第16講邏輯代數(shù)基礎(chǔ)16.1邏輯函數(shù)及其表示法16.2邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則16.3邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)退出16.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法返回主目錄一、邏輯函數(shù)的建立：

2、邏輯函數(shù)：如果對(duì)應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。記為

注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。16.1邏輯函數(shù)及其表示法

1、邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子。在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運(yùn)算符的叫做原變量，有非運(yùn)算符的叫做反變量。二、邏輯函數(shù)的表示方法

1、真值表

2、邏輯函數(shù)式

3、邏輯圖通過真值表可以直接寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式。方法是將真值表中Y為1的輸入變量相與，取值為1用原變量表示。0用反變量表示，將這些與項(xiàng)相加，就得到邏輯表達(dá)式。這樣得到的邏輯函數(shù)表達(dá)式是標(biāo)準(zhǔn)與－或邏輯式。各種表示法之間可以相互轉(zhuǎn)換解：第一步：設(shè)置自變量和應(yīng)變量。第二步：狀態(tài)賦值。

對(duì)于自變量A、B、C設(shè)：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。

對(duì)于應(yīng)變量L設(shè)：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。（一）、邏輯函數(shù)的建立例1.1

三個(gè)人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，試建立該邏輯函數(shù)。第三步：根據(jù)題義及上述規(guī)定列出函數(shù)的真值表。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表決電路真值表

（二）、邏輯函數(shù)的表示方法

由真值表可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)表達(dá)式。例如，由“三人表決”函數(shù)的真值表可寫出邏輯表達(dá)式：

反之，由函數(shù)表達(dá)式也可以轉(zhuǎn)換成真值表。通過真值表可以直接寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式。方法是將真值表中Y為1的輸入變量相與，取值為1用原變量表示。0用反變量表示，將這些與項(xiàng)相加，就得到邏輯表達(dá)式。16.1.1邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則邏輯代數(shù)的公式（1）常量之間的關(guān)系（2）基本公式分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：

邏輯代數(shù)的基本定律與普通代數(shù)相似(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)證明：分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率A+A=10-1率A·1=1互補(bǔ)率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1例如，已知等式，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：邏輯代數(shù)的三個(gè)重要規(guī)則（1）代入規(guī)則：任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。（2）反演規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：（3）對(duì)偶規(guī)則：對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)＇，Y＇稱為函Y的對(duì)偶函數(shù)。這個(gè)規(guī)則稱為對(duì)偶規(guī)則。例如：對(duì)偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)也相等。利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：

注意：在運(yùn)用反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則時(shí)，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號(hào)，接著與運(yùn)算，然后或運(yùn)算，最后非運(yùn)算，否則容易出錯(cuò)。本節(jié)小結(jié)

邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實(shí)際邏輯問題抽象為邏輯函數(shù)來描述，并且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)問題。與、或、非是3種基本邏輯關(guān)系，也是3種基本邏輯運(yùn)算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運(yùn)算復(fù)合而成的4種常用邏輯運(yùn)算。邏輯代數(shù)的公式和定理是推演、變換及化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù)。16.2.1化簡(jiǎn)的意義與標(biāo)準(zhǔn)16.2.2邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法退出16.2.3代數(shù)化簡(jiǎn)法舉例

16.2邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法一、邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義：邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)它的電路越簡(jiǎn)單，電路工作越穩(wěn)定可靠。16.2.1化簡(jiǎn)的意義與標(biāo)準(zhǔn)二、邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換。一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有以下5種表示形式。（1）乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；（2）每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量個(gè)數(shù)也最少。利用邏輯代數(shù)的基本定律，可以實(shí)現(xiàn)上術(shù)五種邏輯函數(shù)式之間的變換。三、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與—或式最簡(jiǎn)與或表達(dá)式16.2.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法1、并項(xiàng)法邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。若兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含同一個(gè)因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時(shí)，則這兩項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去互為反變量的因子。運(yùn)用摩根定律運(yùn)用分配律運(yùn)用分配律2、吸收法如果乘積項(xiàng)是另外一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這另外一個(gè)乘積項(xiàng)是多余的。運(yùn)用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項(xiàng)。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的變量。

如果一個(gè)乘積項(xiàng)的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這個(gè)因子是多余的。３、配項(xiàng)法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。４、消去冗余項(xiàng)法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項(xiàng)ＢＣ消去。16.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法16.4.1最小項(xiàng)與卡諾圖16.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)16.4.3用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)16.4.4具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)退出16.4.1最小項(xiàng)與卡諾圖一、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)二、卡諾圖1、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì)（1）最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。

3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：（2）最小項(xiàng)的表示方法：通常用符號(hào)mi來表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。

3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：一、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)（3）最小項(xiàng)的性質(zhì)：①任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項(xiàng)的和必為1。ABCABC②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。2、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來配項(xiàng)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm1＝ABC將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加，便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。二、卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來表示，利用卡諾圖來化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖?？ㄖZ圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)）。每個(gè)2變量的最小項(xiàng)有兩個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰每個(gè)3變量的最小項(xiàng)有3個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項(xiàng)表達(dá)式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。m1m3m4m6m7m11m14m1516.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出：先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項(xiàng)之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子）相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。變換為與或表達(dá)式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子說明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)Ｙ，則對(duì)Ｙ中所包含的各個(gè)最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。1、卡諾圖的性質(zhì)（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。16.4.3用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)（2）任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。ＢＤＢＤＢＤBD（3）任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。BD

小結(jié)：相鄰最小項(xiàng)的數(shù)目必須為個(gè)才能合并為一項(xiàng)，并消去個(gè)變量。包含的最小項(xiàng)數(shù)目越多，即由這些最小項(xiàng)所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡(jiǎn)單。這就是利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理。2nn2、圖形法化簡(jiǎn)的基本步驟邏輯表達(dá)式或真值表卡諾圖

1

1合并最小項(xiàng)①圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為個(gè)。②同一個(gè)方格可同時(shí)畫在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)１的方格。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項(xiàng)

2

2

3

3將代表每個(gè)圈的乘積項(xiàng)相加兩點(diǎn)說明：

①在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同