圓錐曲線壓軸題30道

1.（2021?江蘇鹽城市?高三二模）已知直線/：y=x+/〃交拋物線C:y2=4尤于A8兩點(diǎn).

（1）設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為7.若AT=2"，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若點(diǎn)M,N在拋物線C上，且關(guān)于直線/對(duì)稱，求證：四點(diǎn)共圓.

2.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）橢圓C：=■+與=1（。＞力＞0）的左右焦點(diǎn)分別為耳（一2,0）、月（2,0）,

6rb~

且橢圓過點(diǎn)碓，何.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過原點(diǎn)。作兩條相互垂直的直線4、6，4與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，4與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求

證：四邊形MQNP的內(nèi)切圓半徑，為定值.

3.（2021.南京市中華中學(xué)高三期末）已知離心率為逅的橢圓C:二+1=13＞。＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（3,l）.

3a'b-

（I）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為。，過點(diǎn)P斜率為匕，網(wǎng)的兩條動(dòng)直線與橢圓。的另一交點(diǎn)分別為M、

N（M、N皆異于點(diǎn)。）.若匕心=；,求，。例N的面積S最大值.

4.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）已知橢圓C:7+F=1（。＞人＞0）的焦距為2百，且過點(diǎn)

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線I交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若M4=4A/,MB=43尸,

求證：4+4為定值.

r2v27

5.（2021?鹽城市伍佑中學(xué)高三期末）已知橢圓C：f+廣=1（">/?>0）離心率為點(diǎn)A,B,D,E分

別是C的左，右，上，下頂點(diǎn)，且四邊形ADBE的面積為6G.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知f是C的右焦點(diǎn)，過尸的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，記直線AP，8。的交點(diǎn)為T,求證：點(diǎn)

T橫坐標(biāo)為定值.

6.（2021?江蘇泰州市?高三期末）如圖，已知橢圓「：上+二=1,矩形ABCQ的頂點(diǎn)A,3在x軸上，C,

42

力在橢圓「上，點(diǎn)。在第一象限.CB的延長線交橢圓「于點(diǎn)E,直線AE與橢圓軸分別交于點(diǎn)F、G,

直線CG交橢圓「于點(diǎn)H,D4的延長線交尸，于點(diǎn)M.

（1）設(shè)直線AE、CG的斜率分別為匕、自，求證：）為定值;

（2）求直線尸H的斜率Z的最小值；

（3）證明：動(dòng)點(diǎn)M在一個(gè)定曲線上運(yùn)動(dòng).

22

7.（2021?江蘇南通市?高三月考）已知橢圓0：5+方=1（。>匕>。）的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)尸在橢

圓。上運(yùn)動(dòng)，若△P48面積的最大值為2月，橢圓。的離心率為;.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過5點(diǎn)作圓E：/+6一2）2=，，（o<r<2）的兩條切線，分別與橢圓。交于兩點(diǎn)c,。（異于點(diǎn)B）,

當(dāng)，變化時(shí)，直線CO是否恒過某定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由.

8.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:三+/=1（a>0]>0）的短軸長

為2,直線/與橢圓C相交于AB兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為當(dāng)A/與。連線的斜率為-』時(shí)，直線/的

2

兀

傾斜角為一

4

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若|AB|=2,尸是以A3為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：|0日46

9.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）己知橢圓。：二+與=1（。>。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,離心率為

CTb一

過片作直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，A48鳥的周長為8.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）問：乙486的內(nèi)切圓面積是否有最大值？若有，試求出最大值；若沒有，說明理由.

10.（202卜江蘇省天一中學(xué)高三二模）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓。：=+4=1（。>?！?）的離心率6=交,

a-b-2

點(diǎn)尸在橢圓C上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為片，工，的中點(diǎn)為。，?！?。周長等于G+逅.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

丫2

（2）W為雙曲線O:y2一二=1上的一個(gè)點(diǎn)，由卬向拋物線E:f=4y做切線切點(diǎn)分別為A,6.

4

（i）證明：直線AB與圓/+=1相切;

（ii）若直線AB與橢圓。相交于M,N兩點(diǎn)，求外接圓面積的最大值.

22

11.（2021?江蘇高三其他模擬）已知橢圓「+2=13＞人＞0）的左焦點(diǎn)為F,過尸的直線

ab~

x-4百＞+百=0與橢圓在第一象限交于M點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形的面積為3.

