5．1.2弧度制【素養(yǎng)目標(biāo)】1．掌握弧度與角度的互化，熟悉特殊角的弧度數(shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．掌握弧度制中扇形的弧長和面積公式及公式的簡單應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．根據(jù)弧度制與角度制的互化以及弧度制條件下扇形的弧長和面積公式，體會(huì)引入弧度制的必要性．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】本節(jié)在學(xué)習(xí)中把抽象問題直觀化，即借助扇形理解弧度概念，在學(xué)角度與弧度換算時(shí)巧借π＝180°，學(xué)生可提升自己的數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1度量角的兩種制度(1)角度制．①定義：用度作為單位來度量角的單位制．②1度的角：周角的?。。q\f(1,360)為1度角，記作1°.(2)弧度制①定義：以弧度為單位來度量角的單位制．②1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度記作1rad.思考1：圓心角α所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是唯一的確定的？提示：一定大小的圓心角α的弧度數(shù)是所對弧長與半徑的比值，是唯一確定的，與半徑大小無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)2弧度數(shù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝?。?！eq\f(l,r).思考2：(1)建立弧度制的意義是什么？(2)對于角度制和弧度制，在具體的應(yīng)用中，兩者可混用嗎？如何書寫才是規(guī)范的？提示：(1)在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng)．(2)角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時(shí)不能混用，例如α＝k·360°＋eq\f(π,6)(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等寫法都是不規(guī)范的，應(yīng)寫為α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．知識(shí)點(diǎn)3弧度與角度的換算公式(1)周角的弧度數(shù)是2π，而在角度制下的度數(shù)是360°，于是360°＝2πrad，即根據(jù)以上關(guān)系式就可以進(jìn)行弧度與角度的換算了．弧度與角度的換算公式如下：若一個(gè)角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad.(2)常用特殊角的弧度數(shù)0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0！?。q\f(π,6)?。。q\f(π,4)?。?！eq\f(π,3)eq\f(π,2)?。?！eq\f(2π,3)！?。q\f(3π,4)?。?！eq\f(5π,6)π?。?！eq\f(3π,2)2π(3)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，任一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng)．思考3：(1)角度制與弧度制在進(jìn)制上有何區(qū)別？(2)弧度數(shù)與角度數(shù)之間有何等量關(guān)系？提示：(1)角度制是六十進(jìn)制，而弧度制是十進(jìn)制的實(shí)數(shù)．(2)弧度數(shù)＝角度數(shù)×eq\f(π,180)；角度數(shù)＝弧度數(shù)×(eq\f(180,π))．知識(shí)點(diǎn)4弧度制下的弧長公式與扇形面積公式(1)弧長公式在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角大小為α，則|α|＝eq\f(l,r)，變形可得l＝|α|r，此公式稱為弧長公式，其中α的單位是弧度．(2)扇形面積公式由圓心角為1rad的扇形面積為eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧長為l的扇形的圓心角大小為eq\f(l,r)rad，故其面積為S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，將l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式稱為扇形面積公式．思考4：(1)弧度制下弧長公式及扇形面積公式有哪些常用變形形式？(2)弧度制下的弧長公式及扇形面積公式可以解決哪些問題？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？提示：(1)①|(zhì)α|＝eq\f(l,R)；②R＝eq\f(l,|α|)；③|α|＝eq\f(2S,R2)；④R＝eq\f(2S,l).(2)由弧度制下的弧長公式及扇形面積公式可知，對于α，R，l，S四個(gè)量，可“知二求二”．這實(shí)質(zhì)上是方程思想的應(yīng)用．基礎(chǔ)自測1．下列說法中正確的是(D)A．1弧度是1度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑長的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角之和D．1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，它是角的一種度量單位[解析]利用弧度的定義及角度的定義判斷.選項(xiàng)結(jié)論理由A錯(cuò)誤長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度是角的一種度量單位，不是長度的度量單位.B錯(cuò)誤C錯(cuò)誤D正確2．－300°化為弧度是(B)A．－eq\f(4π,3) B．－eq\f(5π,3)C．－eq\f(7π,4) D．－eq\f(7π,6)3．