攀枝花市2023-2024學(xué)年度（上）普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試題卷2024.1本試題卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線斜截式方程及斜率的定義即可求解.【詳解】由直線，得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以直線的傾斜角為.故選：A.2.設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則（）A. B.C D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：若A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)A、B獨(dú)立時(shí)，，當(dāng)A、B不獨(dú)立時(shí)，則不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，故D正確.故選：D3.已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得到，，即可解得，從而求得答案.【詳解】由題意得：，解得：，即雙曲線的方程為，所以的漸近線方程是.故選：A.4.公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則（）A.32 B.16 C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，則.故選：D.5.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)圖形的性質(zhì)分解向量即可.【詳解】由題意.故選：B.6.若直線與直線平行，則的值為（）A. B.3 C.3或 D.或6【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行得到方程，求出或，通過(guò)檢驗(yàn)舍去不合要求的解.【詳解】直線：與直線：平行，所以，解得：或，①當(dāng)時(shí)，：，：，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，：，：，均為，此時(shí)，重合，舍去，故，故選：B7.隨機(jī)拋擲兩枚均勻骰子，則得到的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算基本事件總數(shù)，利用列舉法得到兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出得到所示概率.【詳解】隨機(jī)拋擲兩枚均勻骰子，觀察得到的點(diǎn)數(shù)，基本事件總數(shù)，所得點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)為事件B，則事件B的結(jié)果有共9種，所求概率為.故選：C8.已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.4 B. C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立方程組，再利用韋達(dá)定理得出根的關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由題意可知，直線的斜率不可能為0，設(shè)直線的方程為，由，消去，得設(shè)，則，所以.因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取的最小值為,所以的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立方程組，再利用韋達(dá)定理得出根的關(guān)系及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及弦長(zhǎng)公式即可.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，記事件為“第一次中靶”，事件為“至少一次中靶”，事件為“至多一次中靶”，事件為“兩次都沒(méi)中靶”.下列說(shuō)法正確的是（）A. B.與是互斥事件C. D.與是互斥事件，且是對(duì)立事件【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意可知，事件為“第一次中靶且第二次沒(méi)有中靶”“第一次沒(méi)有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”“兩次都沒(méi)有中靶”；事件為“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒(méi)有中靶”“第一次沒(méi)有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”；事件為“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒(méi)有中靶”“第一次沒(méi)有中靶且第二次中靶”“兩次都沒(méi)有中靶”；事件為“兩次都沒(méi)中靶”；故，與不是互斥事件，與是互斥事件，且是對(duì)立事件，.故選:：AD.10.已知圓，圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則B.若圓，外切，則C.圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為1D.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則的方程是或【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓的內(nèi)部解不等式即可判斷A錯(cuò)誤；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可知B正確；利用點(diǎn)到直線的距離公式及直徑是圓中最長(zhǎng)的弦即可知C正確；對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，由點(diǎn)到直線距離公式即可得D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，則的方程恒表示圓，由點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，若圓，外切，則，即，解得，故B正確；對(duì)于C，由圓的圓心為，半徑，所以圓的圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程是，圓心到的距離，滿足要求，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，圓心到的距離為，解得，所以的方程是，綜上，的方程是或，故D正確.故選：BCD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使 B.存在點(diǎn)，使C.四面體的體積為定值 D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】BC【解析】【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，判斷是否共線即可；對(duì)于B，由即可判斷；對(duì)于C，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為四面體即三棱錐的體積即可判斷；對(duì)于D，，且滿足，由求得參數(shù)，結(jié)合模長(zhǎng)公式即可進(jìn)一步得解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，對(duì)于A，，而，所以不可能平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，若，則，解得，即當(dāng)重合時(shí)，有，故B正確；對(duì)于C，由題意過(guò)作交于點(diǎn)，因?yàn)槊妫悦?，所以為三棱錐的高，又三棱錐的底面積為，，所以四面體即三棱錐的體積為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，且滿足，而，所以，解得，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線的方程為 B.曲線的離心率為C.直線的方程為 D.