4

（1）求橢圓的方程；

（2）若二A3c的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在橢圓上，且。為AABC的重心，判斷一A3C的面積是否為定值,

并說明理由.

12.（2021?江蘇蘇州市?高三月考）已知圓自（%+1）2+了2=8,點(diǎn)尸（見0）（帆＞0）,P是圓E上一點(diǎn)，線段PF

的垂直平分線I與直線EP相交于點(diǎn)Q.

（1）若m=2,點(diǎn)P在圓E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？說明理由；

（2）若m=l,點(diǎn)P在圓E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡記為曲線C.過E點(diǎn)作兩條互相垂直的直線卜12,《與

曲線C交于兩點(diǎn)A、B,4與曲線C交于兩點(diǎn)C、D,M為線段AB的中點(diǎn)，N為線段CD的中點(diǎn).試問，

直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

13.（2021.江蘇無錫市.高三月考）已知橢圓C：5+一=l（a＞方＞0）過點(diǎn)（2,—1）,離心率為坐，拋物線

y2=-16x的準(zhǔn)線/交x軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作直線交橢圓C于M,N.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）若“是線段AN的中點(diǎn)，求直線MN的方程；

（3）設(shè)P,。是直線/上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，問：直線PM于QN的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請(qǐng)說明你

的理由.

14.（2021.江蘇高三專題練習(xí)）如圖，曲線T的方程是爐-y|y|=l,其中A、B為曲線T與x軸的交點(diǎn)，A

點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊，曲線T與y軸的交點(diǎn)為D已知Fl（-C,0）,F2（C,0）,C>0,△086的面積為.

（1）過點(diǎn)8作斜率為4的直線/交曲線T于尸、。兩點(diǎn)（異于B點(diǎn)），點(diǎn)尸在第一象限，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

xp、Q的橫坐標(biāo)為XQ,求證：是定值；

（2）過點(diǎn)尸2的直線〃與曲線T有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線〃的傾斜角范圍；

（3）過點(diǎn)B作斜率為k的直線I交曲線T于P、Q兩點(diǎn)（異于B點(diǎn)）,點(diǎn)P在第一象限，當(dāng)F}PFtQ=3+2>/2

時(shí)，求|AP|=/l||成立時(shí)入的值.

22

15.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）已知橢圓C:二+與=1（。>。>0）長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為

ab，

A(—2,0),8(2,0),離心率為也

2

（1）求橢圓。的方程;

（2）P為橢圓C上異于A5的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線x=-6于M,N兩點(diǎn)，連接N4并延長交橢

圓。于點(diǎn)Q.

（i）求證：直線A?AN的斜率之積為定值；

（ii）判斷三點(diǎn)是否共線，并說明理由.

22r~1

16.（2021?江蘇常州市?高三開學(xué)考試）已知等軸雙曲線C：占―2=13>0,b>0）經(jīng)過點(diǎn)（9，-）.

a2b222

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）已知點(diǎn)8（0,1）.

①過原點(diǎn)且斜率為上的直線與雙曲線C交于E,尸兩點(diǎn)，求/E8尸最小時(shí)火的值；

②點(diǎn)A是C上一定點(diǎn)，過點(diǎn)8的動(dòng)直線與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，Z“+心°為定值2,求點(diǎn)A的坐標(biāo)

及實(shí)數(shù)4的值.

17.（2021?江蘇南通市?高三月考）已知點(diǎn)A,8在橢圓二+三=1（。>。>0）上，點(diǎn)A在第一象限，。為

ab

坐標(biāo)原點(diǎn)，且Q4LAB.

（1）若a=6/=1，直線OA的方程為x-3y=0,求直線08的斜率；

b

（2）若045是等腰三角形（點(diǎn)O,A,8按順時(shí)針排列），求一的最大值.

a

18.（2021?江蘇蘇州市?高三開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0V中，過原點(diǎn)的直線/:y=4x（K>0）

交拋物線C:y2=2x于點(diǎn)P（異于原點(diǎn)O）,拋物線C上點(diǎn)p處的切線交），軸于點(diǎn)M,設(shè)線段OP的中點(diǎn)為

N,連結(jié)線段MN交C于點(diǎn)T.

