試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】中考數(shù)學幾何專項練習：相似模型--一線三等角及“K”模型一、單選題1．如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．矩形中，，，點P是上的動點，當時，的長是（

）．

A．1 B．3 C．1或3 D．1或4【答案】D【分析】結(jié)合矩形的性質(zhì)，證明，即可得，進而可得，問題隨之得解．【詳解】∵矩形中，，，∴，，，∴，∵，∴，∵在中，，∴，又∵，∴，∴，∴，整理：，解得：，或者，故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的應用等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，點D是邊上的一個動點，點E在上，點D在運動過程中始終保持．當時，則的長為（）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】證明，得出，即，求出，得出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．4．如圖，在矩形中，，將點折疊到邊上點處，折痕為，連接，，若點是中點，則長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊，即可得到，，的長；再根據(jù)，利用對應邊成比例即可得的長．【詳解】解：矩形中，，

，又是的中點，，中，，由題可得，，，，，，即，解得，故選：A．【點睛】本題主要考查了折疊問題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，翻折變換折疊問題實質(zhì)上就是軸對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．5．如圖，在等邊中，點分別在邊上，，若，則的長度為（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：為等邊三角形，．．，，，，，，，．故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題6．如圖，在邊長為的菱形中，，將菱形沿翻折，使點A的對應點G落在對角線上．若，則的長為cm，的長為cm．

【答案】2/【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及，可以得到為等邊三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和和平角的意義，得出，對應邊成比例，設(shè)，，，由比例式列出方程，再根據(jù)，解出，即可解答．【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，，∴，∴四邊形是菱形，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，，，∴，即，又，即，解得，∵，即，∴，∴．故答案為：2；．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的意義，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例式列方程．7．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點P為BC邊上一動點，若AP⊥DP，則BP的長為．【答案】1或2【分析】設(shè)BP=x，則PC=3-x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可證明△CDP∽△BPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案．【詳解】設(shè)BP=x，則PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的長為1或2，故答案為：1或2【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對應邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．【答案】2.4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴，即，∵等邊△ABC的邊長為6，∴，解得：．故答案為：2.4【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，點D是等邊邊上一點，將等邊折疊，使點A與點D重合，折痕為（點E在邊上）．（1）當時，；（2）當時，．【答案】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，再由推出，可得，由此即可得到答案；（2），用表示和，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相似比，即可求出，然后用表示即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）∵三角形是等邊三角形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：（2）設(shè)，∴，∵為等邊三角形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，，∴，∴∵，∴，，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了三角形與折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理并靈活應用是解題關(guān)鍵．10．如圖，已知是等邊三角形，，點D，E，F(xiàn)分別在上，，同時平分和，則，BD的長是．

【答案】【分析】根據(jù)同時平分和得到，，再由，證明，由三角形全等性質(zhì)，，再根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論，根據(jù)和是等邊三角形，證明，設(shè)，利用三角形相似比構(gòu)建方程求解即可．【詳解】同時平分和得到，，，，，，又，故答案為：是等邊三角形，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等與三角形對應邊的比是解題的關(guān)鍵．11．如圖，將菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點落在上，與交于點，若，，則的長為．

【答案】【分析】過C作交于F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，，可得和的長，再由求得和的比即可解答；【詳解】解：如圖，過C作交于F，

是菱形，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，則，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識；掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．在等邊中，為上一點，為上一點，且，，，則的邊長為．

【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，得，從而得出與相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，，；，，，，，的邊長為．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．綜合利用題目中條件證明出兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．13．如圖，等邊中，、分別在邊，上，，，沿直線折疊，使點落在邊上的處，則．

【答案】【分析】證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，，，得出，解得，可得出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，沿直線折疊，使點落在邊上的處，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，．，解得或（不合題意，舍去）．．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，點E是邊上一點，連接，過點E作，交于點F，且，則度，的長為．

【答案】【分析】延長至使，連接，證明即可求出的長．【詳解】∵，∴，∴延長至使，連接，

∵在中，，∴，∴是等邊三角形∴，，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，，故答案為：，．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一線三等角模型構(gòu)造輔助線．15．如圖，在等邊中，將沿翻折，點恰好落在邊的點處，且，則．