的周長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】【分析】由題意作出圖分析可知曲線為橢圓，從而求出橢圓的方程判斷選項(xiàng)A與B，由點(diǎn)差法求出直線的斜率，然后求得直線的方程，可知C正確，由直線過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，所以的周長(zhǎng)為，可知D正確.【詳解】如圖：由圖可知點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和始終為定值且，故點(diǎn)的軌跡為：以點(diǎn)與點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，可設(shè)其方程為，故，，所以，，所以橢圓的方程為：，故A正確；橢圓的離心率為：，故B錯(cuò)誤；直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，，則，.由點(diǎn)差法得：，所以，所以，即，所以直線的方程為：，即，故C正確；由于直線：過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，所以的周長(zhǎng)為，故D正確。故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程及拋物線定義有，求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)及拋物線定義知：且.故答案為：14.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知個(gè)人能破譯的概率分別是和，則恰好有一人成功破譯的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用互斥事件概率的加法公式和獨(dú)立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】設(shè)甲能獨(dú)立地破譯一份密碼的事件為,乙能獨(dú)立地破譯一份密碼的事件為,則,所以.所以恰好有一人成功破譯的概率為.故答案為：.15.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】由題意根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得，再利用構(gòu)造法結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，∴?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，所以.故答案為：.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為．且．雙曲線和橢圓有相同焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，若．則_________，________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)可得，，由此可得；假設(shè)在第一象限，由求出，，根據(jù)余弦定理得，將，代入可得，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】在橢圓中，因?yàn)樯享旤c(diǎn)為．且，所以，所以，所以，所以.設(shè)雙曲線方程為，假設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由得，，在中，由余弦定理得，所以，整理得，得，所以，所以，解得.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論,再利用數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法即可求解.小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小問(wèn)2詳解】由（1）知，.所以.18.已知圓心在直線上的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及圓心在弦的垂直平分線上，進(jìn)而求出垂直平分線方程，聯(lián)立方程組求出圓心，利用兩點(diǎn)間的距離求出半徑,結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）利用直線的點(diǎn)斜式方程注意斜率討論斜率的存在性，利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)、半徑、弦心距三者之間的關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，作出圖形如圖所示，，的中點(diǎn)為.垂直平分線為，即由解得，故圓心為，半徑.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，作出圖形如圖所示當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)，滿足條件，直線方程為當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即.，圓心到直線距離為，解得，故直線方程為，即.綜上所述：直線的方程為或.19.如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由題意取的中點(diǎn)，連接，.證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證.（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量和平面法向量，由線面角的正弦公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，得，.取的中點(diǎn)，連接，.由為中點(diǎn)知，.又，故，所以四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而.且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，，，，則，，，設(shè)為平面的法向量，則，可取，故直線與平面所成角的正弦值為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系即可求解；（2）利用倒數(shù)法及等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，求出，利用數(shù)列求和中的分組求和法、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法即可求解【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，依然成立，所以的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2詳解】由，得，.又.故是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)3詳解】由（1）（2）知，，則.令①，②，①－②得，，，，.21.如圖所示，在梯形中，，，.四邊形為矩形，且平面.（1）求證：平面；（2）若直線與所成角的正切值為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）點(diǎn)為線段的靠近的三等分點(diǎn)【解析】【分析】（1）利用梯形的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理即可求解；（2）利用線線角的定義，根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面與平面的法向量，利用向量夾角與線面角的關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅螢樘菪?，，，，所以，，則，即又因?yàn)槠矫?，面ABCD，所以.因?yàn)?、都在平面?nèi)，，所以面.【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，由，知，由（1）知，共面且不共線，所以，故直線與所成角為.由平面，面ABCD，所以，又，在面內(nèi)，且，故面，所以面，面，則，在中，，，所以，在，易得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則，，，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則.所以由題可知，是平面的一個(gè)法向量，所以.因?yàn)?，解?/p>