選擇性必修二《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)（基礎(chǔ)篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時，由到時，等式左邊應(yīng)添加的項是（）A． B．C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)驗證的不等式是（）A． B．C． D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，當(dāng)時，左邊等于（）A．1 B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明，成立.那么，“當(dāng)時，命題成立”是“對時，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要6．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，從到，不等式左邊需添加的項是（）A． B．C． D．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了A中的一項，但又減少了另一項D．增加了B中的兩項，但又減少了另一項8．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）時等式成立（）A． B． C． D．9．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為奇數(shù)時，能被整除”，在證明正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）．A．假設(shè)時命題成立B．假設(shè)時命題成立C．假設(shè)時命題成立D．假設(shè)時命題成立10．在用數(shù)學(xué)歸納法求證：的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）．A． B． C． D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時，第一步要證明的結(jié)論是________.12．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時，表達(dá)式為，則當(dāng)時，表達(dá)式為_______.13．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)驗證的等式是________．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第一步應(yīng)驗證的等式是__________；從“”到“”左邊需增加的等式是_________.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“對任意奇數(shù)n，命題成立”時，第二步論證應(yīng)該是假設(shè)______命題成立，再證______時，命題也成立.16．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，第一步的驗證為________________________；若已假設(shè)（且為偶數(shù)）時等式成立，則還需要用歸納假設(shè)證________時等式成立.17．在數(shù)列中，a1=1，，則a3=______，an=_______.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？19．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)能被9整除．20．已知數(shù)列滿足，.（1）求、；（2）猜想數(shù)列通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，并且滿足．猜想的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．22．在數(shù)列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）歸納出數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納出的結(jié)論．答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時，由到時，等式左邊應(yīng)添加的項是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為要證明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由到時，等式左邊增加了，故選C.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)驗證的不等式是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，∴所取的第一個正整數(shù)為2，又，故第一步應(yīng)驗證．故選：B3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，當(dāng)時，左邊等于（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗證時，令代入左邊的代數(shù)式，得到左邊.故選：C4．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，等式左端，當(dāng)時，等式左端，增加了項．故選：C．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明，成立.那么，“當(dāng)時，命題成立”是“對時，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“當(dāng)時，命題成立”不能推出“對時，命題成立”，“對時，命題成立”可以推出“當(dāng)時，命題成立”，所以“當(dāng)時，命題成立”是“對時，命題成立”的必要不充分/故選：B6．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，從到，不等式左邊需添加的項是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，所假設(shè)的不等式為，當(dāng)時，要證明的不等式為，故需添加的項為：，故選：B.7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了A中的一項，但又減少了另一項D．增加了B中的兩項，但又減少了另一項【答案】D【解析】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，所以，由遞推到時，不等式左邊增加了，；減少了；故選D8．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）時等式成立（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，所以還需要證明n=k+2成立.、故選B.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為奇數(shù)時，能被整除”，在證明正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）．A．假設(shè)時命題成立B．假設(shè)時命題成立C．假設(shè)時命題成立D．假設(shè)時命題成立【答案】D【解析】此題所成立的數(shù)是所有的正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟要求，第二步所取的值的范圍應(yīng)從開始取值所有奇數(shù)，即．故選：D．10．