四川省成都市2023年中考數學試卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1．在3，，0，四個數中，最大的數是（）A．3 B． C．0 D．【解析】【解答】解：∵，

∴在3，，0，四個數中，最大的數是3，

故答案為：A.

2．2023年5月17日10時49分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第五十六顆北斗導航衛(wèi)星北斗系統(tǒng)作為國家重要基礎設施，深刻改變著人們的生產生活方式.目前，某地圖軟件調用的北斗衛(wèi)星日定位量超3000億次.將數據3000億用科學記數法表示為（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：3000億=3×1011，

故答案為：D.

3．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：A：，計算錯誤；

B：，計算錯誤；

C：，計算正確；

D：，計算錯誤；

故答案為：C.

4．近年來，隨著環(huán)境治理的不斷深入，成都已構建起“青山綠道藍網”生態(tài)格局.如今空氣質量越來越好，杜甫那句“窗含西嶺千秋雪”已成為市民陽臺外一道靚麗的風景.下面是成都市今年三月份某五天的空氣質量指數（AQI）：33，27，34，40，26，則這組數據的中位數是（）A．26 B．27 C．33 D．34【解析】【解答】解：∵將數據從小到大排列為：26，27，33，34，40，

∴這組數據的中位數是33，

故答案為：C.

5．如圖，在中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結論一定正確的是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，AD//BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴結論一定正確的是選項B，選項A，C和D結論不一定正確，

故答案為：B.

6．為貫徹教育部《大中小學勞動教育指導綱要（試行）》文件精神，某學校積極開設種植類勞動教育課.某班決定每位學生隨機抽取一張卡片來確定自己的種植項目，老師提供6張背面完全相同的卡片，其中蔬菜類有4張，正面分別印有白菜、辣椒、豇豆、茄子圖案；水果類有2張，正面分別印有草莓、西瓜圖案，每個圖案對應該種植項目.把這6張卡片背面朝上洗勻，小明隨機抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：∵其中蔬菜類有4張，正面分別印有白菜、辣椒、豇豆、茄子圖案；水果類有2張，正面分別印有草莓、西瓜圖案，

∴他恰好抽中水果類卡片的概率是，

故答案為：B.

7．《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一.書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設木長x尺，則可列方程為（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：設木長x尺，則繩子長為（x+4.5）尺，

∴由題意可得：，

故答案為：A.

繩子長為（x+4.5）尺，再找出等量關系列方程即可。8．如圖，二次函數的圖象與x軸交于，B兩點，下列說法正確的是（）A．拋物線的對稱軸為直線B．拋物線的頂點坐標為C．A，B兩點之間的距離為5D．當時，y的值隨x值的增大而增大【解析】【解答】解：∵二次函數的圖象與x軸交于，

∴9a-3-6=0，

解得：a=1，

∴二次函數，

A.拋物線的對稱軸為直線，該說法錯誤；

B.∵二次函數，

∴二次函數的頂點坐標為，該說法錯誤；

C.∵二次函數，

∴當y=0時，，

∴，

解得：x=-3或x=2，

∴點B的坐標為（2，0），

∴A，B兩點之間的距離為2-（-3）=5，該說法正確；

D.∵拋物線的對稱軸為直線，

∴當時，y隨x的增大而減小，

∴當時，y的值隨x值的增大而減小，該說法錯誤；

故答案為：C.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9．因式分解：.【解析】【解答】m2-3m=m(m-3).故答案是：m（m-3）

10．若點，都在反比例函數的圖象上，則（填“>”或“<”）.【解析】【解答】解：∵反比例函數，k=6＞0，

∴反比例函數在一、三象限，且在每個象限，y隨x的增大而減小，

∵-3＜-1，

∴y1＞y2，

故答案為：＞.

在一、三象限，且在每個象限，y隨x的增大而減小，再比較大小即可。11．如圖，已知，點B，E，C，F依次在同一條直線上.若，，則CF的長為.【解析】【解答】解：∵，

∴BC=EF=8，

∵CE=5，

∴CF=EF-EC=8-5=3，

故答案為：3.

12．在平面直角坐標系xOy中，點關于y軸對稱的點的坐標為.【解析】【解答】解：由題意可得：點關于y軸對稱的點的坐標為，

故答案為：.

13．如圖，在中，D是邊AB上一點，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AB，AC于點M，N；②以點D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點；③以點為圓心，以MN長為半徑作弧，在內部交前面的弧于點；④過點作射線交BC于點E.若與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為.【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，

∴DE//AC，

∵與四邊形ACED的面積比為4：21，

∴與△BAC的面積比為4：25，

∴，

∴，

∴，

故答案為：.

