos4xB．sin4xC．+cos4xD．+sin4x【變式11】（2023·高一課時練習(xí)）的值是（）A．B．C．D．1【變式12】（2023·高一課時練習(xí)）若，則等于（）A．B．C．D．【變式13】（2023·高一課時練習(xí)）化為和差的結(jié)果是.考點2和差化積公式的應(yīng)用【例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）．【變式21】（2023·全國·高一課堂例題）（1）；（2）．【變式22】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）把下列各式化成積的形式：（1）；（2）；（3）．【變式23】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，求的值為（）A．B．C．D．考點3半角公式的應(yīng)用【例3】（2023上·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，則等于（）A．B．C．D．【變式31】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為銳角，，則（）．A．B．C．D．【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點是角的終邊上一點，則（）A．B．C．或D．或【變式33】（2023·全國·高一課堂例題）已知，則．考點4三角恒等式的證明【例4】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，求證：．【變式41】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知、為兩相異銳角，且滿足方程，求證：.【變式42】（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：.【變式43】（2023·江蘇徐州·高一校考期中）求證下列恒等式：（1）；（2）考點5三角形中的三角恒等變換【例5】（2023·廣東中山·高一中山紀念中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，若，則的最小值為()A．4B．6C．8D．10【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，若，則此三角形為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【變式52】（2023·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考期中）在中，，則的形狀為（）A．等邊三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形【變式53】（2023·江蘇宿遷·高一?？茧A段練習(xí)）已知為斜三角形．（1）證明：；（2）若為銳角三角形，，求的最小值．考點6三角恒等變換的實際應(yīng)用【例6】（2023·四川達州·高一?？计谥校┤鐖D所示，已知OPQ是半徑為2，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，求當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．【變式61】（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）在校園美化、改造活動中，要在半徑為、圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一矩形觀賽場地，如圖所示．取的中點M，記．（1）寫出矩形的面積S與角的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當角為何值時，矩形的面積最大？并求出最大面積．【變式62】（2023上·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD，，，的直角頂點P為AD中點，點M、N分別在邊AB，CD上，令．（1）當時，求梯形BCNM的面積S；（2）求的周長l的最小值，并求此時角的值．【變式63】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直徑為1的圓中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中.（1）將十字形的面積表示成的函數(shù)；（2）求十字形面積的最大值，并求出此時的值.過關(guān)檢測一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）的值為（）A．B．C．D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中，，（）A．B．C．D．3．（2023·高一課時練習(xí)）若，，則的值為（）A．2B．C．－2D．4．（2023·江西宜春·高一灰埠中學(xué)校考期中）（）A．B．C．D．5．（2023·遼寧沈陽·高一翔宇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角，，為的內(nèi)角，若，則的形狀為（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰或直角三角形6．（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校╆P(guān)于x的方程有一根為1，則一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形7．（2023·重慶·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）在中，若，則的最大值為（）A．B．C．D．8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某城市有一條公路從正西方沿通過市中心后轉(zhuǎn)到北偏東的上，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準備修建一條繞城高速公路，并在、上分別設(shè)置兩個出口、．若要求市中心與的距離為千米，則線段最短為（）A．千米B．千米C．千米D．千米二、多選題9．（2023·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？计谥校┙o出下列四個關(guān)系式，其中正確的是（）A．B．C．D．10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）下列等式中錯誤的是（）A．B．C．D．11．（2023·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)校考期中）（多選）若，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．12．（2023·甘肅甘南·高一?？计谥校﹖an（）A．B．C．D．三、填空題13．（2023·江蘇南京·高一江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，，則.14．（2023·甘肅白銀·高一校考期中）已知，，則.15．（2023·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）．16．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）．四、解答題17．（2023·全國·高一課堂例題）已知，求下列條件下，，的值：（1）；（2）角在第一象限．18．（2023·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求證：．19．（2023·全國·高一隨