課時作業(yè)25空間兩點間的距離公式時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．點M(3,4,1)到點N(0,0,1)的距離是(A)A．5 B．0C．3 D．1解析：由空間兩點間的距離公式，得|MN|＝eq\r(3－02＋4－02＋1－12)＝5.2．在空間直角坐標系中，點A(3,2，－5)到x軸的距離d等于(B)A.eq\r(32＋22) B.eq\r(22＋－52)C.eq\r(32＋－52) D.eq\r(32＋22＋－52)解析：過點A作AB⊥x軸于點B，則B(3,0,0)，所以點A到x軸的距離d＝|AB|＝eq\r(22＋－52).3．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，棱長為1，BP＝eq\f(1,3)BD′，則P點坐標為(D)A．(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3))B．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))D．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))解析：連接BD′，點P在坐標平面xDy上的射影在BD上，∵BP＝eq\f(1,3)BD′，所以Px＝Py＝eq\f(2,3)，Pz＝eq\f(1,3)，∴P(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,3))．4．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，則|AB|的最小值為(C)A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(55),5)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(11,5)解析：|AB|＝eq\r(1－t－22＋1－t－t2＋t－t2)＝eq\r(5t2－2t＋2)＝eq\r(5t－\f(1,5)2＋\f(9,5))≥eq\r(\f(9,5))＝eq\f(3,5)eq\r(5).5．在x軸上與點(3,2,1)的距離為3的點是(D)A．(－1,0,0) B．(5,0,0)C．(1,0,0) D．(5,0,0)和(1,0,0)解析：設所求點的坐標為(x,0,0)，則eq\r(x－32＋4＋1)＝3，∴x＝1或5，∴在x軸上與點(3,2,1)的距離為3的點是(5,0,0)和(1,0,0)．6．點A(1,2,3)關于xOy平面的對稱點為A1，點A關于xOz平面的對稱點為A2，則d(A1，A2)＝(A)A．2eq\r(13) B.eq\r(13)C．6 D．4解析：A(1,2,3)關于xOy平面的對稱點為A1(1,2，－3)，點A關于xOz平面的對稱點為A2(1，－2,3)，∴d(A1，A2)＝eq\r(1－12＋2＋22＋－3－32)＝eq\r(16＋36)＝2eq\r(13).7．已知三角形ABC的頂點A(2,2,0)，B(0,2,0)，C(0,1,4)，則三角形ABC是(A)A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形解析：利用兩點間的距離公式計算得|AB|＝2，|AC|＝eq\r(21)，|BC|＝eq\r(17)，|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，故三角形ABC為直角三角形．8．△ABC的頂點坐標是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，2，3))，則它在yOz平面上射影的面積是(D)A．4B．3C．2D．1解析：△ABC的頂點在yOz平面上的射影點的坐標分別為A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，∵|A′B′|＝eq\r(0－02＋1－22＋1－12)＝1，|B′C′|＝eq\r(0－02＋2－22＋3－12)＝2，|A′C′|＝eq\r(0－02＋2－12＋3－12)＝eq\r(5)，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2.∴△ABC在yOz平面上的射影△A′B′C′是一個直角三角形，它的面積為1.二、填空題9．已知空間兩點A(1,2，z)，B(2，－1,1)之間的距離為eq\r(11)，則z＝0或2.解析：因為空間兩點A(1,2，z)，B(2，－1,1)之間的距離為eq\r(11)，即eq\r(1－22＋2＋12＋z－12)＝eq\r(11)，則(z－1)2＝1，得z＝0或2.10．在空間直角坐標系中，已知點A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點M在y軸上，且M與A與B的距離相等，則M的坐標是(0，－1,0)．解析：本題考查空間兩點間距離公式．由題意可設M(0，y,0)，又|MA|＝|MB|，∴eq\r(0－12＋y2＋0－22)＝eq\r(0－12＋y＋32＋0－12)，解得y＝－1.故M的坐標為(0，－1,0)．11．若點A(2,1,4)與點P(x，y，z)的距離為5，則x，y，z滿足的關系式是(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.解析：由|PA|＝5得eq\r(x－22＋y－12＋z－42)＝5，∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.三、解答題12．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C解：如圖所示，分別以AB，AD，AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．由題意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．∵N為CD1的中點，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).又M是A1C1的三分之一分點且靠近A1點，∴M由兩點間距離公式，得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋3－12＋1－22)＝eq\f(\r(21),2).13．已知空間直角坐標系O-xyz中的點A(1,1,1)，平面α過點A，且與直線OA垂直，動點P(x，y，z)是平面α內的任一點．(1)求點P的坐標滿足的條件；(2)求平面α與坐標平面圍成的幾何體的體積．提示：由A(1,1,1)的坐標及確定點的方法聯(lián)想到正方體，取三條共頂點的棱為軸建系后．A是一個頂點的坐標．這樣用正方體作襯托可描出點A.解：(1)以OA為一條對角線畫出正方體OC1A1B1-DCAB，則A點位置如圖所示．因為平面α過A且與OA垂直，P(x，y，z)是平面α內任意一點，連接AP、OP，則△OAP∴|OA|2＋|AP|2＝|OP|2，即3＋[(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2]＝x2＋y2＋z2，∴x＋y＋z＝3，這就是平面α內任一點P(x，y，z)所滿足的條件．(2)∵平面α內任一點P(x，y，z)滿足x＋y＋z＝3，∴平面α與x軸、y軸、z軸的交點M、N、Q也滿足x＋y＋z＝3，∴M(3,0,0)，N(0,3,0)，Q(0,0,3)，顯然O-MNQ是一個三棱錐．由三棱錐體積計算公式有：VO－MNQ＝VQ－OMN＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|OM|·|ON|))·|OQ|＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×3×3)×3＝eq\f(9,2).——能力提升類——14．點P(x，y，z)的坐標滿足x2＋y2＋z2＝1，點A(－2,3，eq\r(3))，則|PA|的最小值是(B)A．2 B．3C．4 D．5解析：x2＋y2＋z2＝1在空間中表示以坐標原點O為球心、1為半徑的球面，所以當O，P，A三點共線時，|PA|最小，此時|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝eq\r(－22＋32＋\r(3)2)－1＝4－1＝3.15．正方形ABCD和ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，(1)求MN的長；(2)求a為何值時，MN的長最?。猓?1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，而平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABC.∴AB、BC、BE兩兩垂直．∴以B為原點，以BA、BE、BC所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．則M(eq\f(\r(2),2)a,0,1－eq\f(\r(2),2)a)，N(eq\f(\r(2),2)a，eq\f(\r(2),2)a，0)．|