【答案】【分析】如圖，作，，垂足為，，利用勾股定理和含角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得到相應的線段，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接交于點O，作，，垂足為，，如圖，設(shè)，，∵等邊，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，同理可得，∴，即，解得，則．故答案為：．

【點睛】此題主要考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，通過三角形相似求出相關(guān)線段是關(guān)鍵．16．如圖，矩形中，，，E為的中點，F(xiàn)為上一點，，且．對角線與交于點G，則的長為．

【答案】【分析】過點G作于點H，先證明，得出，根據(jù)，得出，，再證明，得出，證明，得出，聯(lián)立求出得出，，最后在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：過點G作于點H，設(shè)，則，∵E為的中點，∴，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，解得：，∴，解得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形對應邊成比例．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cos∠α＝，下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）【答案】①②④【分析】①根據(jù)有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據(jù)有兩組對應角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求得．【詳解】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，故①正確；②作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，∴BG＝ABcosB，∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，∵BD＝6，∴DC＝10，∴AB＝DC，在△ABD與△DCE中，∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正確；③當∠AED＝90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED，∵∠AED＝90°，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，當∠CDE＝90°時，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE＝90°，∴∠BAD＝90°，∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，∴cosB＝＝，∴BD＝，故③錯誤；④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，設(shè)BD＝y(tǒng)，CE＝x，∴，∴，整理得：y2?16y＋64＝64?10x，即（y?8）2＝64?10x，∴0＜x≤6.4，故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形與全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，等邊的邊長為，點是邊上一動點，將等邊沿過點的直線折疊，該直線與直線交于點，使點落在直線上的點處，且折痕為則的長為．【答案】或．【分析】分情況討論：方法一：當點落在如圖1所示的位置時，證明△BMD∽△CDN，得到，根據(jù)設(shè)求出AN；方法二：當在的延長線上時，如圖2，同樣方法求出AN.【詳解】方法一：當點落在如圖1所示的位置時，是等邊三角形，，，得，得，，設(shè)則，，，，解得；方法二：當在的延長線上時，如圖2，與同理可得.得.，，設(shè)則，，，解得：，，故答案為：或.【點睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中注意題中的條件“點落在直線上的點處”故點A可在線段BC上，也可在延長線上，應分類討論避免漏解.19．如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，是邊上的一個動點（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，將沿對折后，點恰好落在上的點處，則的值為．【答案】【分析】過點作軸于點，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到，進而證明，再根據(jù)相似的性質(zhì)得到，通過矩形EAOM的性質(zhì)得到EM的長度，進而得到DB的長度，最后在中應用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，過點作軸于點，∵四邊形AOBC為矩形，OA=3，OB=4，∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．∴，，，．∵點F在邊BC上，點E在邊AC上，∴，．又∵點E，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，．∴，．∴，．∴，．∵沿EF對折后得到，∴，，．∴．∵軸，∴∴，．∴．∴．∴．∵四邊形AOBC是矩形，∴．又∵軸，∴．∴四邊形EAOM是矩形，∴．在中，滿足，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標與長度之間的關(guān)系以及勾股定理，作出合適的輔助線，熟練應用以上知識點是解題關(guān)鍵．20．將邊長為15的等邊三角形紙片進行折疊，使點A落在對邊上的點D處，折痕交于點E，交于點F，且滿足，則的長為．

