專題2020年上海各區(qū)分類匯編-25題

專題一動(dòng)點(diǎn)函數(shù)下的相似三角形

【知識(shí)梳理】

【歷年真題】

1.(2019秋?奉賢區(qū)期末)如圖，已知平行四邊形ABCQ中，AD=#>,AB=5,tanA=2,

點(diǎn)E在射線4。上，過(guò)點(diǎn)E作EFLAD,垂足為點(diǎn)E,交射線AB于點(diǎn)F,交射線CB于點(diǎn)G,

聯(lián)結(jié)CE、CF,設(shè)AE=%

(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊AO上時(shí)，

①求的面積；(用含m的代數(shù)式表示)

②當(dāng)SMCE=4SMFG時(shí)，求AE：ED的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果△AEF與△CFG相似，求機(jī)的值.

G

2.（2019秋?楊浦區(qū)期末）已知在菱形ABC。中，AB=4,ZBAD=120°,點(diǎn)P是直線AB

上任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PC.在NPCD內(nèi)部作射線CQ與對(duì)角線BD交于點(diǎn)。（與8、。不重合），

且NPCQ=30°.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在邊上時(shí)，如果8P=3,求線段PC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在射線B4上時(shí)，設(shè)BP=x,CQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；

（3）聯(lián)結(jié)PQ,直線P。與直線BC交于點(diǎn)E,如果△QCE與△BCP相似，求線段8P的長(zhǎng).

備用圖

專題二動(dòng)點(diǎn)函數(shù)背景下的面積問(wèn)題

【知識(shí)梳理】

作垂線，構(gòu)造直角三角形

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的輔助線連接線

作平行線，構(gòu)造A型X型

勾股定理

r動(dòng)點(diǎn)邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式相似三角形

解三角形

求本身三角形的面積

動(dòng)點(diǎn)面租的函數(shù)關(guān)系式

利用相似三角形求面積轉(zhuǎn)換

題型

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)專題|9作垂線求本角的銳角三角比

r動(dòng)點(diǎn)銳角三角比的函數(shù)關(guān)系式

角度等里代換求銳角三角比

兩條邊分別求，參照翩折邊長(zhǎng)

\r動(dòng)點(diǎn)比例的函數(shù)關(guān)系式在相似三角形找比例

利用兩個(gè)比例式組合

直接求三角形的面積（公式法）

間接求三角形的面積（割補(bǔ)法）

動(dòng)點(diǎn)下的面積問(wèn)題

用相似三角形求解面積

同底或者同高（高或者底成比例）

【歷年真題】

1.（2019秋?黃浦區(qū)期末）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)。與點(diǎn)B分別位于

直線AC的兩側(cè)，且AO=AC,聯(lián)結(jié)8。、CD,BO交直線AC于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)/。。=90°時(shí)，求線段AE的長(zhǎng).

（2）過(guò)點(diǎn)4作垂足為點(diǎn)“，直線A4交8。于點(diǎn)尸，

s

①當(dāng)NC4D<120°時(shí)，設(shè)4￡=羽y=-^-（其中SABCE表示ABCE的面積，SM所表示

SAAEF

△AE尸的面積），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

②當(dāng)也些=7時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE的長(zhǎng).

SMEF

D

2.(2019秋?松江區(qū)期末)已知tanZMON=2,矩形ABC。的邊A8在射線上，AO=

2,AB=m,CFLON,垂足為點(diǎn)F.

(1)如圖(1),作AELOM垂足為點(diǎn)E,當(dāng)〃?=2時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度.

(2)如圖(2),聯(lián)結(jié)OC,當(dāng)機(jī)=2,且CO平分Z尸CO時(shí)，求NCO尸的正弦值；

(3)如圖(3),當(dāng)△AFD與△CZ5F相似時(shí)，求皿的值.

專題三動(dòng)點(diǎn)函數(shù)背景下的等腰三角形

【知識(shí)梳理】

作垂線，構(gòu)造直角三角形

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的輔助線連接線

作平行線，構(gòu)造A型X型

勾股定理

r動(dòng)點(diǎn)邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式相似三角形

解三角形

求本身三角形的面積

動(dòng)點(diǎn)面積的函數(shù)關(guān)系式

利用相似三角形求面積轉(zhuǎn)換

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)專題題型

作垂線求本角的銳角三角比

動(dòng)點(diǎn)銳角三角比的函數(shù)關(guān)系式Q.