已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長是40cm，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是4.4．如果α＝－2，則α的終邊所在的象限為(C)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因?yàn)椋?lt;－2<－eq\f(π,2)，所以α的終邊在第三象限．5．與60°終邊相同的角可表示為(D)A．k·360°＋eq\f(π,3)(k∈Z)B．2kπ＋60°(k∈Z)C．2k·360°＋60°(k∈Z)D．2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)[解析]60°化為弧度制等于eq\f(π,3)，與eq\f(π,3)終邊相同的角可表示為2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一角度與弧度的換算及應(yīng)用例1將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)20°；(2)－800°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(4,5)π.[解析](1)20°＝20×eq\f(π,180)＝eq\f(π,9)；(2)－800°＝－800×eq\f(π,180)＝－eq\f(40,9)π；(3)eq\f(7π,12)＝eq\f(7π,12)×(eq\f(180,π))°＝105°；(4)－eq\f(4,5)π＝－eq\f(4,5)π×(eq\f(180,π))°＝－144°.[歸納提升]角度制與弧度制互化的原則和方法(1)原則：牢記180°＝πrad，充分利用1°＝eq\f(π,180)rad和1rad＝(eq\f(180,π))°進(jìn)行換算．(2)方法：設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)n，則αrad＝α·(eq\f(180,π))°；n°＝n·eq\f(π,180).【對點(diǎn)練習(xí)】?設(shè)α1＝－570°、α2＝750°、β1＝eq\f(3π,5)、β2＝－eq\f(π,3).(1)將α1、α2用弧度制表示出來，并指出它們各自所在的象限；(2)將β1、β2用角度制表示出來，并指出它們各自所在象限．[解析](1)∵180°＝πrad，∴－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)，∴α1＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，β2＝－eq\f(π,3)＝－60°，∴β1在第二象限，β2在第四象限．題型二用弧度制表示給定區(qū)域角的集合例2用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．[分析]本題考查區(qū)域角的表示，關(guān)鍵是要確定好區(qū)域的起止邊界．[解析](1)225°角的終邊可以看作是－135°角的終邊，化為弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的終邊即eq\f(π,3)的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為{α|2kπ－eq\f(3π,4)<α<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．(2)與(1)類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}∪{α|2kπ＋π＋eq\f(π,6)<α<2kπ＋π＋eq\f(π,2)，k∈Z}＝{α|nπ＋eq\f(π,6)<α<nπ＋eq\f(π,2)，n∈Z}．[歸納提升]解答本題時(shí)常犯以下三種錯(cuò)誤．(1)弧度與角度混用．(2)終邊在同一條直線上的角未合并．(3)將圖①中所求的角的集合錯(cuò)誤地寫成{α|eq\f(4,3)π＋2kπ<α<eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z}，這是一個(gè)空集．對于區(qū)域角的書寫，一定要看其區(qū)間是否跨越x軸的正半軸，若區(qū)間跨越x軸的正半軸，則在“前面”的角用負(fù)角表示，“后面”的角用正角表示；若區(qū)間不跨越x軸的正半軸，則無須這樣寫．【對點(diǎn)練習(xí)】?用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集合(不包括邊界)，如圖所示．[解析](1)330°和60°的終邊分別對應(yīng)－eq\f(π,6)和eq\f(π,3)，所表示的區(qū)域位于－eq\f(π,6)與eq\f(π,3)之間且跨越x軸的正半軸，所以終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|2kπ－eq\f(π,6)<θ<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．(2)210°和135°的終邊分別對應(yīng)－eq\f(5π,6)和eq\f(3π,4)，所表示的區(qū)域位于－eq\f(5π,6)與eq\f(3π,4)之間且跨越x軸的正半軸，所以終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|2kπ－eq\f(5π,6)<θ<2kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z}．(3)30°＝eq\f(π,6)，210°＝eq\f(7π,6)，所表示的區(qū)域由兩部分組成，即終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|2kπ<θ<2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}∪{θ|2kπ＋π<θ<2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z}＝{θ|2kπ<θ<2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π<θ<(2k＋1)π＋eq\f(π,6)，k∈Z}＝{θ|nπ<θ<nπ＋eq\f(π,6)，n∈Z}．