【答案】【分析】設(shè)，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出，，由折疊的性質(zhì)得：，，，由三角形的外角性質(zhì)得出，證明，得出，，由得出方程，解方程即可．【詳解】解：當點在線段上時，設(shè)，是等邊三角形，，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，即，解得：，，，，，解得：，即，故答案為：．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握折疊變換和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．課題學習：【證明體驗】（1）如圖1，在四邊形中，點P為上一點，，求證：．【思考探究】（2）如圖2，在四邊形中，點P為上一點，當時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．【拓展延伸】（3）請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題：如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）結(jié)論成立，證明見解析；（3）5；【分析】（1）如圖1，由可得，即可證到，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）如圖2，由可得，即可證到，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．（3）證明，求出，再證，可求，進而解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）∵，等腰，∴，∵，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，（負根舍去）∴．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，勾股定理的應用，能夠通過角將問題轉(zhuǎn)化為一線三等角是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在矩形中，為邊上一點，把沿翻折，使點恰好落在邊上的點處．(1)求證：；(2)若，，求的長．(3)當點是線段的中點時，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明，再利用相似三角形的判定得結(jié)論；（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可．（3）由，可得，結(jié)合為的中點，可得，結(jié)合，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．∵沿翻折得到，∴．∵，∴．又∵，∴．（2）∵四邊形是矩形，，，∴，，∵沿翻折得到，∴，．在中，．設(shè)CE的長為x，則．∵，∴．∴，即．∴，即．（3）∵，∴，∵為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個角都是直角、矩形的對邊相等”、“折疊前后的兩個圖形全等”、“兩角對應相等的兩個三角形相似”及“相似三角形的對應邊的比相等”是解決本題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，，，點為邊上一動點（不與點、重合），過點作射線交于點，使；(1)求證：；(2)設(shè)，，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；(3)當為等腰三角形時，求的長．(直接寫出答案，不寫解題過程)．【答案】(1)見解析(2)(3)3或【分析】（1）因為，，得到，，得到，即可得出；（2）由（1）得到比例式，代入變形得到；（3）為等腰三角形有三種情況，、、分別利用相似三角形性質(zhì)計算即可求解．【詳解】（1）∵，，∴．∵，∴，∴．（2）∵，，，∵，∴，∴．（3）如圖，當時∵，∴，∴．如圖，當時，∵，∴即點與點重合．∵不與點、重合，舍去．如圖，當時，∴，∴，∴．∴，即，∴．綜上所述，的長為3或．【點睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)，重點要運用對應邊成比例進行計算，第三問關(guān)鍵在于能夠?qū)Φ妊切芜M行分類．24．如圖，在中，點D、E分別在邊、上，連接、，且．(1)證明：；(2)若，，當點D在上運動時（點D不與B、C重合），且是等腰三角形，求此時的長．【答案】(1)詳見解析(2)當是等腰三角形時，的長為3或【分析】(1)證明即可．(2)利用分類思想，分三種情況計算求解即可．【詳解】（1）∵∴∵∴∴．（2）當時∴∵∴∴∴點D與B重合，不合題意舍去；當時，如圖1，∴∵∴∴AD平分∴AD垂直平分BC∴；當時，如圖2∵，∴∽∴∴∵∴，∵∴∴綜上所述，當是等腰三角形時，BD的長為3或．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在中，，，點為邊上一動點（不與點、重合），過點作射線交于點，使．

(1)求證：；(2)當為直角三角形時，求線段長度．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）由題意易得，則有，證明，進而問題可證；（2）當為直角三角形時，則可分當時和當時進行分類討論求解．【詳解】（1）證明：如圖1，

，，，，，，；（2）解：由題意知，①當時，如圖2，

由（1）知，，點為中點，，，②當時，如圖3，

由（1）知，，作于點，則，，，，，，．的長是或．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在中，，，點、分別在線段、上運動，并保持

(1)當是等腰三角形時，求的長；(2)當時，求的長．【答案】(1)或2或1(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，得到啊，，是等腰三角形分三種情況討論：①當時；②當時；③當時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)分別求解，即可得到答案；（2）取的中點，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到，，進而得到，，再利用勾股定理，求出，然后證明，利用對應邊成比例，即可求出．【詳解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，①如圖1，當時，是等腰三角形，此時，點、分別與點、重合，；②如圖2，當時，是等腰三角形，此時，，，，，即是等腰三角形，，點是的中點，；③如圖3，當時，是等腰三角形，，且，，在和中，，，，，，綜上可知，當是等腰三角形時，的長為或2或1；

（2）解：取的中點，連接，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，由（1）③可知，，又，，．

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論的思想，熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．27．已知等邊三角形的邊長為4．(1)如圖，在邊上有一個動點，在邊上有一個動點，滿足，求證：；

(2)如圖，若點在射線上運動，點在直線上，滿足，當時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到點，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)7(3)【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和得出，再用平角得出，進而得出，即可得出結(jié)論；（2）過點作于，構(gòu)造出含角的直角三角形，求出的長度，再用勾股定理求出，進而求出的值，再判斷出，得出比例式即可得出結(jié)論；（3）先求出的值，進而得出的值，再構(gòu)造出直角三角形求出的長度，進而得出的值，再求出的長度，最后用面積差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴；（2）如下圖，過點作于，