與△BAC的面積比為4：25，最后求解即可。三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14．（1）計算：；（2）解不等式組：【解析】【解答】解：（1）

；

（2）解不等式組：，

由①得：x≤1，

由②得：x＞-4，

∴不等式組的解集為：-4＜x≤1.

（2）利用不等式的性質求解集即可。15．文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蘊.成都市某學校于細微處著眼，于貼心處落地，積極組織師生參加“創(chuàng)建全國文明典范城市志愿者服務”活動，其服務項目有“清潔衛(wèi)生”“敬老服務”“文明宣傳”“交通勸導”，每名參加志愿者服務的師生只參加其中一項.為了解各項目參與情況，該校隨機調查了參加志愿者服務的部分師生，將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據統(tǒng)計圖信息，解答下列問題：（1）本次調查的師生共有▲人，請補全條形統(tǒng)計圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求“敬老服務”對應的圓心角度數；（3）該校共有1500名師生，若有80%的師生參加志愿者服務，請你估計參加“文明宣傳”項目的師生人數.【解析】【解答】解：（1）本次調查的師生共有：60÷20%=300（人），

∴文明宣傳的人數為：300-60-120-30=90（人），

補全條形統(tǒng)計圖如下：

（2）“敬老服務”對應的圓心角度數為：；

（3）由題意可得：（人），

即參加“文明宣傳”項目的師生人數為360人.

（2）根據題意求出即可作答；

（3）根據所給的數據求出即可作答。16．為建設美好公園社區(qū)，增強民眾生活幸福感，某社區(qū)服務中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于社區(qū)居民休憩.如圖，在側面示意圖中，遮陽篷AB長為5米，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4米，當太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，求陰影CD的長.（結果精確到0.1米；參考數據：，，）【解析】【解答】解：如圖所示：過點A作AF⊥BC，過點C作DG⊥AF交AF于點G，

∴∠GFC=∠FGC=90°，

∵∠C=90°，

∴四邊形CDGF是矩形，

∴CF=GD，FG=CD，

∵AB=5米，∠BAF=16°，

∴BF=sin16°·AB≈0.28×5=1.4（米），AF=cos16°·AB≈0.96×5=4.8（米），

∴GD=CF=BC-BF=4-1.4=2.6（米），

∵∠ADE=45°，

∴∠GAD=45°，

∴AG=GD=2.6米，

∴CD=FG=AF-AG=4.8-2.6=2.2（米），

即陰影CD的長為2.2米.

17．如圖，以的邊AC為直徑作，交BC邊于點D，過點C作交于點E，連接AD，DE，.（1）求證：；（2）若，，求AB和DE的長.【解析】【解答】（1）證明：∵CE//AB，

∴∠ACE=∠BAC，

∵弧AE=弧AE，

∴∠ADE=∠ACE，

∴∠BAC=∠ADE，

∵∠B=∠ADE，

∴∠B=∠BAC，

∴AC=BC；

（2）解：如圖所示：連接AE，過點E作EF⊥AD交AD于點F，

∴∠DAE+∠DCE=180°，DF=，

∵CE//AB，

∴∠B+∠DCE=180°，

∴∠DAE=∠B，

∵∠B=∠ADE，

∴∠ADE=∠DAE，

∴弧AE=弧DE，

∵AC為圓O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB=90°，

∴，

令BD=x，則AD=2x，

∵CD=3，

∴BC=x+3，

∴AC=x+3，

∵，

∴，

解得：x=2或x=0（舍去），

∴BD=2，AD=4，DF=2，

∴AB=，

∵，∠B=∠ADE，

∴，

∴，

∴.