角度等里代換求銳角三角比

兩條邊分別求，參照翻折邊長(zhǎng)

\r動(dòng)點(diǎn)比例的函數(shù)關(guān)系式在相似三角形找比例

利用兩個(gè)比例式組合

用邊相等，列出關(guān)系式求解

動(dòng)點(diǎn)下的等腰三角形作垂線解三角形（一般垂線都是橫平豎直的垂直）

不一定是三磅合一

【歷年真題】

1.（2019秋?浦東新區(qū)期末）在Rt/XABC中，ZA=90°,AB=4,AC=3,。為AB邊上一

動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)A、8不重合），聯(lián)結(jié)CD,過(guò)點(diǎn)。作OELQC交邊3c于點(diǎn)E.

（1）如圖，當(dāng)ED=EB時(shí),求A。的長(zhǎng)；

（2）設(shè)4D=x,BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出函數(shù)定義域；

（3）把△8C￡＞沿直線C。翻折得△COB',聯(lián)結(jié)48,當(dāng)△C4B,是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出

AD的長(zhǎng).

2.（2019秋?青浦區(qū)期末）如圖，在梯形ABCQ中，AD//BC,BC=BD=10,CD=4,AD

=6.點(diǎn)P是線段8。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、。分別是線段D4、8。上的點(diǎn)，且DE=DQ=BP,

聯(lián)結(jié)EP、EQ.

EDD

（1）求證：EQ//DC；

（2）當(dāng)BP>BQ時(shí)，如果△EPQ是以EQ為腰的等腰三角形，求線段2P的長(zhǎng);

（3）當(dāng)BP=m（0</n<5）B寸，求NPEQ的正切值.（用含根的式子表示）

3.（2019秋?閔行區(qū)期末）已知：如圖，在RtZ\A8C和RtAACD中，AC=BC,ZACB=9QQ,

ZADC=90°,CD=2,（點(diǎn)A、B分別在直線C。的左右兩側(cè)），射線C￡）交邊A8于點(diǎn)E,

點(diǎn)G是RtZ\ABC的重心，射線CG交邊AB于點(diǎn)尸，AD=x,CE=y.

（1）求證：ZDAB^ZDCF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊CZ）上時(shí)，求）,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）如果△CDG是以CG為腰的等腰三角形，試求的長(zhǎng).

4.（2019秋?崇明區(qū)期末）如圖，在△A8C中，AB=AC=W,BC=16,點(diǎn)。為8c邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)8、點(diǎn)C重合）.以。為頂點(diǎn)作射線DE交4c邊于

點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AFA.AD交射線DE于點(diǎn)F.

（1）求證：AB?CE=BD,CD；

（2）當(dāng)OF平分/ADC時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，求80的長(zhǎng).

5.（2019秋?寶山區(qū)期末）如圖，OC是△ABC中AB邊的中線，NABC=36°,點(diǎn)。為OC

上一點(diǎn)，如果0。=公OC,過(guò)。作OE〃。交于54點(diǎn)E,點(diǎn)M是OE的中點(diǎn)，將△O￡>E

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（其中0°<a<180°）后，射線交直線BC于點(diǎn)N.

（1）如果△ABC的面積為26,求△O0E的面積（用4的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)N和B不重合時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄縉ONB的度數(shù)y與旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）寫(xiě)出當(dāng)AONB為等腰三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

專題四動(dòng)點(diǎn)函數(shù)背景下的線段問(wèn)題

【知識(shí)梳理】

作垂線，構(gòu)造直角三角形

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的輔助線連接線

作平行級(jí)，構(gòu)造A型X型

勾股定理

Y動(dòng)點(diǎn)邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式相似三角形

解三角形

求本身三角形的面積

動(dòng)點(diǎn)面積的函數(shù)關(guān)系式”----------------------

-----------------------<.利用相似三角形求面積轉(zhuǎn)換

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)專題Q題型

作垂線求本角的銳角三角比

動(dòng)點(diǎn)銳角三角比的圖數(shù)關(guān)系式

角度等里代換求銳角三角比

兩條邊分別求，參照翻折邊長(zhǎng)

T動(dòng)點(diǎn)比例的函數(shù)關(guān)系式在相似三角形找比例

利用兩個(gè)比例式組合

線段求值，找三角形列方程

動(dòng)點(diǎn)下的線段問(wèn)題線段相等，等腰或者全等三角形

線段成比例，相似三角形，或者設(shè)X法解三角形

【歷年真題】

3

1.(2019秋?虹口區(qū)期末)如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=4,sinNABC=-,

