專題11點(diǎn)線面的位置關(guān)系知識點(diǎn)一四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．例1．（1）、（2024上·江西宜春·高二?？计谀┠艽_定一個(gè)平面的條件是（

）A．空間的三點(diǎn) B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線C．兩條相交直線 D．無數(shù)點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)基本事實(shí)及其推論進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，經(jīng)過這三點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)，故A不正確；對于B，當(dāng)此點(diǎn)剛好在已知直線上時(shí)，有無數(shù)個(gè)平面經(jīng)過這條直線和這個(gè)點(diǎn)，故B不正確；對于C，根據(jù)基本事實(shí)的推論可知：兩條相交直線可唯一確定一個(gè)平面，故C正確；對于D，給出的無數(shù)個(gè)點(diǎn)不一定在同一個(gè)平面內(nèi)，故D不正確故選：C．（2）、（2020上·云南曲靖·高二宣威市第五中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，用符號語言表示正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用符號語言表示點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可得解.【詳解】對于A，由圖知與交于在內(nèi)，與交于點(diǎn)，所以，故A正確；對于BD，這一表示方法錯(cuò)誤，故BD錯(cuò)誤；對于C，這一表示方法錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤.故選：A.1．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．空間中三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．空間中兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面C．一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面D．四邊形一定是平面圖形【答案】B【分析】ACD選項(xiàng)，可舉出反例，B選項(xiàng)，可根據(jù)三角形為平面圖形得到B正確.【詳解】A選項(xiàng)，空間中三點(diǎn)若共線，則不能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖，空間中兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線可確定三角形，而三角形為平面圖形，故可確定一個(gè)平面，B正確；C選項(xiàng)，若點(diǎn)在此直線上，此時(shí)一條直線和一個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，四邊形可能為空間四邊形，此時(shí)不是平面圖形，如圖，三棱錐中，四邊形就是空間四邊形，D錯(cuò)誤.故選：B2．（2023上·廣東深圳·高二校考開學(xué)考試）（多選題）下列說法中正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．三角形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．不重合的平面和平面有不同在一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)【答案】BC【分析】根據(jù)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面及推論判斷ABC，根據(jù)公理3（基本事實(shí)3）判斷D.【詳解】對于A，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，錯(cuò)誤；對于B，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不在一條線，可確定唯一一個(gè)平面，故三角形一定是平面圖形，正確；對于C，梯形中有兩條線平行，可確定唯一一個(gè)平面，故梯形一定是平面圖形，正確；對于D，若不重合的兩個(gè)平面相交，則它們一定有一條交線，所有的兩個(gè)平面的公共點(diǎn)都在這條交線上，錯(cuò)誤.故選：BC.知識點(diǎn)二直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號a∥b公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)例2．（1）、（2023上·上海·高二期末）如果直線a和b沒有公共點(diǎn)，那么a與b（）A．共面 B．平行C．可能平行，也可能是異面直線 D．是異面直線【答案】C【分析】根據(jù)直線a和b沒有公共點(diǎn)，結(jié)合空間直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】∵直線a和b沒有公共點(diǎn)，∴直線a與b不是相交直線．∴直線a與b可能是相交直線或異面直線．故選：C．（2）、（2023下·陜西西安·高一期末）（多選題）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中正確的序號是（

