選擇性必修二《4.2等差數(shù)列》同步練習一、單選題1．記等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B．3 C． D．2．數(shù)列為非常數(shù)列，滿足：，且對任何的正整數(shù)都成立，則的值為（）A．1475 B．1425 C．1325 D．12753．設數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項和為，且（且）.若表示不超過x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項和為，則（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20224．已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A． B．13 C．-13 D．-185．在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項的和是（）．A． B． C． D．6．設等差數(shù)列滿足：，且公差.若當且僅當時，數(shù)列的前項和取得最大值，則首項的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題7．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．設正項等差數(shù)列滿足，則（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為9．設等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，則下列結(jié)論正確的是（）A．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列B．S5＝60C．D．S1，S2，…，S12中最大的是S6三、填空題10．稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由一個苯環(huán)和一個芘分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物，長期食用會致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：名稱萘蒽并四苯…并n苯結(jié)構(gòu)簡式……分子式……由此推斷并十苯的分子式為________.11．數(shù)列{an}，{bn}滿足bn＝an＋1＋(－1)nan(n∈N*)，且數(shù)列{bn}的前n項和為n2，已知數(shù)列{an－n}的前2018項和為1，那么數(shù)列{an}的首項a1＝________.12．已知等差數(shù)列的前n項和，且滿足，（且），若（），則實數(shù)t的取值范圍是______.四、解答題13．在①，②，③三個條件中任選兩個，補充到下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列的前項和為，滿足：，.（1）求的最小值；（2）設數(shù)列的前項和，證明：.14．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）求數(shù)列的前項和；（3）若，如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.15．已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)的值．（3）設，為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得對任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．16．設等差數(shù)列的首項為0，公差為a，；等差數(shù)列的首項為0，公差為b，.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M，與數(shù)表；記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設，，請計算，，；（2）設，，試求，的表達式（用i，j表示），并證明：對于整數(shù)t，若t不屬于數(shù)表M，則t屬于數(shù)表；（3）設，，對于整數(shù)t，t不屬于數(shù)表M，求t的最大值.答案解析一、單選題1．記等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式列式，即可得，再將、用通項表示出來，即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以，故選：C【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，屬于基礎題.2．數(shù)列為非常數(shù)列，滿足：，且對任何的正整數(shù)都成立，則的值為（）A．1475 B．1425 C．1325 D．1275【答案】B【解析】因為，所以，即，所以,疊加得,，,即從第三項起成等差數(shù)列，設公差為，因為，所以解得，即，所以，滿足，，選B.3．設數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項和為，且（且）.若表示不超過x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項和為，則（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式，可知從第2項起是等差數(shù)列，可得，再根據(jù)累加法，可得，由此可得當時，，又，由此即可求出.【詳解】當時，，，，，從第2項起是等差數(shù)列.又，，，，，當時，，（），當時，.又，.故選：C.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的概念，以及累加法在求通項公式中的應用，屬于中檔題.4．已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A． B．13 C．-13 D．-18【答案】D【分析】通過等差數(shù)列的性質(zhì)，可得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列，設，即可得出結(jié)果.【詳解】由，可設∵為等差數(shù)列，∴S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列，即a，6a，成等差數(shù)列，∴，即∴故選:D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了運算求解能力，屬于基礎題目.5．在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項的和是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：利用等差數(shù)列的下標性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得結(jié)果.詳解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，代入已知可得，即，故數(shù)列的前項之和．故選．點睛：等差數(shù)列的常用性質(zhì)有：(1)通項公式的推廣：(2)若為等差數(shù)列，且；(3)若是等差數(shù)列，公差為，，則是公差的等差數(shù)列；(4)數(shù)列也是等差數(shù)列.6．設等差數(shù)列滿足：，且公差.若當且僅當時，數(shù)列的前項和取得最大值，則首項的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，即，即，即，即，即，∵，∴，∴．∵，∴，則．由，對稱軸方程為，由題意當且僅當時，數(shù)列的前項和取得最大值，∴，解得：．∴首項的取值范圍是，故選D．【點晴】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了三角函數(shù)的有關(guān)公式，考查了等差數(shù)列的前項和，訓練了二次函數(shù)取得最值得條件，考查了計算能力．二、多選題7．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式得出，進而可得出為的正約數(shù)，由此可得出正整數(shù)的可能取值.【詳解】由題意可得，則，由于為整數(shù)，則為的正約數(shù)，則的可能取值有、、，因此，正整數(shù)的可能取值有、、.故選：ACD.【點睛】本題考查兩個等差數(shù)列前項和比值的計算，涉及數(shù)的整除性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于中等題.8．設正項等差數(shù)列滿足，則（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得的關(guān)系式，由此結(jié)合基本不等式，判斷出正確選項.【詳解】因為正項等差數(shù)列滿足，所以，即.①，當且僅當時成立，故A選項正確.②由于，所以，當且僅當時成立，故B選項正確.③，當且僅當時成立，所以的最小值為，故C選項錯誤.④結(jié)合①的結(jié)論，有，當且僅當時成立，故D選項正確.故選：ABD【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.9．設等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，則下列結(jié)論正確的是（）A．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列B．S5＝60C．D．