5

點(diǎn)。為射線BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD,過(guò)點(diǎn)8作分別交射線A。、AC于點(diǎn)E、F,聯(lián)

結(jié)QF,過(guò)點(diǎn)A作AG〃8。，交直線BE于點(diǎn)G.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果CO=2,求tan/尸BC；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在8c的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AG=x,Szw”=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不需

要寫(xiě)函數(shù)的定義域)；

(3)如果AG=8,求QE的長(zhǎng).

2.(2019秋?靜安區(qū)期末)已知I：如圖1,在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。、E分別在邊BC、

0c上，AB2=BE-DC,DE：EC=3：1,尸是邊AC上的一點(diǎn)，。尸與AE交于點(diǎn)G.

(1)找出圖中與△AC。相似的三角形，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)。尸平分NAOC時(shí)，求￡>G：。下的值；

(3)如圖2,當(dāng)/BAC=90°,且_LAE時(shí)，求。G：。尸的值.

圖1圖2

專題四動(dòng)點(diǎn)函數(shù)背景下四邊形

【知識(shí)梳理】

作垂線，構(gòu)造直角三角形

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的輔助線連接線

作平行線，構(gòu)造A型X型

勾股定理

r動(dòng)點(diǎn)邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式相似三角形

解三角形

求本身三角形的面積

動(dòng)點(diǎn)面積的函數(shù)關(guān)系式9/---------------------------

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)專題9----------------------利用相似三角形求面積轉(zhuǎn)換

題型

作垂線求本角的銳角三角比

r動(dòng)點(diǎn)銳角三角比的函數(shù)關(guān)系式

角度等里代換求銳角三角比

兩條邊分別求，參照翻折邊長(zhǎng)

動(dòng)點(diǎn)比例的函數(shù)關(guān)系式在相似三角形找比例

利用兩個(gè)比例式組合

動(dòng)點(diǎn)下的四邊形問(wèn)題a利用梯形兩邊平行的性質(zhì)，找關(guān)系，求解

【歷年真題】

1.(2019秋?長(zhǎng)寧、金山區(qū)期末)如圖，已知在Rt/XABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,

點(diǎn)P、。分別在邊AC、射線CB上，且AP=CQ,過(guò)點(diǎn)P作PML4B,垂足為點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)

PQ,以PM、PQ為鄰邊作平行四邊形PQMW,設(shè)AP=x,平行四邊形PQNM的面積為y.

(1)當(dāng)平行四邊形PQNM為矩形時(shí)，求NPQM的正切值；

(2)當(dāng)點(diǎn)N在△ABC內(nèi)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；

(3)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P且平行于BC的直線經(jīng)過(guò)平行四邊形PQNM一邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出x的值.

2.(2019秋?嘉定區(qū)期末)已知：點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且滿足(如圖)，ZAPH+

ZBAC=180°.

(1)求證：△HBsZ\pc4；

PC

(2)如果/APB=120°，/ABC=90°,求——的值；

PB

(3)如果/BAC=45°,且△4BC是等腰三角形，試求tan/PBC的值.

3.(2019秋?徐匯區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)。是邊A8上的

動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)AB重合)，點(diǎn)G在邊AB的延長(zhǎng)線上，NCDE=NA,NGBE=NABC,

OE與邊8C交于點(diǎn)尸.

(1)求cosA的值；

(2)當(dāng)NA=2NAC￡>時(shí)，求AQ的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)。在邊48上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AD：BE的值是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變化，請(qǐng)求4。：

BE的值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2019秋?普陀區(qū)期末)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZC=90°,AD=2,BC=5,DC=3,

點(diǎn)E在邊BC上，tan/AEC=3,點(diǎn)M是射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D、C重合)，聯(lián)結(jié)BM

交射線AE于點(diǎn)N,設(shè)DM=x,AN=y.

⑴求BE的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段DC上時(shí)，試求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

⑶當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線BM與直線AE的夾角等于45。，請(qǐng)直接寫(xiě)出這時(shí)線段DM的長(zhǎng).

