人教2019A版選擇性必修第三冊第六章

計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例能歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理;2.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.3.能利用兩個(gè)原理解決一些簡單的實(shí)際問題.計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法，但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個(gè)簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.導(dǎo)語問題1.

用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

問題與思考因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.探究與發(fā)現(xiàn)問題2.你能說說這個(gè)問題的特征嗎？上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；（2）分別計(jì)算各類號碼的個(gè)數(shù)；（3）各類號碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號碼的個(gè)數(shù).

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有兩類辦法.在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有:N=m+n種不同的方法.

概念解析典例解析例1.在填寫高考志愿時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表，如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)分析:要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.

解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇

方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9.利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;(2)計(jì)數(shù):求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.歸納總結(jié)問題3.如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，在第三類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)該如何計(jì)數(shù)呢？

分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.探究與發(fā)現(xiàn)跟蹤訓(xùn)練問題4.

用前6個(gè)大寫的英文字母和1~9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A1，…A9，B1，B2，…的方式給教室里的一個(gè)座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

問題與思考

方法二：由于6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與6個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號碼，而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號碼.

解：方法一：解決計(jì)數(shù)問題可以用“樹狀圖”列舉出來探究與發(fā)現(xiàn)問題5.你能說說這個(gè)問題的特征嗎？上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）由問題條件中的“和”，可確定完成編號要分兩步；（2）分別計(jì)算各步號碼的個(gè)數(shù)；（3）將各步號碼的個(gè)數(shù)相乘，得出所有號碼的個(gè)數(shù).

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

典例解析例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？

解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同方法.分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步,選男生；第二步,選女生.問題6.如果完成一件事有三個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?

N＝m1×m2×m3

探究與發(fā)現(xiàn)如果完成一件事需要有n個(gè)步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?

如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)如何計(jì)算？分步乘法計(jì)數(shù)原理一般結(jié)論：概念解析N＝m1×m2×…×mn例3.書架上第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法?解：（1）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得：N＝4＋3+2＝9；（2）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：N＝4×3×2＝24；

典例解析（3）需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類：從一、三層各取一本,有4×2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本,有3×2=6種方法；根據(jù)兩個(gè)基本原理，不同的取法總數(shù)是N=4×3+4×2+3×2=26答:從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練當(dāng)堂達(dá)標(biāo)3.4張卡片的正、反面分別標(biāo)有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成

個(gè)不同的三位數(shù).

解析:分三個(gè)步驟:第一步:百位可放8-1=7個(gè)數(shù);第二步:十位可放6個(gè)數(shù);第三步:個(gè)位可放4個(gè)數(shù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成N=7×6×4=168個(gè)不同的三位數(shù).答案:168跟蹤訓(xùn)練4.如圖所示的電路圖,從A到B共有

條不同的線路可通電.

解析:先分三類.第一類,經(jīng)過支路①有3種方法;第二類,經(jīng)過支路②有1種方法;第三類,經(jīng)過支路③有2×2=4種方法,所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8.答案:85.如圖,一只螞蟻沿著長方體的棱,從頂點(diǎn)A爬到相對頂點(diǎn)C1,求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條?解:從總體上看有三類方法,分別經(jīng)過AB,AD,AA1.從局部上看每一類又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過AB,有m1=1×2=2條;第二類:經(jīng)過AD,有m2=1×2=2條;第三類:經(jīng)過AA1,有m3=1×2=2條.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1經(jīng)過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.解:由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.方法一:分兩類.第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法,從會日語的3人中選1人有3種選法.此時(shí)共有6×3=18(種)選法.第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會日語的2人中選1人有2種選法,此時(shí)有1×2=2(種)選法.所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有18+2=20(種)選法.6.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不同的選法?方法二:設(shè)既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后又分兩種情況:(1)教英語;(2)教日語.第一類:甲入選.(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有1×2=2(種)選法;(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有1×6=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).第二類:甲不入選.可分兩步:第一步,從只會英語的6人中選1人有6種選法;第二步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有6×2=12(種)不同的選法.綜上,共有8+12=20(種)不同的選法.2.區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)

兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.課堂小結(jié)6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理《第一課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》導(dǎo)學(xué)案課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.通過兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究2017年3月3日政協(xié)十二屆第5次會議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟(jì)南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機(jī)，二是乘坐動車組，假如這天飛機(jī)有3個(gè)航班可乘，動車組有4個(gè)班次可乘．問題這個(gè)政協(xié)委員這一天從濟(jì)南到北京共有多少種快捷途徑可選？提示該政協(xié)委員共有3＋4＝7(種)快捷途徑可選．1．分類加法計(jì)數(shù)原理正確運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是明確分類的標(biāo)準(zhǔn)并做到不重不漏完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．m＋n2．分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________

種不同的方法．m×n拓展深化[微判斷]1．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． (

)

提示在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同的方案中，每一種方法都不相同．2．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事． (

)3．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(

)4．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成． (

)×√√√[微訓(xùn)練]1．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會，則不同的選法種數(shù)為(

) A．6 B．5 C．3 D．2

解析由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有3＋2＝5(種)不同的選法．

答案B2．一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩個(gè)袋子里各取一個(gè)球，共有__________種不同的取法．

解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×8＝48(種)不同的取法．

答案48[微思考]

用一個(gè)大寫的英文字母或0～9這10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的一個(gè)給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

提示

因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字0～9共有10個(gè)，所以總共可以編出26＋10＝36(種)不同的號碼.題型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為__________．解析法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．法二分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類：個(gè)位數(shù)字是9，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，8中的一個(gè)，故共有8個(gè)；個(gè)位數(shù)字是8，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，7中的一個(gè)，故共有7個(gè)；同理，個(gè)位數(shù)字是7的有6個(gè)；……個(gè)位數(shù)字是2的有1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．答案36【遷移1】

(變條件)若本例條件變?yōu)閭€(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個(gè)．

解當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9，只有1個(gè)．

當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個(gè)．

當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個(gè)．

同理可知，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè)，

當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共9個(gè)．

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個(gè)).【遷移2】

(變條件，變設(shè)問)用1，2，3這3個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)__________個(gè)．

解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個(gè)；

第二類為兩位整數(shù)，有12，21，23，32，13，31，共6個(gè)；

第三類為三位整數(shù)，有123，132，231，213，321，312，共6個(gè)， ∴由分類加法計(jì)數(shù)原理知共可組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)3＋6＋6＝15(個(gè))．

答案15規(guī)律方法利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程【訓(xùn)練1】滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為(

) A．14 B．13 C．12 D．10解析由關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，得a＝0，b∈R或a≠0時(shí)，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1時(shí)，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝0時(shí)，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝1時(shí)，b＝－1，0，1，有3種可能；若a＝2時(shí)，b＝－1，0，有2種可能．∴由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案B題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)P(x，y)的橫、縱坐標(biāo)均在{0，1，2，3}內(nèi)取值，則可以組成多少個(gè)不同的點(diǎn)P?

解確定點(diǎn)P的坐標(biāo)必須分兩步，即分步確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)．

第一步，確定橫坐標(biāo)，從0，1，2，3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，有4種方法；

第二步，確定縱坐標(biāo)，從0，1，2，3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，也有4種方法．