∴，∵是等邊三角形，邊長為4，∴，，∴，在中，，，∴，根據(jù)勾股定理得，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如下圖，

由（2）知，，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，，∵，∴，，過點作于，在中，，根據(jù)勾股定理得，，過點作于，∵，∴，∴，過點作于，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用．28．已知：如圖，在中，，，，是斜邊上的一個動點，，交射線于點與、不重合），是邊上一點，且．設(shè)、兩點的距離為，的面積為．

(1)若時，求的值．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．(3)當與相似時，求的長度．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，過作于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過作于，得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)，求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）設(shè)，得到，當點在線段上時，當點在的延長線上時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，，，，，，，，，，，過作于，

，，，，，，；（2），，，，過作于，則四邊形是矩形，，，，，，即；（3）設(shè)，由（1）知，，，如圖1，

，，，，，，當點在線段上時，，，當與相似時，有或，，與相似，或，或，解得：或（不合題意舍去），當點在的延長線上時，如圖2，，

當與相似時，有，，，，，解得：，或．【點睛】本題考查了相似形三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．29．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點D與點E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說明理由；（2）若△PDE為正三角形時，求BD+CE的值；（3）當DE∥BC時，請用BP表示BD，并求出BD的最大值．【答案】（1）∠BDP＝∠EPC，理由見解析；（2）8；（3）BD＝，BD的最大值為4．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)解答；（2）證明△BDP≌△CPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CP，BP＝CE，結(jié)合圖形計算，得到答案；（3）證明△BDP∽△CPE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求出BP與BD的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出BD的最大值．【詳解】解：（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE為正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC為等邊三角形，∴△ADE為等邊三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△CPE，∴，即整理得，BD＝，﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值為4．【點睛】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)、相似三角形的判斷與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運用知識點進行邏輯證明是解題關(guān)鍵．30．如圖，點D是等邊邊上一點，將等邊折疊，使點A與點D重合，折?為（點E在邊上）．

(1)當點D為的中點時，的值為______．(2)當點D為的三等分點時，的值為______．【答案】(1)1(2)或【分析】（1）連接，根據(jù)三線合一和折疊得到，，進而得到，再證明是等邊三角形即可得到即可求出結(jié)果；（2）分兩種情況，和，用k表示和，然后利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相似比，即可求出，然后用k表示即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：連接，如下圖所示，∵點D為的中點，為等邊三角形，∴，，，∵將等邊折疊，使點A與點D重合，折痕為，∴，∴，∴是等邊三角形，∴,即；（2）解：當點D為的三等分點時，共有兩種情況：情況一：當時，設(shè)，∴，∵為等邊三角形，由折疊可知，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，當時，設(shè)，同上一種情況得：，∴，∴，∴，故答案為：或.【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，翻折變換，利用折疊得出等邊三角形是解第一問的關(guān)鍵，利用相似三角形的周長比等于相似比，再適當?shù)挠胟表示邊是解第二問的關(guān)鍵.31．如圖所示，直線與軸相交于點，與y軸相交于點B，將沿著y軸折疊，使點A落在x軸上，點A的對應點為點C．

