2022年高考數學考前必練題

1.如圖，在直三棱柱48C-小陰。中，Z^C=90°,AB=AC=2,AAi=3.”是的

T2T

中點，N是田。的中點，點P在線段4N上，且41P=5&N,。是BCi與81c的交點.

(I)求證：P0〃平面NCM；

V2

(II)在線段上是否存在點S,使得直線CS與平面4cM所成角的正弦值為匚？請

14

說明理由.

【分析】(I)建立空間坐標系，求出平面小CW的法向量1，證明，即可得出「。〃

平面小CM:

(II)假設存在符合條件的點S,設NS=〃，令IcosvB,n>|=^|,根據方程解的情況

作出判斷.

【解答】(I)證明：以/為原點，以4C,AB,4小為坐標軸建立空間直角坐標系

xyz9

3

貝lj4i(0,0,3),C(2,0,0),M(0,1,0),N(1,1,3),Q(1,I,-),

2

:.晨N=(1,1,0),4；Q=(1,1,-|),CM=(-2,1,0),=(-2,0,3),

T2T22TTT113

??4止=W&N=i0),.'PQ=AiQ—&P=(-,—,—

，T-

設平面/1C"的法向量為-=(x,y,z),則,fl=°,即片

n-CM=01,-

令z=2可得九=(3,6,2),

t->113t-

:?PQ,n=3x+6x-2x=0，**?PQ.Ln.

又P0C平面4cM,

平面小CM.

(H)假設線段/小存在點S,使得直線CS與平面小C初所成角的正弦值為當,

不妨設4S=〃(0W〃W3),則S(0,0,A),：.CS=(-2,0,h),

CS'Ti_-6+2/i

/.cos<CS，n>=

兩向J4+/I2X7

6-2/1y/2

解得h=2,

7“4+九2-14'

.??S為線段441靠近小的三等分點時，直線CS與平面小CM所成角的正弦值為三.

【點評】本題考查了線面平行的判定，考查空間向量在線面位置關系的證明和線面角計

算中的應用，屬于中檔題.

2.如圖，在四棱錐P-Z8CD中，已知孫，平面Z8CZ),且四邊形Z8C。為直角梯形，Z

ABC=NBAD=E，R4=AD=2,AB=BC=l.E是尸。中點.

(1)求直線CE與平面所成角的大小;

(2)求平面必8與平面PCD所成銳二面角的余弦值；

(3)點。是線段8P上的動點，當直線C0與Q尸所成的角最小時，求線段8。的長.

［分析［(1)過E作EFVAD交.AD于F,連結CF,NECF即為直線CE與平面ABCD

所成角.通過求解三角形推出結果.

(2)以/為坐標原點，分別以AD,ZP所在直線為x軸、y軸和z軸，說明公是

平面以8的一個法向量，求出平面PC。的法向量，利用空間向量的數量積求解平面RJB

與平面PCD所成的銳二面角的余弦值即可.

(3)設直線C。與。尸所成的角為a,而=(一1,0,2),設防=2晶=(-30,24),

(01),求出益=&+而=(-4,-1,24),利用空間向量的數量積求解余弦函

數值的表達式，利用基本不等式轉化求解最小值即可.

【解答】解：(1)過E作交力。于尸，連結CF

則/ECF即為直線CE與平面ABCD所成角.

因為后是。。中點.PA=AD=2,所以E/=1,CF=\,所以4ECF=],

71

所以直線CE與平面/8CO所成角的大小為一.

4

(2)以N為坐標原點，分別以AD,N尸所在直線為x軸、y軸和z軸，

則8(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

因為4)_L平面口8,所以而是平面R18的一個法向量，AD=(0,2,0),

因為而=(1,1,-2),而=(0,2,-2),

設平面PC。的法向量蔡=(x,y,z),則/而=0,n-PD=0,

令y=l,解得z=l,x=\,

所以￡=(1,1,1)是平面PCD的一個法向量，

TT廠

設平面PAB與平面PCD所成銳二面角為6,則cos0=坐二=V.

\AD\\n\

V3

所以平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為3.

(3)設直線C。與DP所成的角為a,而=(一1,0,2),

設訪=2前=(-30,2A),(0<A<1),又a=(0,-1,0),

則&=3+訪=(-;I,-1,2A),

又防=(0,-2,2),所以cosa==-j2tZj_,

\CQ\\DP\Jio#+2

設1+2入=/,ze[l,3],則cos2a=丁絲----=----J—<齊.

5r-10t+99(工_￡)2+等10

當且僅當「=孩，即4=看時，|cosa|的最大值為三乎,

因為尸cosx在(0,方上單調遞減，

此時直線C。與DP所成的角取得最小值，

因為BP=遍，所以BQ=|BP=等.

【點評】本題考查直線與平面所成角，二面角的求法，直線與平面的位置關系的綜合應

用，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題.

3.如圖，在四棱柱N8CQ-/i8iCiZ)i中，側棱小4,底面48CD,ABLAC,AB=\,AC

=441=2,AD=CD=煙,且點M和N分別為81c和的中點.

(1)求證：MN〃平面4BCD；

(2)求平面zlCDi與平面ZC8i的夾角的余弦值；

1

(3)設E為棱小囪上的點，若直線NE和平面/8CD的夾角的正弦值為9求線段/1E

的長.

【分析】(1)以/為原點建立空間直角坐標系，求出平面48CQ的法向量，MN=(0,

5TT

--0),通過MN?n=0,證明MN〃平面/BCD

2

(2)求出平面NCDi的法向量，平面/CBi的法向量，利用空間向量的數量積求解平面

ACD\與平面ZC81的夾角的余弦值.

(3)設6E=Q1G1,其中入€[0,1],求出平面/8C￡>的法向量，利用空間向量的數量

積求，利用cosV/VE,n>=/，即可推出線段的長為V7—2.

【解答】(1)證明：如圖，以/為原點建立空間直角坐標系，

依題意可得Z(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),

D(1,-2,0),A\(0,0,2),Bi(0,1,2),

Ci(2,0,2),D\(1,-2,2),

又因為M,N分別為BiC和。i。的中點，

1

得M(1,一，1),N(1,-2,1).

2

TT5

可得71=(0,0,1)為平面Z3CZ)的法向量，MN=(0,0),

2

由此可得加?￡=(),又因為直線MVC平面Z8CD所以MV〃平面N8CD

(2)解：4芯1=(1,-2,2),AC=(2,0,0),

JT

設己=(x,y,z)為平面NCZ)1的法向量，則)絲1=°,

p-AC=0

即｛：-2：+2z=0,

(2x=0

不妨設z=l,可得3=(0,1,1).

設藍=(x,y,z)為平面的法向量，又4京=(0,1,2),

則產?,i=0,

m-AC=0

得不妨設z=l,可得薪=(0,-2,1).

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