在用數(shù)學(xué)歸納法求證：的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，則.故選：D.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時，第一步要證明的結(jié)論是________.【答案】【解析】因為n≥2，所以第一步要證的是當(dāng)n=2時結(jié)論成立，即1+.故答案為：12．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時，表達(dá)式為，則當(dāng)時，表達(dá)式為_______.【答案】【解析】當(dāng)時，表達(dá)式左側(cè)為：，表達(dá)式右側(cè)為：，則當(dāng)時，表達(dá)式為.故答案為：.13．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)驗證的等式是________．【答案】【解析】由題知等式的左邊有項，右邊有項，且，因此第一步應(yīng)驗證時的等式，此時左邊，右邊，故答案為：．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第一步應(yīng)驗證的等式是__________；從“”到“”左邊需增加的等式是_________.【答案】【解析】當(dāng)時，應(yīng)當(dāng)驗證的第一個式子是，從“”到“”左邊需增加的式子是15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“對任意奇數(shù)n，命題成立”時，第二步論證應(yīng)該是假設(shè)______命題成立，再證______時，命題也成立.【答案】【解析】依題意用數(shù)學(xué)歸納法證明：“對任意奇數(shù)n，命題成立”，由于為奇數(shù)，所以第二步論證應(yīng)該是假設(shè)命題成立，再證時命題也成立.故答案為：；16．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，第一步的驗證為________________________；若已假設(shè)（且為偶數(shù)）時等式成立，則還需要用歸納假設(shè)證________時等式成立.【答案】當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；【解析】對在為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納基礎(chǔ)，因為為正偶數(shù)，則基礎(chǔ)，當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；歸納假設(shè)，當(dāng)（且為偶數(shù)）時，成立由于是所有正偶數(shù)，則歸納推廣，應(yīng)到下一個數(shù)為時，等式成立故答案為：(1).當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；(2).17．在數(shù)列中，a1=1，，則a3=______，an=_______.【答案】【解析】第一空：因為，，所以，；第二空：由第一空可知：，所以可得，因為，，，，所以猜想，數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時，顯然；（2）假設(shè)當(dāng)時成立，即，當(dāng)時，綜合（1）（2），所以，故答案為：；三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？【答案】；【解析】時，左邊為，時，變?yōu)?，故由到的變化過程中，左邊增加的都分是；時，右邊為，時，變?yōu)?，右邊增加的部分?故答案為：；.19．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)能被9整除．【答案】見解析【解析】證明：（1）當(dāng)時，，能被9整除，故當(dāng)時，能被9整除．（2）假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即能被9整除，則當(dāng)時，也能被9整除.綜合(1)(2)可得,對任意正整數(shù)能被9整除．20．已知數(shù)列滿足，.（1）求、；（2）猜想數(shù)列通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.【答案】（1），；（2）,證明見解析.【解析】（1），；（2）猜想數(shù)列通項公式，證明如下：當(dāng)時，，，所以成立；假設(shè)時成立，即，當(dāng)時，，∴時，成立，綜上，由①②得：.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，并且滿足．猜想的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．【答案】【解析】（1）解：分別令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，當(dāng)時②①-②得，即當(dāng)時∵，∴，（ii）假設(shè)當(dāng)時，，那么當(dāng)時，,∵，∴，∴，即當(dāng)時也成立．∴，顯然時，也成立，故對于一切，均有．22．在數(shù)列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）歸納出數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納出的結(jié)論．【答案】（1），，；（2）．【解析】（1）由a1=1且知：，，（2）猜想數(shù)列的通項公式為，證明如下：（i）當(dāng)n=1時，左邊=，右邊=左邊=右邊即猜想成立；（ii）假設(shè)當(dāng)n=時，猜想成立，即有那么當(dāng)n=時，從而猜想對n=也成立；由（i）（ii）可知，猜想對任意的都成立，所以數(shù)列的通項公式為《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)（提高練）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知，則（）A．中共有項，當(dāng)n=2時，B．中共有項，當(dāng)n=2時，C．中共有項，當(dāng)n=2時，D．中共有項，當(dāng)n=2時，2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時等式成立B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立D．n=2(k+2)時等式成立3．平面內(nèi)有個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都無公共點，用表示這個圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)?。ǎ〢．B．C．D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項B．增加兩項、C．增加，且減少一項D．增加、，且減少一項6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由的假設(shè)證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為（）A．B．C．D．7．已知，證明不等式時，比多的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．以上都不對8．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．項9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被9整除”，在假設(shè)時命題成立之后，需證明時命題也成立，這時除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項（）能被9整除.A．