2022年高考數(shù)學(xué)考前必做題

1.如圖，在四棱錐P-4BCO中，底面4BCD為矩形，以1.平面488,PA=AB=2AD,E

為PC中點(diǎn).

(I)證明：孫〃平面8￡>E；

(II)求用與平面PCD所成角的正弦值.

【分析】(I)連接EF,證明B4〃EF,然后證明以〃平面8OE.

(II)說明以與平面PC。所成角為/4PD,然后求解三角形推出結(jié)果即可.

【解答】(I)證明：ACnBD=F,連接E凡因?yàn)镋,尸分別為PC,AC中點(diǎn),

所以fi4〃EF,B4U平面BOE,EFu平面B￡>E,所以B4〃平面BQE.

(H)解：因?yàn)橐訽L平面ABC。，所以勿_LC￡>,又因?yàn)镃Z)_LA￡>,PAQAD=A,

所以C￡>_L平面布￡>,即平面PCD_L平面%。，交線為PD,

1_V5

所以以與平面PCD所成角為NAP。，sin^APD=店=于

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面是所成角的求法，考

查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

2.如圖，在長方體A8C￡>-AiBiCiDi中，AB=BC=2AAi，Oi是底面AiBiGOi的中心.

(I)求證：。4〃平面AS；

(II)求二面角Di-AC-D的平面角的余弦值.

【分析】(I)連接BQ交AC于點(diǎn)0,連接Di。，連接81Q”可得。iB〃O|O.即可證

明OiB〃平面ACDi.

(11)可得/。10。是二面角-AC-。的平面角.在直角三角形。中，求

的余弦值即可.

【解答】解：(I)證明：連接交AC于點(diǎn)0,連接。1。，連接BiCi，

由長方體的性質(zhì)知8O=Oi￡>i，且80〃01。1，

故四邊形801010是平行四邊形，

所以0\B//D\0.

又因?yàn)?。lOu平面ACCi，。|8仁平面AC。，

所以018〃平面ACDi.

(II)：設(shè)AB=BC=244i=2,由長方體底面A8CD是正方形，得。0_L4c.

因?yàn)?。IA=OIC,。是AC的中點(diǎn)，所以。iO_LAC,

所以是二面角Di-AC-D的平面角.

在直角三角形OiOO中，/。1。0=90°,OiO=AAi=l,。0=寺。8=VL所以必。=V3,

得COSNDI。。=措4=*，

U-yUJ

V6

所以二面角。1-AC-。的平面角的余弦值為三.

B

【點(diǎn)評】本題考查了空間線面平行的判定，考查了二面角，考查了空間想象能力，屬于

中檔題.

3.如圖，在四面體ABC。中，△4BC是直角三角形，且有4B=AC,ZXAC。為正三角形,

且有CD±AB.

(1)證明：平面ACC_L平面ABC；

(2)延長3。到點(diǎn)E,使用得Vc-AED=VCA8D，求二面角A-EC-3的余弦值.

【分析】(1)△ABC是直角三角形，且有A8=4C,可得A8J_AC.又C￡>_LAB,利用線

面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明結(jié)論.

(2)不妨取AB=2.利用VCAED=VCABD，可得點(diǎn)。為線段BE的中點(diǎn)，設(shè)平面ACE

的法向量為般=(x,z),利用？=?i，CE=0,可得：n.同理可得：平面8CE的

法向量藐，利用向量夾角公式即可得出.

【解答】(1)證明：；△ABC是直角三角形，且有AB=AC,...ABLAC.

又C￡>_LAB,ACQCD=C.

平面ACO,

又ABu平面ABC,

.?.平面AC。_L平面ABC.

(2)解：不妨取AB=2.?."C-AED=VC-ABD，.,.點(diǎn)。為線段BE的中點(diǎn).

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,1,V3),E(-2,2,2遍)，

AC=(0,2,0),CE=(-2,0,2V3),CB=(2,-2,0),

設(shè)平面ACE的法向量為￡=(x,y,z),則〉信1=/&=(),

可得：2y=0,-2x+2V3z=0,

取1=(V3,0,1),

同理可得：平面BCE的法向量六=