專題2020年上海各區(qū)分類匯編-25題

專題一動(dòng)點(diǎn)函數(shù)下的相似三角形

【歷年真題】

1.（2019秋?奉賢區(qū)期末）如圖，已知平行四邊形A8CQ中，AD=亞,AB=5,tanA=2,

點(diǎn)E在射線AD上，過(guò)點(diǎn)E作EFLAD,垂足為點(diǎn)E,交射線AB于點(diǎn)F,交射線CB于點(diǎn)G,

聯(lián)結(jié)CE、CF,設(shè)AE=m.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊AO上時(shí)，

①求的面積；（用含機(jī)的代數(shù)式表示）

②當(dāng)SADCE=4SMFG時(shí)，求AE：￡￡>的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果aAE尸與△CFG相似，求”的值.

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】（1）①先根據(jù)三角函數(shù)表示出ER再用勾股定理表示出AF,再判斷出△AEFs4

BGF,得出比例式表示出CG,即可得出結(jié)論；

②先表示出FG,再用SADCE=4SM柘建立方程求出相，即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況：①當(dāng)aAE尸sacGF時(shí)，得出/AFE=/CFG,進(jìn)而得出BG=』2C=

2

—,FG=BGtanNCBF=后,再根據(jù)勾股定理得，BF=ylBG2+FG2=-,進(jìn)而得出

22

AF^AB+BF=5+--—,最后判斷出△BGFS/VIEF,得出比例式建立方程求解即可得出

22

結(jié)論；

②當(dāng)/時(shí)，先判斷出/AFC=90°,進(jìn)而得出CF=28F,再根據(jù)勾股定理得,

求出8尸=1,得出AF=AB+B尸=6,同理：8G=1,再判斷出ABG尸S^AER得出比例

式建立方程求解即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）①.../AEF=90°,

在RtZ\AE尸中，tanA=2,AE=m,：.EF=AEtanA=2m,

根據(jù)勾股定理得，AF=y/AE2+EF2=亞m,

'：AB=5,:.BF=5-非m,

:四邊形ABC。是平行四邊形，.?.8C=A￡>=后，AD//BC,

：.ZG=ZAEF=90°,:./\AEFsXBGF,

.AE_AF.m_45m.反

??=,??=----7=—,??DCJ——yj2)-m,

BGBFBG5-石〃2

CG=BC+BG=>/5+V5-m=2逐-m,

?SACEF=_EF9CG=—*2/ne(2^5-m)=2>/5m-ir?"；

22

②由①知，△NEfsXBGF,：.—=—,

AFEF

,「BF廠5-V5m八、，q、

?*FG=-EF=j=*2m=2(。5-m),

AF&n

：.EG=EF+FG=2m+2(石-m)=2亞,

.".SACDE=-DE'EG=-(V5-#>=5-舊m,

22

S^BFG——BG'FG——(6-m”2(A/5-m)—(亞-m)2

22

SZ\DCE=4SABFG時(shí)，；.5-V5m=4(\[5-m)~

:.m=亞(舍)或〃?=之叵，

4

：.DE=AD-AE=V5-,

44

3指V5

：.AE；ED=-^—：'=3,

44

即：AE：ED的值為3；

(2)?.,四邊形ABC。是平行四邊形，

:.BC=AD=亞,AD//BC,

'JEFLAD,：.EFLBC,：.ZAEF=ZCGF=90Q,

??/XAEF與△CFG相似，

①當(dāng)△AEFs/^CGF時(shí),，如圖1,...ZAFE=ACFG,

1V5

VEF1BC,：.BG=-BC=—,

22

,:AD〃BC,：.ZCBF=ZAf

*/tanA=2,/.tanZCBF=2,

在RtAfiGF中，F(xiàn)G=BGtanZCBF=亞，

22

根據(jù)勾股定理得，BF=VBG+FG=-

2

515

：.AF=AB+BF=5+-=—,

22

娓5_

BGBF二萬(wàn)

VBC//AD,：./\BGF^/\AEF,：.——=——.T

AEAF

~2

36

m=-----

2

②當(dāng)△AEFs/^CGF時(shí)，如圖2,:./EAF=/GFC,

,：ZEAF+ZAFE=90°,AZGFC+ZAFE=90°,

；./AFC=90°,

'：AD//BC,:./CBF=/A,：.tanZCBF=tanA^2,

在RtABFC中,CF=BF?NCBF=2BF,

根據(jù)勾股定理得，B^+CF^^BC1,,?.BF2+4BF2=(6)2,：.BF=\,

：.AF=AB+BF=6,

在RtZ\8G尸中，同理：BG=—,

5

......................A.AEAF.m6.6出

?AD//BC,?.△BGF^/XAEF,*?-----=---,??~產(chǎn)=一,■.in-------.