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所有不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4×4＝16.故可以組成16個(gè)不同的點(diǎn)P.規(guī)律方法應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問題：(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨(dú)用題目中所給的某種方法是不是能完成這件事，也就是說要經(jīng)過幾步才能完成這件事．(2)完成這件事要分若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步，這件事都不可能完成，即各步之間是關(guān)聯(lián)的，相互依存的，只有前步完成后步才能進(jìn)行．(3)根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，即分步要做到步驟完整．【訓(xùn)練2】用0，1，2，3，4，5，6這七個(gè)數(shù)字共能組成多少個(gè)兩位數(shù)？解第一步，確定十位數(shù)字，1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字都可以選擇，有6種方法；第二步，確定個(gè)位數(shù)字，0，1，2，3，4，5，6七個(gè)數(shù)字都可以選擇，有7種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的兩位數(shù)共有6×7＝42(個(gè))．故可以組成42個(gè)兩位數(shù)．題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用【例3】現(xiàn)有高一年級的四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法．所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．所以，共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法．所以，共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．規(guī)律方法(1)在處理具體的應(yīng)用題時(shí)，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么，選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事件，關(guān)鍵是看能否獨(dú)立完成這件事，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏．(2)對于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．【訓(xùn)練3】某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有多少種不同的選法？

解由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語．

法一分兩類．

第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，有6種選法，則說日語的有2＋1＝3(種)選法．此時(shí)共有6×3＝18(種)選法．

第二類：從不只會英語的1人中選1人說英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時(shí)有1×2＝2(種)選法．所以由分類加法計(jì)算原理知，共有18＋2＝20(種)選法．法二設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語．第一類：甲入選．(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1×2＝2(種)選法；(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1×6＝6(種)選法．故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種)．第二類：甲不入選．可分兩步．第一步，從只會英語的6人中選1人有6種選法：第二步，從只會日語的2人中選1人有2種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有6×2＝12(種)不同的選法．綜上，共有8＋12＝20(種)不同選法.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．應(yīng)用兩個(gè)原理時(shí)，要仔細(xì)區(qū)分原理的不同，分類加法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵在于分類，不同類之間互相排斥，互相獨(dú)立；分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵在于分步，各步之間互相依存，互相聯(lián)系．3．通過對這兩個(gè)原理的學(xué)習(xí)，要進(jìn)一步體會分類討論思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具從A地到B地的不同走法的種數(shù)為(

) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不對

解析分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法．

答案B2．現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人．若需1名老師和1名學(xué)生參加評選會議，則不同的選法種數(shù)為(

) A．39 B．24 C．15 D．16

解析先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學(xué)生中任選1名，有13種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×13＝39.

答案A3．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A．24 B．18 C．12 D．9解析由題意可知E→F共有6條最短路徑，F(xiàn)→G共有3條最短路徑，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×3＝18(條)最短路徑，故選B.答案B4．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有__________個(gè)．

解析第一步取b的數(shù)，有6種方法，第二步取a的數(shù)，也有6種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×6＝36(種)方法，即共組成36個(gè)虛數(shù)．

答案365．從－1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的各項(xiàng)的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有__________個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有__________個(gè)．

解析一個(gè)二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為3×3×2＝18.其中不同的偶函數(shù)的個(gè)數(shù)為3×2＝6.

答案18

6人教2019A版選擇性必修第三冊第六章

計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進(jìn)一步理解和掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2．能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題.2.區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)

兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.溫故知新典例解析例4.

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？

分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成.解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成:第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法，第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=3×2=6.分析：要完成一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個(gè)字符，還有首字符又可以分為兩類。典例解析典例解析例6.

電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.問：（1）一個(gè)字節(jié)(8位)最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼(GB碼)包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？

分析：（1）要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”.由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都是0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理來求解；（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可.例7.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行調(diào)試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)程序模塊由許多字模塊組成，如圖，這是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？

另外，為了減少測試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？典例解析

分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可有子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來完成，因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)技術(shù)原理.解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81=7371.在實(shí)際測試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個(gè)模塊，這樣，它可以先分別單獨(dú)測試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數(shù)為18+45+18+38+43=172.

再測試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個(gè)子模塊和第2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為3×2=6.