B．C．D．10．?dāng)?shù)列滿足：，，數(shù)列前項和為，則以下說法正確個數(shù)是（）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．4二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，_________．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時，從到添加的項數(shù)共有__________________項（填多少項即可）．13．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則___________.14．在證明是的倍數(shù)時，時驗證的表達(dá)式是_______；到增加的表達(dá)式是______________．15．若，用數(shù)學(xué)歸納法驗證關(guān)于的命題時，第一步計算________；第二步“從到時”，________．16．探索表達(dá)式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的結(jié)果時,第一步當(dāng)n=____時,A=____.17．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的自然數(shù)都成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)取________________；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，在驗證成立時，左邊應(yīng)該是________________．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數(shù)列的通項公式為，求證：對任意的，不等式都成立．19．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第個等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個等式成立．20．設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計算，.猜想的通項公式并利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）記，求數(shù)列的前n項和.21．已知正項數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，求證：．22．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時，若存在，，使得，求實數(shù)c的取值范圍；（2）若二次函數(shù)對一切恒有成立，且，求)的值；（3）是否存在一個二次函數(shù)，使得對任意正整數(shù)k，當(dāng)時，都有成立，請給出結(jié)論，并加以證明.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知，則（）A．中共有項，當(dāng)n=2時，B．中共有項，當(dāng)n=2時，C．中共有項，當(dāng)n=2時，D．中共有項，當(dāng)n=2時，【答案】C【解析】中共有項，當(dāng)n=2時，.故選：C2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時等式成立B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立D．n=2(k+2)時等式成立【答案】B【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)為偶數(shù)）時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證下一個偶數(shù)，即時等式成立，不是，因為是偶數(shù)，是奇數(shù)，故選：．3．平面內(nèi)有個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都無公共點，用表示這個圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意得，由個圓增加到個圓，增加了個交點，這個交點將新增的圓分成段弧，而每一段弧都將原來的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了塊區(qū)域，因此．故選：B．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)取（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗證當(dāng)取第一個值時命題成立，結(jié)合本題，當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，成立.因此當(dāng)時，命題成立．所以第一步證明中的起始值應(yīng)?。蔬x：D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項B．增加兩項、C．增加，且減少一項D．增加、，且減少一項【答案】D【解析】由數(shù)學(xué)歸納法知：若時，不等式成立，則有：成立，那么時，有：，∴，綜上知：不等式左邊需要增加、，且減少一項故選：D6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由的假設(shè)證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，所以左邊增加分母是連續(xù)的正整數(shù)，所以共增加了項，所以的假設(shè)證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為，故選：C7．已知，證明不等式時，比多的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．以上都不對【答案】C【解析】因為，，所以，所以比多的項數(shù)是.故選：C.8．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．項【答案】D【解析】當(dāng)時，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項；當(dāng)時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數(shù)是項.故選D9.用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被9整除”，在假設(shè)時命題成立之后，需證明時命題也成立，這時除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項（）能被9整除.A．B．C．D．【答案】B【解析】假設(shè)時命題成立，即能被9整除，當(dāng)時，能被9整除要證上式能被9整除，還需證明也能被9整除故選：10．?dāng)?shù)列滿足：，，數(shù)列前項和為，則以下說法正確個數(shù)是（）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】在①中，用數(shù)學(xué)歸納法求證：當(dāng)時，，成立，假設(shè)，則一方面，另一方面由于時，，∴，∴，故①正確；在②中，由于當(dāng)時，令，則，由于時，，故，在單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，則，∴，故②正確；在③中，由于，∴，∴，∴，∴，故③正確；在④中，，，故④正確.故選：.