（2）先作圖，再根據平行線的性質求出∠B+∠DCE=180°，最后利用銳角三角函數和勾股定理等計算求解即可。18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與y軸交于點A，與反比例函數的圖象的一個交點為，過點B作AB的垂線l.（1）求點A的坐標及反比例函數的表達式；（2）若點C在直線l上，且的面積為5，求點C的坐標；（3）P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m.若點D，E恰好都落在反比例函數圖象上，求點P的坐標及m的值.【解析】【解答】解：（1）∵直線與y軸交于點A，

∴當x=0時，y=5，

∴點A的坐標為（0，5），

又∵點B（a，4）在直線上，

∴-a+5=4，

解得：a=1，

∴點B的坐標為（1，4），

∴k=1×4=4，

∴反比例函數的表達式為；

（2）解：∵過點B作AB的垂線l，

∴設直線l的解析式為：y=x+b，

∵點B在直線l上，

∴1+b=4，

∴b=3，

∴直線l的解析式為：y=x+3，

設C（m，m+3），

∵點A的坐標為（0，5），點B的坐標為（1，4），

∴AB=，，

∵的面積為5，

∴，

解得：m=6或m=-4，

∴點C的坐標為或；

（3）∵位似圖形的對應點與位似中心三點共線，

∴點B的對應點也在直線l上，設為E點，

則點A的對應點為D，

由題意可得：，

解得：或，

∴E(-4，-1)，

如圖所示：

∵△PAB△PDE，

∴∠PAB=∠PDE，

∴AB//DE，

∴直線AB與直線DE的一次項系數相等，

設直線DE的解析式為y=-x+b2，

∴-1=-(-4)+b2，

∴b2=-5，

∴直線DE的解析式為y=-x-5，

∵點D在直線DE與雙曲線的另一個交點，

∴由題意可得：，

解得：或，

∴D（-1，-4），

∴直線AD的解析式為y=9x+5，

由題意可得：，

解得：，

∴，

∴，，

∴.

（2）利用待定系數法求出直線l的解析式為：y=x+3，再利用三角形的面積公式計算求解即可；

（3）先求出E(-4，-1)，再結合圖象，利用相似三角形的性質計算求解即可。四、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19．若，則代數式的值為.【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴

，

故答案為：.

，再化簡分式計算求解即可。20．一個幾何體由幾個大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小立方塊最多有個.【解析】【解答】解：根據所給的主視圖和俯視圖，可知這個幾何體共有2層2列，且左邊一列最少有3個小立方塊，最多有4個小立方塊，右邊一列有2個小立方塊，所以搭成這個幾何體的小立方塊最多有6個，

故答案為：6.

21．為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準備在一個場館進行川劇演出.該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿AB的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時觀看演出.（取3.14，取1.73）【解析】【解答】解：如圖所示：過點O作OD⊥AB，D為垂足，

∵圓心O到欄桿AB的距離是5米，OD⊥AB，

∴AD=BD，OD=5m，

∴，AD=，

∴∠AOD=60°，

∴∠AOB=2∠AOD=120°，

∴S陰影部分=S扇形OAB-S△OAB=，

∵61.42x3≈184(名)，

∴觀看馬戲的觀眾人數約為184名，

故答案為：184.

22．如圖，在中，，CD平分交AB于點D，過D作交AC于點E，將沿DE折疊得到，DF交AC于點G.若，則.【解析】【解答】解：如圖所示：過點G作GM⊥DE于M，

∵CD平分∠ACB交AB于點D，DE//BC，

∴∠1=∠2，∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴ED=EC，

∵將沿DE折疊得到，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠4，

又∵∠DGE=∠CGD，

∴△DGE△CGD，

∴，

∴DG2=GE·GC，

∵∠ABC=90°，DE//BC，

∴AD⊥DE，

∴AD//GM，

∴，∠MGE=∠A，

∵，

設GE=3，AG=7，EM=3n，則DM=7n，則EC=DE=10n，

∵DG2=GE·GC，

∴DG2=3x(3+10n)=9+30n，

∵在Rt△DGM中，GM2=DG2-DM2，

在Rt△GME中，GM2=GE2-EM2，

∴DG2-DM2=GE2-EM2，

∴9+30n-(7n)2=32-(3n)2，

解得：，

∴，GE=3，

∴，

∴，

故答案為：.

23．定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且，則稱這個正整數為“智慧優(yōu)數”.例如，，16就是一個智慧優(yōu)數，可以利用進行研究.若將智慧優(yōu)數從小到大排列，則第3個智慧優(yōu)數是；第23個智慧優(yōu)數是.【解析】【解答】解：由題意可得：

當m=3，n=1時，第1個智慧優(yōu)數為：32-12=8，

當m=4，n=2時，第2個智慧優(yōu)數為：42-22=12，

當m=4，n=1時，第3個智慧優(yōu)數為：42-12=15，

當m=5，n=3時，第3個智慧優(yōu)數為：52-32=16，

當m=5，n=2時，第3個智慧優(yōu)數為：52-22=21，

當m=5，n=1時，第3個智慧優(yōu)數為：52-12=24，

……

當m=6時，有4個智慧優(yōu)數，

當m=7時，有5個智慧優(yōu)數，

當m=8時，有6個智慧優(yōu)數，

1+2+3+4+5+6=21.