如果每個(gè)子模塊都正常功能，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作，正常這樣測試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178，顯然178與7371的差距是非常大的.1.使用兩個(gè)原理的原則使用兩個(gè)原理解題時(shí),一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計(jì)數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的四個(gè)步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.歸納總結(jié)

例8.通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，第二部分有阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號如圖，其中，序號的編碼規(guī)則為：

（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除

O,I之外的24個(gè)英文字母組成;

（2）最多只能有2個(gè)英文字母.

如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌？

典例解析分析：由號牌編號的組成可知，序號的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)，按程序編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號分為三類；沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母，以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個(gè)字母的序號，分為五個(gè)子類，將有2個(gè)字母的序號，分為十個(gè)子類.

解：有號牌編號的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個(gè)數(shù)，根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.（1）當(dāng)沒有字母時(shí)，序號的每一位都是數(shù)字，確定一個(gè)序號可分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為10×10×10×10×10=100000.

（2）當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個(gè)子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選一個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號牌張數(shù)為：24×10×10×10×10=240000.

同樣，其余四個(gè)子類號牌也各有240000張。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號牌張數(shù)，共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

（3）當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號中的位置，可將這類序號分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位，第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號牌張數(shù)為24×24×10×10×10=576000

同樣其余九個(gè)子類號牌也各有576000張

于是這類號牌張數(shù)一共為576000×10=5760000綜合（1）（2）（3）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為10000十1200000+5760000=7060000.解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象的數(shù)目不大時(shí),一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.(2)當(dāng)涉及對象的數(shù)目很大時(shí),一般有兩種方法:①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進(jìn)行;若是按對象特征抽取的,則按分類進(jìn)行.②間接法.去掉限制條件,計(jì)算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練.

7名學(xué)生中有3名學(xué)生會下象棋但不會下圍棋,有2名學(xué)生會下圍棋但不會下象棋,另2名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從中選出會下象棋和會下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?跟蹤訓(xùn)練解:第1類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N1=3×2=6(種).第2類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N2=3×2=6(種).第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N3=2×2=4(種).第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N4=2種.綜上,由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(種).解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有4×7=28(種)不同的配法.答案:B當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數(shù)為(

)A.11 B.28

C.16384 D.2401解析:從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類,①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;②取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有N=3+3=6(種)取法.答案:D2.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為(

)A.30 B.20 C.10 D.63.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè),已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有(

)A.50種 B.60種 C.80種 D.90種解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論:若甲選擇牛,此時(shí)乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時(shí)有2×10=20(種)不同的選法.若甲選擇馬或猴,此時(shí)甲的選擇有2種,乙的選擇有3種,丙的選擇有10種,此時(shí)有2×3×10=60(種)不同的選法.一共有20+60=80(種)不同的選法.故選C.答案:C解析:設(shè)四棱錐為P-ABCD.當(dāng)A,C顏色相同時(shí),先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B有2種方法,最后染D也有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有4×3×2×2=48(種)方法;當(dāng)A,C顏色不相同時(shí),先染P有4種方法,再染A有3種方法,然后染C有2種方法,最后染B,D都有1種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有4×3×2×1×1=24(種)方法.綜上,共有48+24=72(種)方法.故選B.答案:B4.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色,若只有4種顏色可供使用,則不同的染色方法共有(