BGBFV515

5

即：如果△AE尸與△CFG相似,〃?的值為

AB

圖2

E

圖1

【點(diǎn)評(píng)】此題是相似形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的面

積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

2.（2019秋?楊浦區(qū)期末）已知在菱形48CZ）中，AB=4,120°,點(diǎn)P是直線A8

上任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PC在NPC。內(nèi)部作射線C。與對(duì)角線8。交于點(diǎn)。（與8、￡＞不重合）,

且/PCQ=30°.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在邊AB上時(shí)，如果3尸=3,求線段PC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線8A上時(shí)，設(shè)8P=x,CQ=?求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；

（3）聯(lián)結(jié)PQ,直線尸。與直線BC交于點(diǎn)E,如果與△BCP相似，求線段BP的長(zhǎng).

備用圖

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；應(yīng)用意識(shí).

【分析】（1）如圖1中，作P”J_BC于".解直角三角形求出B”，PH,在Rt^PC”中，

理由勾股定理即可解決問(wèn)題.

（2）如圖1中，作于”，連接P。，設(shè)PC交8。于O.證明△POQs/SBOC,推

出/OPQ=NOBC=30°=ZPCQ,推出PQ=CQ=y,推出PC=6y,在Rt/XPHB中，

BH=-x,PH=-x,根據(jù)尸C2=PH2+C〃2,可得結(jié)論.

22

（3）分兩種情形：①如圖2中，若直線QP交直線8c于B點(diǎn)左側(cè)于￡②如圖3中，若

直線QP交直線8C于C點(diǎn)右側(cè)于E.分別求解即可.

【解答】解：（1）如圖1中，作尸HL8C于H.

D

圖1

丁四邊形ABC。是菱形，???A8=3C=4,AD//BC,AZA+ZABC=180°,

VZA=120°,AZPBH=60°,

\*PB=3,ZPHB=90°,

33-\/3

：.BH=PB*cos60°=二，P〃=PB?sin60°

22

35

：.CH=BC-BH=4--

22

：.PC=y/PH2+CH2

(2)如圖1中，作PH_LBC于H,連接尸。，設(shè)PC交BO于O.

:四邊形ABC。是菱形，.,./ABD=NCB￡>=30°,

VZPCQ=30°,：.ZPBO^ZQCO,

POBO.POQO

'：NPOB=ZQOC,：.△POBsXQOC,

~QO~~COBOCO

'：ZPOQ=ZBOC,：./\POQ^/\BOC,：.ZOPQ=ZOBC=30°=ZPCQ,

：.PQ=CQ^y,:.PC=￡y,

I

在中，BH=-x,PH=-x,

22

1,

'：PC2=PH2+CH2,：.3y^=(—x)2+(4-----x)2,

22

J3f-12X+48,、

：.y=--------------------(0?8).

3

(3)①如圖2中，若直線QP交直線BC于B點(diǎn)左側(cè)于E.

D

圖2

此時(shí)NC0E=120°,

；/PBC=60°,

...△PBC中，不存在角與/CQE相等,

此時(shí)△QCE與△BCP不可能相似.

②如圖3中，若直線QP交直線BC于C點(diǎn)右側(cè)于E.

則NCQE=NB=Q8C+/QCP=60°=ZCBP,

:NPCB>NE,只可能NBCP=/QCE=75°,

作CRLAB于尸，則8尸=2,Cr=2百，NPCF=45°,

:.PF=CF=2也,

此時(shí)PB=2+2也,

③如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),

圖4

?.?△QCE與△BCP相似,

：.ZCQE^ZCBP=nO°,;.NQCE=NPCB=15°,

作CFA.AB于F.

VZFCB=30°,：.ZFCP=45°,

：.BF=-BC=2,CF=PF=26,

2

：.PB=2y/3-2.

綜上所述，滿足條件的PB的值為2+2百或26-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

專題二動(dòng)點(diǎn)函數(shù)背景下的面積問(wèn)題

【歷年真題】

1.（2019秋?黃浦區(qū)期末）如圖，△A8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)。與點(diǎn)8分別位于

直線AC的兩側(cè)，且AO=AC,聯(lián)結(jié)B。、CD,BO交直線AC于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)/。。=90°時(shí)，求線段AE的長(zhǎng).