又∵兩數之間的差越小，平方越小，

∴后面也有智慧優(yōu)數比較小的，

∴第22個智慧優(yōu)數，當m=9，n=5時，第22個智慧優(yōu)數為：92-52=81-25=56，

第23個智慧優(yōu)數，當m=11，n=8時，第23個智慧優(yōu)數為：112-82=121-64=57，

故答案為：15，57.

五、解答題（本大題共3個小題，共30分）24．2023年7月28日至8月8日，第31屆世界大學生運動會將在成都舉行.“當好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買A，B兩種食材制作小吃.已知購買1千克A種食材和1千克B種食材共需68元，購買5千克A種食材和3千克B種食材共需280元.（1）求A，B兩種食材的單價；（2）該小吃店計劃購買兩種食材共36千克，其中購買A種食材千克數不少于B種食材千克數的2倍，當A，B兩種食材分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用.【解析】【解答】解：（1）A種食材的單價是每千克x元，B種食材的單價是每千克y元，

由題意可得：，

解得：，

即A種食材單價是每千克38元，B種食材單價是每千克30元；

（2）設A種食材購買x千克，總費用為w元，則B種食材購買（36-x）千克，

由題意可得：w=38x+30（36-x）=8x+1080，

∵x=8＞0，

∴w隨x的增大而增大，

∵購買A種食材千克數不少于B種食材千克數的2倍，

∴x≥2（36-x）

解得：x≥24，

∴當x=24時，w取最小值，w=8×24+1080=1272（元），

∴36-x=36-24=12（千克），

即A種食材購買24千克，B種食材購買12千克時，總費用最少，為1272元.

，再解方程組即可；

（2）根據題意先求出w=38x+30（36-x）=8x+1080，再求出x≥24，最后根據一次函數的性質求解即可。25．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經過點，與y軸交于點，直線與拋物線交于B，C兩點.（1）求拋物線的函數表達式；（2）若是以AB為腰的等腰三角形，求點B的坐標；（3）過點作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E.試探究：是否存在常數m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.【解析】【解答】解：（1）∵知拋物線經過點，與y軸交于點，

∴由題意可得：，

解得：，

∴拋物線的函數表達式為；

（2）設，

分類討論：①當AB=AP時，點B和點P關于y軸對稱，

如圖所示：

∵P（4，-3），

∴B（-4，-3），

②當AB=BP時，，

∴，

∴，

解得：，，

∴當時，，

當時，，

∴點B的坐標為或，

綜上所示：點B的坐標為或或；

（3）存在常數m，使得始終成立，

由題意作圖如下：，

設拋物線與直線y=kx（k≠0）的交點坐標為B（a，ka），C（b，kb），

由得：，

∴a+b=-4k，ab=-4，

設直線AB的表達式為y=px+q，

由題意可得：，

解得：，

∴直線AB的表達式為，

令y=m，則，

∴，

同理可得：直線AC的表達式為，

則點E的坐標為，

過點E作EQ⊥x軸于點Q，過點D作DN⊥x軸于點N，

∴∠EQO=∠OND=90°，

由題意可得：，，，

若OD⊥OE，則∠EOD=90°，

∴∠QED+∠QOE=∠DON+∠QOE=90°，

∴∠QED=∠DON，

∴△EQO△OND，

∴，

∴，

∴，

將a+b=-4k，ab=-4代入得：，

解得：m=2或m=，

∴當m的值為2或時，始終成立.

（2）分類討論，結合圖象，利用等腰三角形的性質計算求解即可；

（3）先作圖，再利用待定系數法求函數解析式，最后利用相似三角形的判定與性質計算求解即可。26．探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.在中，，，D是AB邊上一點，且（n為正整數），E是AC邊上的動點，過點D作DE的垂線交直線BC于點F.（1）【初步感知】如圖1，當時，興趣小組探究得出結論：，請寫出證明過程.（2）【深入探究】①如圖2，當，且點F在線段BC上時，試探究線段AE，BF，AB之間的數量關系，請寫出結論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數量關系的一般結論（直接寫出結論，不必證明）.（3）【拓展運用】如圖3，連接EF，設EF的中點為M.若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數式表示）.【解析】【解答】

（2）①AE+BF=AB，

證明：如圖所示