）A．直線與直線相交；B．直線與直線平行；C．直線BM與直線是異面直線；D．直線與直線成角.【答案】CD【分析】將正方體的平面展開圖，復(fù)原為正方體，根據(jù)異面直線的定義，可判定A、B不正確；C正確；再結(jié)合異面直線所成的角的定義與求解，可判定D正確.【詳解】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復(fù)原為正方體，對于A中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以A不正確；對于B中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以B不正確；對于C中，平面平面，平面，平面，所以直線與不相交，連接，則，而與相交，所以與不平行，否則，不合題意，所以直線與是異面直線，所以C正確；對于D中，連接，則為正三角形，可得，又由，則為直線與直線所成的角，即直線與直線所成的角為，所以D正確.故選：CD.（3）、（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，可知或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角．結(jié)合余弦定理分析求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，則，可知或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角．因?yàn)椋礊榈冗吶切?，不妨取，連接，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，可得，連接，則，過點(diǎn)作，垂足為，連接，則，所以，則，又，所以，故異面直線與所成角的余弦值為．故答案為：.1．（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若是異面直線，直線，則c與b的位置關(guān)系是.【答案】相交或異面【分析】利用異面直線的定義與平面相關(guān)定理即可得解.【詳解】因?yàn)槭莾蓷l異面直線，直線，所以過b任一點(diǎn)可作與a平行的直線c，此時(shí)c與b相交；另外，c與b不可能平行，理由如下：若，則由可得到，這與a，b是兩條異面直線矛盾，故c與b異面；綜上，c與b的位置關(guān)系是相交或異面.故答案為：相交或異面．2．（2023上·上海崇明·高二上海市崇明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方體中，異面直線與所成的角為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，作出異面直線與所成的角，再求出三角形某個(gè)內(nèi)角即得.【詳解】在正方體中，連接，正方體的對角面是矩形，則，因此是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，而，即是正三角形，則，所以異面直線與所成的角為.故答案為：3．（2019·廣東江門·統(tǒng)考一模）正方體的平面展開圖如圖，、、、四條對角線兩兩一對得到6對對角線，在正方體中，這6對對角線所在直線成角的有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】D【分析】先利用正方體的平面展開圖還原成正方體，分析6對對角線成角情況，得到答案.【詳解】如圖所示，將平面展開圖還原成正方體，AB與GH成角等價(jià)于HF與GH成角，易得為等邊三角形，所以AB與GH成角為，同理可得，AB與EF、GH與CD、EF與CD所成的角為，共4對.AB與CD成角等價(jià)于HF與CD成角，因?yàn)樗倪呅蜟FDH為正方形，所以HF與CD成角為，即AB與CD成角，同理可得，EF與GH所成的角為.故選：D.例2．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）如圖，在長方體中，，分別是，的中點(diǎn)，，且.(1)求并求直線與所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由勾股定理可直接求出；建系，利用空間向量法求出異面直線的夾角即可；（2）用等體積法求出點(diǎn)到直線的距離即可；【詳解】（1）

連接，因?yàn)樵陂L方體中，則，則，在中，，所以；以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，則所以設(shè)與所成的角，則，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角時(shí)銳角或直角，則直線與所成角的余弦值為（2）連接，因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，因?yàn)?，故，點(diǎn)到平面的距離為.1．（2023上·上海浦東新·高二?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）取中點(diǎn)，可證得是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在中求解即可得；（2）利用等體積法（）求解．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，平面，平面，所以，同理，正方體棱長為2，是中點(diǎn)，則，，，所以，所以，所以，所以異面直線與所成角是；（2）由已知，，因此中邊上高為，，，設(shè)到平面的距離為，則，．所以到平面的距離為．知識點(diǎn)三直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號∥公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10例4．（1）、（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）已知直線l、平面，“l(fā)與相交”是“l(fā)與至多有一個(gè)公共點(diǎn)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系即可求解.【詳解】若l與相交，則l與只有一個(gè)公共點(diǎn)，故充分性成立，若l與至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則l與相交或者，故必要性不成立，故“l(fā)與相交”是“l(fā)與至多有一個(gè)公共點(diǎn)”的充分非必要條件，故選:A（2）、（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）若直線在平面外，則（

）A． B．與至多有一個(gè)公共點(diǎn)C． D．與至少有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)橹本€在平面外，所以或與相交，當(dāng)時(shí)與沒有公共點(diǎn)，當(dāng)與相交時(shí)與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以與至多有一個(gè)公共點(diǎn).故選：B（3）、（2023下·陜西寶雞·高一?？计谥校ǘ噙x題）下列是基本事實(shí)的是（

）A．過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線【答案】BCD【分析】根據(jù)基本事實(shí)判斷即可.【詳解】對于A，基本事實(shí)1是過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對于B，“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實(shí)4，故B正確；對于C，“如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)”是基本事實(shí)2，故C正確；對于D，“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線”是基本事實(shí)3，故D正確.故選：BCD1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高級中學(xué)?？计谀┤粢恢本€上有兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離都等于1，則該直線與這個(gè)平面的位置關(guān)系是（