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，_________．【答案】【解析】因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．故答案為：．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時，從到添加的項數(shù)共有_________項（填多少項即可）．【答案】5【解析】當(dāng)時，原式為：，當(dāng)時，原式為，比較后可知多了，共5項.故答案為：513．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則___________.【答案】【解析】因為當(dāng)時，有，因此由，可得，化簡得：，因為,所以，，由此猜想數(shù)列的通項公式為：，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時成立，即，當(dāng)時，，綜上所述：.故答案為：14．在證明是的倍數(shù)時，時驗證的表達(dá)式是_______；到增加的表達(dá)式是______________．【答案】【解析】當(dāng)時，原式，當(dāng)時，原式，當(dāng)時，原式.則從到增加的表達(dá)式是.故答案為：；.15．若，用數(shù)學(xué)歸納法驗證關(guān)于的命題時，第一步計算______；第二步“從到時”，_____．【答案】【解析】，；，故答案為：；.16．探索表達(dá)式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的結(jié)果時,第一步當(dāng)n=____時,A=____.【答案】21【解析】∵n>1,且n∈N*∴n=2,時，A=(2-1)(2-1)!=1故答案為2,117．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的自然數(shù)都成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)取________________；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，在驗證成立時，左邊應(yīng)該是________________．【答案】5【解析】（1）由于時，；時，；時，；時，；時，，所以當(dāng)時，成立．故第一步證明中的起始值應(yīng)取5．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明“()”時，在驗證成立時，將代入，左邊以1即開始、以結(jié)束，所以左邊應(yīng)該是．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數(shù)列的通項公式為，求證：對任意的，不等式都成立．【答案】證明見解析.【解析】由，得，所以,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，證明如下：①當(dāng)時，左邊，右邊，因為，所以不等式成立．②假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即成立，則當(dāng)時，左邊,,右邊．所以當(dāng)時，不等式也成立．由①②可得不等式對任意的都成立，即原不等式成立．19．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第個等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個等式成立．【答案】（1）；，；（2）證明見解析.【解析】（1）第5個等式為．第個等式為，．（2）證明：①當(dāng)時，等式左邊，等式右邊，所以等式成立．②假設(shè)時，命題成立，即，則當(dāng)時，，即時等式成立．根據(jù)①和②，可知對任意等式都成立．20．設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計算，.猜想的通項公式并利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）記，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），，；證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；（2）因為.∴，①，②①-②得：.∴.21．已知正項數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，，，，從而猜想．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時，有，猜想成立；②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，猜想也成立．由①②可知，對任意都成立．∴數(shù)列的通項公式為，．（2）證明：，由基本不等式可得，所以，所以．22．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時，若存在，，使得，求實數(shù)c的取值范圍；（2）若二次函數(shù)對一切恒有成立，且，求)的值；（3）是否存在一個二次函數(shù)，使得對任意正整數(shù)k，當(dāng)時，都有成立，請給出結(jié)論，并加以證明.【答案】（1）；（2）；（3）存在，；證明見解析.【解析】（1）當(dāng)，時，由題意可知，在，上有兩個不等實根，或在，上有兩個不等實根，則或，解得或即實數(shù)的取值范圍是或．（2）二次函數(shù)對一切恒有成立，可得，解得，（1），函數(shù)的對稱軸為，設(shè)函數(shù)，由（1），（5），可得，，解得，，，．（3）存在符合條件的二次函數(shù)．設(shè)，則當(dāng)，2，3時有：（5）①；②；③．聯(lián)立①、②、③，解得，，．于是，．下面證明二次函數(shù)符合條件．因為，同理：；，所求的二次函數(shù)符合條件．《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步檢測試卷一、單選題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)證明（）A．B．C．D．2．某個命題與自然數(shù)有關(guān)，若時命題成立，那么可推得當(dāng)時該命題也成立，現(xiàn)已知時，該命題不成立，那么可以推得A．時該命題不成立B．時該命題成立C．時該命題不成立D．時該命題成立3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了A中的一項，但又減少了另一項D．增加了B中的兩項，但又減少了另一項4．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．項5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗證是否成立時，左邊應(yīng)該是()A．B．C．D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A．B．C．D．7.對于不等式<n+1(n∈N*),某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n=1時,<1+1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,不等式成立,即<k+1.那么當(dāng)n=k+1時,=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知對于任何n∈N*,不等式均成立.則上述證法（）A．過程全部正確B．n=1驗得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n=k到n=k+1的證明過程不正確8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時不等式左邊（）A．