題型三弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用例3(2020·東北師大附中單元測試)已知扇形的周長是8cm，面積為3cm2，那么這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)(圓心角為正)為?。?！eq\f(2,3)或6.[解析]設(shè)這個(gè)扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角的弧度數(shù)為α，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)rl＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6.))∵α是扇形的圓心角的弧度數(shù)，∴0<α<2π.當(dāng)r＝3，l＝2時(shí)，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)，符合題意；當(dāng)r＝1，l＝6時(shí)，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(6,1)＝6，符合題意．綜上所述，這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為eq\f(2,3)或6.[歸納提升]1.運(yùn)用扇形弧長及面積公式時(shí)應(yīng)注意的問題．(1)由扇形的弧長及面積公式可知，對于α，r，l，S中“知二求二”的問題，其實(shí)質(zhì)上是方程思想的運(yùn)用．(2)運(yùn)用弧度制下扇形的弧長公式與面積公式比用角度制下的公式要簡單得多．若角是以“度”為單位的，則必須先將其化成弧度，再計(jì)算．(3)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練掌握下面幾個(gè)公式．①l＝αr，α＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,α)；②S＝eq\f(1,2)αr2，α＝eq\f(2S,r2).2．解決扇形的周長或面積的最值問題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)思想，把要求的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可．【對點(diǎn)練習(xí)】?(1)一個(gè)扇形的面積為15π，弧長為5π，則這個(gè)扇形的圓心角為(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)(2)(2021·廈門期末)若一扇子的弧長等于其所在圓的內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為(C)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\r(2) D．2[解析](1)設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)θr2＝15π，,θr＝5π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝6，,θ＝\f(5π,6).))故扇形的圓心角為eq\f(5π,6).(2)設(shè)圓的直徑的2r，則圓內(nèi)接正方形的邊長為eq\r(2)r.∵扇子的弧長等于其所在圓的內(nèi)接正方形的邊長，∴扇子的弧長等于eq\r(2)r，∴圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為eq\f(\r(2)r,r)＝eq\r(2).誤區(qū)警示角度和弧度混用致錯(cuò)例4求終邊在如圖所示陰影部分(不包括邊界)內(nèi)的角的集合．[錯(cuò)解一]{α|k·360°＋330°<α<k·360°＋60°，k∈Z}．[錯(cuò)解二]{α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z}．[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解一中，若給k賦一個(gè)值，集合中不等式右邊的角反而小于左邊的角．錯(cuò)解二中，同一不等式中混用了角度制與弧度制．[正解]{α|2kπ－eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}，也可寫成{α|k·360°－30°<α<k·360°＋60°，k∈Z}．[方法點(diǎn)撥]同一個(gè)問題(或題目)中使用的度量單位要統(tǒng)一，要么用角度制單位，要么用弧度制單位，不能將兩者混用．學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)文化題的功能是傳播數(shù)學(xué)文化，所以一般來說難度較小，解決此類問題的關(guān)鍵是理解題意，按照題中的方法解決問題．例5《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑等于4m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式，計(jì)算所得弧田面積約是(B)A．6m2 B．9m2C．12m2 D．15m2[解析]如圖，由題意得∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4m，∴在Rt△AOD中，∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，∴OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2(m)，∴矢＝4－2＝2(m)．由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(m)，得弦＝2AD＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)(m)，∴弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9(m2)．故選B．課堂檢測·固雙基1．在不等圓中1rad的圓心