(1)求點C的坐標；(2)設(shè)點P為線段上的一個動點，點P與點A、C不重合，連接，以點P為端點作射線交于點M，使，①求證：；②是否存在點P使為直角三角形?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①見解析；②存在，點有兩個，【分析】（1）根據(jù)A與C關(guān)于y軸對稱，據(jù)此即可確定C的坐標；（2）①根據(jù)點C與點A關(guān)于y軸對稱，即可得到，則，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得，從而證得兩個三角形相似；②首先求得B的坐標，當時，則有，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求得的長，求得P的坐標；當時，則時，，則此時點P與點O重合．則P的坐標可以求得．【詳解】（1）解：，且點C與點A關(guān)于y軸對稱，；（2）①證明：，且，，，又∵點C與點A關(guān)于y軸對稱，且，，；②解：存在．由題意：，，，當時，則有，∴，即，，即：；當時，則，，，，，過點B只有一條直線與垂直，∴此時點P與點O重合，即：符合條件的點的坐標為：．∴使△PBM為直角三角形的點P有兩個，．【點睛】本題是屬于一次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應用等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題是解題關(guān)鍵．32．在矩形中，點在上，，，．(1)如圖1，連接，過點作，交于點，連接，證明：是等腰三角形；(2)如圖2，點在矩形的邊上（點不與點、重合），連接，過點作，交于點，連接．求證：；(3)如圖3，若交于點，，其他條件不變，且的面積是6，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先利用矩形性質(zhì)得，再利用同角的余角相等得，根據(jù)已知邊的長度計算出，則由證得，據(jù)此即可求解；（2）利用兩角對應相等證明；（3）作輔助線，構(gòu)建如圖②一樣的相似三角形，利用探究得，則，所以，再利用的面積是6，列式可得，兩式結(jié)合可求得的長，利用勾股定理求，從而得出的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）證明：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖③，過F作于G，則四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，同理得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，學會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．33．閱讀下列材料：如圖1，點A、D、E在直線l上，且，則：，又，故．像這樣一條直線上有三個等角頂點的圖形我們把它稱為“一線三等角”圖形．

請根據(jù)以上閱讀解決下列問題：(1)如圖2，中，，，直線ED經(jīng)過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．(2)如圖3，在中，點D在上，，，，，求點C到邊的距離．(3)如圖4，在平行四邊形中，E為邊上一點，F(xiàn)為邊上一點．若，，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)15【分析】（1）由可證，由可證，進一步可證；（2）過點D作于點F，過點C作，交延長線于點E，由等腰三角形三線合一，得，進一步證得，可證∴，于是，得解點C到的距離為；（3）以點D為端點，作線段，交延長線于點M，則，可證，于是，得，從而求得．【詳解】（1）解：∵，∴．∵，，∴，．∴．在與中，，∴；（2）解：過點D作于點F，過點C作，交延長線于點E，

∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在與中，，∴．∴．即點C到的距離為；（3）解：以點D為端點，作線段，交延長線于點M，則．∵四邊形是平行四邊形，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴．∴．∴．

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；添加輔助線構(gòu)造全等三角形，相似三角形得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．34．如圖，在中，，，點是的中點，將含有的三角板的銳角頂點與點重合，并繞著點旋轉(zhuǎn)，交邊于、兩點，交的延長線于點．

(1)如圖1，求證：(2)如圖2，連接，，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)15【分析】（1）證明，即可得到；（2）如圖，連接，過作于，設(shè)，則，，證明，，可得，可得，，同理：由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得：，，證明，可得，則，可得，，結(jié)合，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵，，將含有的三角板的銳角頂點與點重合，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，連接，過作于，

∵，，為中點，∴，，，設(shè)，∴，∵，，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，同理：由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得：，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，（負根舍去），∴，，∴．【點睛】本題考查的等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．35．如圖1，點P是線段上與點A，點B不重合的任意一點，在的同側(cè)分別以A，P，B為頂點作，其中∠1與∠3的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點P為等聯(lián)點，線段為等聯(lián)線．

(1)如圖2，在個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點P為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，延長至點B，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點A落在點M處，得到，再延長交的延長線于E，連接并延長交的延長線于F，連接．①確定的形狀，并說明理由；②若，求等聯(lián)線和線段的長（用含k的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①等腰直角三角形，理由見解析；②等聯(lián)線，線段【分析】（1）根據(jù)新定義，畫出等聯(lián)角即可；（2）①是等腰直角三角形，過點C作交的延長線于N，由折疊得，證明四邊形為正方形，進而證明，得出，即可求解；②過點F作于Q，交的延長線于R，則．證明，得出，在中，，，進而證明四邊形為正方形，則，由，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)即可．【詳解】（1）解：作圖如下：（方法不唯一）

（2）①是等腰直角三角形．理由為：如圖，過點C作交的延長線于N．

由折疊得，∵，∴四邊形為正方形，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴是等腰直角三角形．②如圖，過點F作于Q，交的延長線于R，則，

∵，∴，由是等腰直角三角形知：，∴，∴，而，∴，在中，，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為正方形，，∵，∴，∴，而，∴，解得：，由①知：，