增加了B．增加了C．增加了，但減少了D．以上各種情況均不對9．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由“”等式兩邊需同乘一個代數(shù)式，它是（）A．B．C．D．10．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n等于()A．1B．2C．3D．011．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”時，從””變到“”時，左邊應(yīng)增加的因式是（）A．B．C．D．12．已知,存在自然數(shù),使得對任意,都能使整除,則最大的的值為()A．30B．9C．36D．6二、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明且，第一步要證的不等式是_________．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是______.15．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時從“”變到“”時，左邊應(yīng)增加的項是______________.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)時，能被31整除”時，從到時需添加的項是______.三、解答題17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．18．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（1）求，，，并猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．19．已知數(shù)列，，，…，，…，（1）計算；（2）由以上結(jié)果推測計算的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.20．已知數(shù)列滿足，．（1）計算，，的值，并猜想數(shù)列通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．21．已知數(shù)列，首項，前項和足.（1）求出，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.22．已知是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,．設(shè)是數(shù)列的前項和．(1)求；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：．答案解析一、單選題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步應(yīng)證明（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的初始值應(yīng)為1，而.故選D2．某個命題與自然數(shù)有關(guān)，若時命題成立，那么可推得當(dāng)時該命題也成立，現(xiàn)已知時，該命題不成立，那么可以推得A．時該命題不成立B．時該命題成立C．時該命題不成立D．時該命題成立【答案】C【解析】假設(shè)時該命題成立，由題意可得時，該命題成立，而時，該命題不成立，所以時，該命題不成立.而時，該命題不成立，不能推得該命題是否成立．故選C．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了A中的一項，但又減少了另一項D．增加了B中的兩項，但又減少了另一項【答案】D【解析】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，所以，由遞推到時，不等式左邊增加了，；減少了；故選：D4．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．項【答案】D【解析】當(dāng)時，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項；當(dāng)時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數(shù)是項.故選D5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗證是否成立時，左邊應(yīng)該是()A．B．C．D．【答案】C【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗證時，把代入，左邊.故選：C.6．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)n=k時，等式左端=1+2+…+k2，當(dāng)n=k+1時，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了項（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故選：C．7.對于不等式<n+1(n∈N*),某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n=1時,<1+1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,不等式成立,即<k+1.那么當(dāng)n=k+1時,=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知對于任何n∈N*,不等式均成立.則上述證法（）A．過程全部正確B．n=1驗得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n=k到n=k+1的證明過程不正確【答案】D【解析】題目中當(dāng)n=k+1時不等式的證明沒有用到n=k時的不等式，正確的證明過程如下：在（2）中假設(shè)時有成立，即成立，即時成立，故選D．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時不等式左邊（）A．增加了B．增加了C．增加了，但減少了D．以上各種情況均不對【答案】C【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故增加了，但減少了.故選：.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由“”等式兩邊需同乘一個代數(shù)式，它是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意有，假設(shè)時，成立，則當(dāng)時，左邊右邊∴由數(shù)學(xué)歸納法可知上式成立∴顯然等式兩邊需同乘故選：D.10．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n等于()A．1B．2C．3D．0【答案】C【解析】因為多邊形的邊數(shù)最少是，即三角形，在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為條時，第一步驗證等于，故選C.11．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”時，從””變到“”時，左邊應(yīng)增加的因式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意“”時，左邊為，“”時，左邊為，從而可得增加兩項為，且減少項為，故選D.12．已知,存在自然數(shù),使得對任意,都能使整除,則最大的的值為()A．30B．9C．36D．6【答案】C【解析】由，得，，，，由此猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)時，顯然成立。(2)假設(shè)時，能被36整除，即能被36整除；當(dāng)時