（2）過(guò)點(diǎn)A作4“J_CO,垂足為點(diǎn)”，直線4〃交8。于點(diǎn)尸，

①當(dāng)/CAQ<120°時(shí)，設(shè)AE=x,丫=黑"（其中SABCE表示aBCE的面積，SAAEF表示

△AE尸的面積），求），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

②當(dāng)出醫(yī)=7時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE的長(zhǎng).

SMEF

D

【考點(diǎn)】三角形綜合題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí).

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EG_LBC,垂足為點(diǎn)G.AE=x,則EC=2-x.根據(jù)BG=EG構(gòu)建

方程求出x即可解決問(wèn)題.

，?/72

（2）①證明△AEFS/XBEC,可得必造=￡二，由此構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題.

SMEFA??

②分兩種情形：當(dāng)NC4￡><120°時(shí)，當(dāng)120°<ZCAD<180°時(shí)，分別求解即可解決問(wèn)題.

【解答】解：（1）???△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC^AC=2,/8AC=NABC=/ACB=60°.

'：AD=AC,：.AD=AB,：.ZABD=ZADB,

VZABD+ZADB+ZBAC+ZCAD=\?,O°,ZCAD=90a,/ABO=15°,

.*.ZEBC=45°.

過(guò)點(diǎn)E作EGLBC,垂足為點(diǎn)G.

D

設(shè)AE=x,貝i]EC=2-x.

在RtZ^CGE中，ZACB=60°,

Gi

EG=EC?sinZACB=——（2-x）,CG-fC?cosZACB=l——x,

22

：.BG=2-CG=1+L,

2

在RtZXBGE中，ZEBC=45°,/.l+-x=—(2-x),

22

解得尤=4-2百.所以線段AE的長(zhǎng)是4一2百.

(2)①設(shè)NA3O=a,則N3ZM=a,ZDAC=ZBAD-ZBAC=\20°-2a.

■：AD=AC,AHLCD,AZCAF=-ZDAC=60-a,

2

又尸=60°+a,ZAF￡=60°,AZAFE=ZACB,

SBE2

XVZAEF=ZBEC:?叢AEFsXBEC,

f2

SMEFAE

1A/3

由(1)得在RtZXCGE中，BG=l+—x,EG=—(2-x),

22

：.BE2=BG2+EG2=X1-2x+4,

x2-2x+4

..y2(0<x<2).

X

②當(dāng)NCA￡><120°時(shí),

D

圖2-1

X2-2X+4

,整理得

y—1,則有7=23/+x-2=0,

X

22

解得x=—或-1（舍棄），AE=-.

33

X2+2X+4

當(dāng)120°<ZC4D<180°時(shí)，同法可得丁=-)

X"

D

圖2-2

X2+2X+4

當(dāng)y=7時(shí)，7=，整理得37-x-2=0,

%2

2

解得x=（舍棄）或1,

3

：.AE=\.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的

判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程

解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

2.（2019秋?松江區(qū)期末）已知tanNMON=2,矩形A8C。的邊AB在射線OM上，AD=

2,AB=m,CFLON,垂足為點(diǎn)F.

（1）如圖（1）,作AEJ_ON,垂足為點(diǎn)E,當(dāng)利=2時(shí)，求線段E尸的長(zhǎng)度.

（2）如圖（2）,聯(lián)結(jié)OC,當(dāng)機(jī)=2,且CO平分/尸CO時(shí)，求NCO尸的正弦值；

（3）如圖（3）,當(dāng)△A"）與△€1￡＞尸相似時(shí)，求機(jī)的值.

【考點(diǎn)】相似形綜合題.

【專題】分類討論；圖形的相似；推理能力.

【分析】（1）如圖1,延長(zhǎng)尸C交OM于點(diǎn)G,證/BCG=/MON,在RtZVlOE中，設(shè)OE

6亞

=a,可求得OA,OG,OF的長(zhǎng)，則EF=OF-OE：

5

(2)如圖2,延長(zhǎng)FC交0M于點(diǎn)G,由(1)得CG=2后,推出C0=CG=2亞,在

RtZ\C02中，由勾股定理求出。的值，得出OF的長(zhǎng)，可求出cos/COF的值，進(jìn)一步推出

sinNCOF的值；

(3)需分情況討論：當(dāng)。在/MON內(nèi)部時(shí)，△FD<s/\F￡)c時(shí)，此時(shí)C￡>=AQ=2,加=

2；當(dāng)△FDAsac。尸時(shí)，延長(zhǎng)CO交ON于點(diǎn)Q,過(guò)尸作FPJ_C。于P,可利用三角函數(shù)

求出m的值；當(dāng)D在NMON外部時(shí)，可利用I相似的性質(zhì)等求出m的值.