）．A．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交或平行C．直線與平面相交 D．直線平行平面【答案】B【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合題意，進(jìn)行判斷.【詳解】結(jié)合題意：要使一條直線的兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離為1，則由線面位置關(guān)系可得：當(dāng)時(shí)，可滿足題意；當(dāng)與相交時(shí)，在面的異側(cè)各有一個(gè)點(diǎn)可滿足題意；當(dāng)時(shí)，無法滿足題意.故直線與平面相交或平行.故選：B.2．（2022下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）給出下列判斷，其中正確的是（

）A．若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則B．空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C．如果兩個(gè)平面相交，則它們有有限個(gè)公共點(diǎn)D．如果直線與平面平行，則與平面內(nèi)任意一條直線都沒有公共點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)、基本事實(shí)、面面相交的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，直線上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，因此本選項(xiàng)不正確；B：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可以確定無數(shù)個(gè)平面，因此本選項(xiàng)不正確；C：因?yàn)閮蓚€(gè)平面相交于一條直線，而直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，因此本選項(xiàng)不正確；D：根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知該選項(xiàng)正確，故選：D3．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)校考期中）（多選題）下列說法中正確的是（

）A．若直線與平面不平行，則l與相交B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C．如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面平行D．如果是異面直線，，，則，是異面直線【答案】BD【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對A，若直線與平面不平行，則與相交或，故A錯(cuò)誤；對B，直線在平面外，則直線與平面平行或相交，故直線在平面無交點(diǎn)或僅有個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對C，若直線與平面相交，直線上仍存在兩個(gè)在平面不同側(cè)的點(diǎn)到平面的距離相等，則故C錯(cuò)誤；對D，如果是異面直線，，則異面，則是異面直線，故D正確.故選：BD知識點(diǎn)四平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號∥，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上例5．（1）、（2023上·廣東惠州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條不同直線，，表示兩個(gè)不同平面，下列說法不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則【答案】AB【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系，結(jié)合平面基本性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，而，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，但，B錯(cuò)誤；，，則，由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面，由a與b確定唯一平面，且該平面經(jīng)過直線a與點(diǎn)P，所以該平面與重合，則，故C正確；由兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故D正確．故選：AB（2）、（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，b是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】BD【分析】根據(jù)線，面之間的位置關(guān)系及判定定理逐項(xiàng)判斷.【詳解】對于A，若，，則或，故A選項(xiàng)不正確；對于B，若，，則，故B選項(xiàng)正確；對于C，若，，則或，故C選項(xiàng)不正確；對于D，若，，則，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.（3）、（2024上·上海浦東新·高二?？计谀┰O(shè)m、n是不同的直線，、是不同的平面，其中真命題有（