\TM\

(1)求的值;

\MN\

⑵過點(diǎn)p作圓o'：（%-iy+y2=i的切線交。于另一點(diǎn)。，設(shè)直線。。的斜率為網(wǎng),證明：/一心為

定值.

19.（2021.江蘇南通市.高三期末）已知橢圓C：「+親_=1.>/,>0）的離心率為;，且過點(diǎn)

（1）求橢圓。的方程；

3

（2）己知A，8是橢圓C上的兩點(diǎn)，且直線OB的斜率之積為-一，點(diǎn)M為線段。4的中點(diǎn)，連接

4

8M并延長交橢圓C于點(diǎn)N,求證：-:皿為定值.

'4AMN

20.（2021?江蘇高三月考）已知圓G：（x-c）2+/=4a2（6!>c>0）,。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)

C2（-c,0）,M是圓G上的任意一點(diǎn)，線段MG的垂直平分線與直線交于點(diǎn)尸

（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程.

（2）已知點(diǎn)4為軌跡E上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接A。并延長交軌跡E與于點(diǎn)8,點(diǎn)N是點(diǎn)8在x軸上

的投影，連接AN并延長交軌跡E于點(diǎn)C,若8460=0,判斷上是否為定值.若是，求出該定值；若不

a

是，請(qǐng)說明理由.

221

21.（2021?江蘇揚(yáng)州市?高三月考）已知橢圓C:r三+v斗=1（。＞。＞0）的離心率為彳，左右頂點(diǎn)分別為A,B,

a-b-2

上下頂點(diǎn)分別為C。，四邊形AC8D的面積為4JJ，

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線/與橢圓交于P,。兩點(diǎn)，直線依、QB分別交直線x=4于M,N兩點(diǎn)，

判斷是否為定值，并說明理由.

22.（2021?江蘇南通市?高三期末）已知點(diǎn)A（0,—l）,圓8:V+（y—1＞=8,C為18上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC,

BC,設(shè)E線段AC的中點(diǎn)，。為上一點(diǎn)，且滿足。E.AC=0,動(dòng)點(diǎn)。形成曲線產(chǎn).

（1）求10a的取值范圍；

（2）直線與曲線F是否相切？請(qǐng)說明理由.

x2丁

23.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）已知橢圓C:L萬=l（a＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為《，乙，|片鳥|=2,

過點(diǎn)￡的直線與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，延長8g交橢圓。于點(diǎn)M，的周長為8.

（1）求C的離心率及方程;

（2）試問：是否存在定點(diǎn)P（Xo,O），使得PAGPB為定值？若存在，求與；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

24.（2021?江蘇高三專題練習(xí)）已知橢圓2r=l（a>Z?>0）的左、右焦點(diǎn)分別是￡，工且離心率為

在，點(diǎn)M為橢圓下上動(dòng)點(diǎn)，△片"居面積的最大值為1.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若M是橢圓。的上頂點(diǎn)，直線用片交橢圓。于點(diǎn)N,過點(diǎn)K的直線/（直線/的斜率不為1）與橢圓C

交于「、。兩點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)。的上方.若S￡MP：S4N0=3:2,求直線/的方程.

22nz

25.（2021.南京市秦淮中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖所示，已知橢圓?/=1（。>6>0）的離心率為冷

一條準(zhǔn)線為直線》=也

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）A為橢圓的左頂點(diǎn)，P為平面內(nèi)一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)尸作不過原點(diǎn)的直線/交橢圓于C,0兩

點(diǎn)（均不與點(diǎn)A重合），直線AC,與直線OP分別交于E,F兩點(diǎn)，若OE=OF,證明：點(diǎn)P在一條確

定的直線上運(yùn)動(dòng).

26.（2021?江蘇南通市?高三期末）已知橢圓C:=+）-=l（a＞收）的右焦點(diǎn)為F,P是橢圓C上一點(diǎn)，

a~2

丹」》軸，|尸耳=孝.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/與橢圓C交于4、8兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|3/|=夜，求.AQB

面積的最大值.

27.（2021.江蘇高三專題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為6（-1,0）,5（1,0）,過尸2垂直于長軸的直線交橢

圓于尸、。兩點(diǎn)，且|PQI=3.

（1）求橢圓的方程；

（2）過工的直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,則△片MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在

求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.