【解答】解：(1)如圖1,延長(zhǎng)尸C交。M于點(diǎn)G,

VZBCG+ZCGB=90°,NMON+/CGB=90°,：.ZBCG=ZMON,

則tan/8CG=tan/MON=2,

：.BG=2BC=4,CG=V5BC=2A/5,

在Rt^AOE中，設(shè)OE=a,由tan/MON=2,

可得。則OG=J^4+6,0F=-^OG=a+^-l3_,

近5

675

：.EF=OF-0E=^—

5

(2)如圖2,延長(zhǎng)FC交OM于點(diǎn)G,由(1)得CG=2石,

VCD平分/FCO,NFCD=ZDCO,

".,CD//OM,：.ZFCD=ZCGO,NDCO=NCOG,：.ZCGO=ZCOG,

：.CO=CG=2亞,

在Rt2\COB中，由BC2+BO2MOC2,

得2?+(V5fl+2)2=(275)2,

WH6非..2^5

解得“1=---—(舍去)，02=----,

,“6石8亞,…OF4

??OF=aT----=----，cosNCOF=----=一,

55OC5

AsinZCOF=-；

5

(3)當(dāng)。在NMON內(nèi)部時(shí)，

①如圖3-1,△尸D4s△f￡)C時(shí)，此時(shí)C￡?=4O=2,

②當(dāng)△FD4s△CDF時(shí)，

如圖3-2,延長(zhǎng)C￡＞交ON于點(diǎn)。，過(guò)尸作FP_LCQ于P,

則NFQC=NF￡>A=135°,；.NFDP=45°,

■：PC=tan/PFC=tanNMON=2FP=2DP=CD+DP,

：.FP=PD=CD=m,:.FD=6,m,

CD

'：/\FDA^/\CDF,：.——=——，

DAFD

FD—5/AD*CD=yjlm,<2m—\[2m,

??tn1-1；

當(dāng)。在NMON外部時(shí)，NAO尸>90°,ZDF0900,

：.ZADF^ZDFC,：.ZDFI=ZFDI,ID=IF,

①如圖3-3,4s△OFC時(shí).，此時(shí)絲△DFC,

：.CF=AD=2,

■:NDAF=4FCD=NFHD,二4、。重合，

延長(zhǎng)BC交ON于R,

：.FR=2CF=4,CR=2舊,BR=2+2卮

m—CD—AB=—BR=\+y/5；

2

②如圖3-4,△FDAs^cFC時(shí)，設(shè)CF=2石f(f>0),

延長(zhǎng)BC交ON于R,過(guò)尸作FS.LCD于S,

■:△DFC9/\FDH,

：.DH=FC,：/D=IF=-CF=加t,

2

：.IS=t,FS=2t,CS=4t,DS=(V5+1)t,DH=FC=2\f5t,

.ADDF

"：/\FDA^/\CFD,

'~DF~~FC

:.D^=AD，F(xiàn)C=2DH=4#)t,

■：DF2=DS2+FS2,二4居="+(6+1)￥,

解得n=金二1,也=0（舍去）,

2

：.DH=2y/5t=5-V5>2=AD,矛盾，

綜上所述：加=1或m=2,或m=1+6?

RR

F

Af

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題

關(guān)鍵是注意分類討論思想的運(yùn)用.

專題三動(dòng)點(diǎn)函數(shù)背景下的等腰三角形

【歷年真題】

I.(2019秋?浦東新區(qū)期末)在Rtz\ABC中，N4=90°,AB=4,AC=3,。為AB邊上一

動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)A、8不重合)，聯(lián)結(jié)CD,過(guò)點(diǎn)。作OELQC交邊3c于點(diǎn)E.

(1)如圖，當(dāng)ED=EB時(shí),求A。的長(zhǎng)；

(2)設(shè)AO=x,BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出函數(shù)定義域；

(3)把△BCD沿直