）個(gè)．（1）若，，，則；（2）若，，，則；（3）若，，，則；（4）若，，，，則；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)面面垂直、面面平行的判定定理和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于（1）:若，則，又，則，故（1）正確;對于（2）:若，則或與相交，故（2）錯(cuò)誤;對于（3）:若，則或與相交，故（3）錯(cuò)誤;對于（4）：根據(jù)面面平行的判定定理，，條件缺乏與相交，故（4）錯(cuò)誤，故選：B1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）（多選題）已知，為空間中不同的兩條直線，，為空間中不同的兩個(gè)平面，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則和為異面直線D．若，，且，則【答案】ABC【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，逐一檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】對于A，由，，則或，故A錯(cuò)誤；對于B，由，，，則或與異面，故B錯(cuò)誤；對于C，由，，則無法確定直線與的位置關(guān)系，平行、相交、異面都有可能，故C錯(cuò)誤；對于D，由，，則與一定不相交；假設(shè)與異面，由，，則，，，由與異面，則與相交，但這與平行公理矛盾，故D正確.故選：ABC.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選題）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則m與n相交或異面B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則m與n平行或相交或異面【答案】ABD【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判斷，逐一判斷即可．【詳解】選項(xiàng)A：若，，則m與n相交或異面，A正確．選項(xiàng)B：若，，則，又，α，β是兩個(gè)不同的平面，所以，B正確．選項(xiàng)C：若，，則或，故C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D：若，，，則m與n平行或相交或異面，故D正確．故選：ABD.3．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選題）設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.【詳解】對于A，可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，對于B，可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，對于D，可能相交或平行，故D錯(cuò)誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，故選：C知識點(diǎn)五截面問題例6．（1）、（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知棱長為4的正四面體，用所有與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】找到兩類截面，分別為一類是平面的一側(cè)是1個(gè)點(diǎn)，另外一側(cè)有3個(gè)點(diǎn)（如圖1），此時(shí)截面過棱的中點(diǎn)，且與一個(gè)面平行；另外一類是平面的兩側(cè)各有2個(gè)頂點(diǎn)（如圖2），因?yàn)檎拿骟w對棱垂直，分別計(jì)算出面積即可.【詳解】與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面可分為兩類，一類是平面的一側(cè)是1個(gè)點(diǎn)，另外一側(cè)有3個(gè)點(diǎn)（如圖1），此時(shí)截面過棱的中點(diǎn)，且與一個(gè)面平行，故截面三角形與平行的面（三角形）相似，相似比為，故其面積為，這樣的截面共有4個(gè)，故這類截面的面積和為，另外一類是平面的兩側(cè)各有2個(gè)頂點(diǎn)（如圖2），因?yàn)檎拿骟w對棱垂直，易知四邊形PQMN是邊長為2的正方形，其面積為4，這樣的截面共有3個(gè)，故這類截面的面積和為12，故符合條件的截面的面積和為.故選：A．（2）、（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，平面截正方體的截面面積為.【答案】【分析】在正方體中作出平面截正方體的截面，進(jìn)而求出其面積即可.【詳解】在正方體中，延長交延長線于，連接交于，并延長交延長線于R，延長交延長線于，連接交于，交于，易知點(diǎn)共面，平面即為平面，所以平面截正方體的截面為六邊形，因?yàn)?，，分別是棱，，的中點(diǎn)，所以根據(jù)相似比易知點(diǎn)都為其所在正方體棱的中點(diǎn)，則易得六邊形為正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長為4，所以正六邊形的邊長，所以截面面積為.故答案為：1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）A． B．9 C． D．【答案】A【分析】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，，．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長為．故選：A．2．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)，E，F(xiàn)的平面記為，則下列說法中正確的序號是.①平面截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形②平面截直四棱柱所得截面的面積為③二面角的正切值為④點(diǎn)B到平面的距離與點(diǎn)D到平面的距離之比為1∶3【答案】②③④【分析】作出截面即可判斷①；計(jì)算出截面各邊長度，即可求出面積判斷②；圖中易作出EF的垂面得到二面角的正切值，即可判斷③；連DB與EF交于G，易得D、B到G的距離比，即可判斷④.【詳解】如下圖，延長DA、DC交直線EF于點(diǎn)P、Q，連接D1P、D1Q，交棱A1A、C1C與點(diǎn)M、N，連接D1M、ME、D1N、NF，可得五邊形，故①錯(cuò)誤；計(jì)算可得截面五邊形各邊長度分別為D1M=D1N=，ME=EF=FN=，因此五邊形D1MEFN可分成等邊三角形D1MN和等腰梯形MEFN，可求得面積分別為和，則五邊形D1MEFN的面積為，故②對；連DB與EF交于G，可得二面角的平面角為，可求出，而，所以，故③對；易得BG：DG=1∶3，所以點(diǎn)B、D到平面的距離之比為1∶3，故④對.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】(1)作幾何體的截面時(shí)，關(guān)鍵是要找到兩個(gè)公共點(diǎn)，連接即可得交線；(2)多邊形的面積沒法直接求時(shí)，可分割成常見圖形求；(3)由二面角的定義可知，和公共棱垂直的平面與兩面的交線所成的角就是二面角的平面角；(4)線段與平面相交時(shí)，線段兩端點(diǎn)到平面的距離比等于它們到交點(diǎn)的距離比.知識點(diǎn)六綜合問題例7．（1）、（2023上·山西大同·高三大