)A.48種 B.72種

C.96種 D.108種解:由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會鋼琴又會小號(把該人記為甲),只會鋼琴的有6人,只會小號的有2人.把從中選出會鋼琴與會小號各1人的方法分為兩類.第1類,甲入選,另1人只需從其他8人中任選1人,故這類選法共8種;第2類,甲不入選,則會鋼琴的只能從6個(gè)只會鋼琴的人中選出,有6種不同的選法,會小號的也只能從只會小號的2人中選出,有2種不同的選法,所以這類選法共有6×2=12(種).因此共有8+12=20(種)不同的選法.5.某藝術(shù)小組有9人,每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器,其中7人會鋼琴,3人會小號,從中選出會鋼琴與會小號的各1人,有多少種不同的選法?課堂小結(jié)《第二課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).通過進(jìn)一步應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究青島是一座美麗的濱海城市，空氣良好，城市生活也很悠閑，海水清澈漂亮，能看到美麗的海岸線，青島的海鮮很便宜，海濱城市邊吃海鮮邊吹海風(fēng)很愜意，小新決定“五一”期間從棗莊乘火車到濟(jì)南辦事，再于次日從濟(jì)南乘汽車到青島旅游，一天中火車有3班，汽車有2班，他將如何安排行程？問題上述情境中，小新從棗莊到濟(jì)南共有多少種不同的走法？提示因?yàn)槌嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，所以從棗莊到青島需乘一次火車再接著乘1次汽車就可以了，因此共有3×2＝6(種)不同的走法．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)，要明確是需要分類還是需要分步，有時(shí)，可能既要分類又要分步

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整拓展深化[微判斷]1．分類計(jì)數(shù)是指將完成這件事的所有方式進(jìn)行分類，每一類都能獨(dú)立完成該

事件． (

)2.分步計(jì)數(shù)是指將完成這件事分解成若干步驟，當(dāng)完成所有的步驟時(shí)，這個(gè)事件才算完成． (

)3．當(dāng)一個(gè)事件既需要分步又需要分類時(shí)，分步和分類沒有先后之分．(

)

提示當(dāng)一個(gè)事件既需要分步又需要分類時(shí)，通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類，并且要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的程序問題．×√√[微訓(xùn)練]1．有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有(

) A．6種

B．5種

C．4種

D．3種

解析不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選派方法有2＋1＋1＝4(種)．

答案C2．某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有(

) A．24種

B．48種

C．64種

D．81種

解析由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人，故當(dāng)前面的學(xué)生選了某項(xiàng)之后，后面的學(xué)生不能再報(bào)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法．

答案A[微思考]

用前6個(gè)大寫英文字母和1～9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個(gè)不同的號碼？

由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9＝54(個(gè))不同的號碼.提示編寫一個(gè)號碼要先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，我們可以用樹形圖列出所有可能的號碼．如圖：題型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用【例1】用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字， (1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號碼？ (2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？ (3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)，即可以排成125個(gè)三位數(shù)字的電話號碼．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個(gè)三位數(shù)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．【遷移】(變設(shè)問)由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1，3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個(gè)剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個(gè))．規(guī)律方法對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．【訓(xùn)練1】從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(

) A．24 B．18 C．12 D．6

解析由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況．故選B.

答案B題型二分配問題【例2】高三年級的四個(gè)班到甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有(

) A．360種

B．420種 C．369種

D．396種解析法一

(直接法)以甲工廠分配班級情況進(jìn)行分類，共分為四類：第一類，四個(gè)班級都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；第二類，有三個(gè)班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個(gè)工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個(gè)班級去甲工廠，另外兩個(gè)班級去其他四個(gè)工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個(gè)班級去甲工廠，其他班級去另外四個(gè)工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種)．綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種)．法二

(間接法)先計(jì)算四個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案．答案

C規(guī)律方法選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．【訓(xùn)練2】

(1)有4位老師在同一年級的4個(gè)班級中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是(

) A．11 B．10 C．9 D．8 (2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有(

) A．280種

B．240種

C．180種

D．96種解析(1)法一設(shè)四個(gè)班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時(shí)，剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．法二讓a先選，可從B，C，D中選一個(gè)，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個(gè)班級中任選一個(gè)，也有3種選法，剩下的兩個(gè)老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同安排方法．(2)由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．答案(1)C

(2)B題型三涂色問題【例3】如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設(shè)”、“計(jì)”四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解創(chuàng)、新、設(shè)、計(jì)四個(gè)區(qū)域依次涂色，分四步．第1步，涂“創(chuàng)”區(qū)域，有3種選擇．第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇．第3步，涂“設(shè)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選擇．第4步，涂