S1，S2，…，S12中最大的是S6【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式可得a7＜0，a6＞0，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和求和公式依次判斷即得解.【詳解】依題意，有S12＝12a1?d＞0，S13＝13a1?d＜0，化為：2a1+11d＞0，a1+6d＜0，即a6+a7＞0，a7＜0，∴a6＞0．由a3＝12，得a1＝12﹣2d，聯(lián)立解得d＜﹣3．等差數(shù)列{an}是單調(diào)遞減的．S1，S2，…，S12中最大的是S6．S55a3＝60．綜上可得：BCD正確．故選：BCD【點睛】本題考查了等差數(shù)列綜合，考查了等差數(shù)列通項、求和公式和性質(zhì)，考查了學生概念理解，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.三、填空題10．稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由一個苯環(huán)和一個芘分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物，長期食用會致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：名稱萘蒽并四苯…并n苯結(jié)構(gòu)簡式……分子式……由此推斷并十苯的分子式為________.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可以判斷出稠環(huán)芳香烴的分子式中、的下標分別成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【詳解】因為稠環(huán)芳香烴的分子式中下標分別是：，的下標分別是：所以稠環(huán)芳香烴的分子式中下標成等差數(shù)列，首項為，公差為4，所以通項公式為：，稠環(huán)芳香烴的分子式中下標成等差數(shù)列，首項為，公差為2，所以通項公式為：，所以并n苯的分子式為：，因此當時，得到并十苯的分子式為：.故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的定義，考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，考查了數(shù)學運算能力和推理論證能力.11．數(shù)列{an}，{bn}滿足bn＝an＋1＋(－1)nan(n∈N*)，且數(shù)列{bn}的前n項和為n2，已知數(shù)列{an－n}的前2018項和為1，那么數(shù)列{an}的首項a1＝________.【答案】【分析】先根據(jù)數(shù)列{bn}的前n項和為n2，可求得，再分n為奇數(shù)，得，分n為偶數(shù)，得,將的前2018項和化為代入已知條件可得值.【詳解】數(shù)列{bn}的前n項和為n2，所以也符合，故，故，設的前n項和為.若n為奇數(shù)，則，解得,若n為偶數(shù)，則，解得,×.又，所以，得.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系，以及數(shù)列分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分別反應規(guī)律的相關(guān)問題，解決的關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)律構(gòu)造出所需的式子，屬于中檔題.12．已知等差數(shù)列的前n項和，且滿足，（且），若（），則實數(shù)t的取值范圍是______.【答案】【分析】先利用已知條件解得，再利用等差數(shù)列公式構(gòu)建關(guān)系，得到之間的關(guān)系，解得參數(shù)，再計算t的取值范圍即可.【詳解】當時，①②設，因為，所以①②得，又因為，故，或，若時，由知，則，，與已知矛盾，因此不符合題意，舍去，，得，又.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前前n項和公式的綜合應用，屬于難題.四、解答題13．在①，②，③三個條件中任選兩個，補充到下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列的前項和為，滿足：，.（1）求的最小值；（2）設數(shù)列的前項和，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）選擇②③、①②、①③條件中的一組，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及條件，求得的通項公式，利用通項公式的單調(diào)性，結(jié)合題意，即可求得的最小值；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，利用裂項相消求和法，化簡整理，即可得證.【詳解】（1）若選擇②③；由題知：，又因為，解得所以，解得，所以，所以，所以；若選擇①②；由題知：，又因為，解得，所以，解得，所以，所以，所以；若選擇①③；由題知：，所以，由題知：，所以聯(lián)立解得：，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式基本量的求法、數(shù)列單調(diào)性的應用、裂項相消法求數(shù)列的和，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.14．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）求數(shù)列的前項和；（3）若，如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）（3）【分析】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為,由已知建立方程組,解之可得首項和公差，從而得出數(shù)列的通項和前n項和；（2）分當時和當時，分別求和可得數(shù)列的前項和；（3）由（1）得，作差得，討論n可得出的最大值，再由恒等式思想，建立關(guān)于t的不等式，可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，由已知可得得,所以，，；（2）當時，，∴，當時，，∴；（3），則由，①當時，，②當時，.③當時，，所以，所以數(shù)列的最大值為，又因為恒成立，所以，所以或.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，絕對值項的求和，以及不等式的恒成立問題，關(guān)鍵在于得出數(shù)列的單調(diào)性，得出數(shù)列的最大項，屬于難度題.15．已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)的值．（3）設，為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得對任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，的最小值為．【分析】（1）由解得，，得到數(shù)列滿足，，列出方程組，求得，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，所以，求得的值，又由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，求得，即可得到結(jié)論；（3）由題可得，利用裂項相消法可得，即，即可得到答案．【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，，所以，又，所以，是方程的兩個根，由解得，，設等差數(shù)列的公差為，由題意可得，所以，所以，，所以，解得，所以，故數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，，所以，所以，，，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，即，解得（舍去），當時，，易知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足題意．故非零常數(shù)的值為．（3）由題可得，利用裂項相消法可得，故，所以存在正整數(shù)，使得對任意的均成立，的最小值為．【點睛】（1）常見的求數(shù)列通項的方法：①公式法：當已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時；②疊加法：當已知數(shù)列滿足，且可求時；③累乘法：當已知數(shù)列滿足，且可求時；④由求數(shù)列通項，當已知條件給出關(guān)于n的代數(shù)式時．（2）常見的數(shù)列求和方法：①公式法：當已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時；②錯位相減法：當已知數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；③分組求和法：當已知數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；④裂項相消法：當已知數(shù)列滿足時.（3）數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形．16．設等差數(shù)列的首項為0，公差為a，；等差數(shù)列的首項為0，公差為b，.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M，與數(shù)表；記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設，，請計算，，；（2）設，，試求，的表達式（用i，j表示），并證明：對于整數(shù)t，若t不屬于數(shù)表M，則t屬于數(shù)表；（3）設，，對于整數(shù)t，