第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法則第三節(jié)函數(shù)曲線的切線第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值第五節(jié)函數(shù)的最值第六節(jié)函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)第七節(jié)幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化1本章思維導(dǎo)圖【引導(dǎo)案例】經(jīng)濟(jì)進(jìn)貨批量模型經(jīng)濟(jì)進(jìn)貨批量是指能夠使一定時(shí)期存貨的相關(guān)總成本達(dá)到最低點(diǎn)的進(jìn)貨數(shù)量，因此存在一個(gè)最佳的進(jìn)貨批量，使成本總和保持最低水平。其基本模型的假設(shè)條件是企業(yè)不允許缺貨，則不存在缺貨成本，故：存貨相關(guān)總成本=相關(guān)進(jìn)貨費(fèi)用+相關(guān)存儲(chǔ)成本

=年進(jìn)貨次數(shù)×每次進(jìn)貨成本+年平均庫存量×單位存貨年儲(chǔ)存成本

若某企業(yè)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)進(jìn)貨批量，在假定企業(yè)不允許缺貨的前提下，設(shè)A為存貨全年總的進(jìn)貨數(shù)量，B為一次進(jìn)貨費(fèi)用，C為單位存貨一年的變動(dòng)儲(chǔ)存成本，Q為每次進(jìn)貨批量，全年平均的存貨占用量為Q/2。根據(jù)上述經(jīng)濟(jì)進(jìn)貨批量模型，請計(jì)算出經(jīng)濟(jì)進(jìn)貨批量的進(jìn)貨量。第一節(jié)

微分中值定理本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能通過微分中值定理理特殊化與一般化的數(shù)學(xué)思想方法理解拉格朗日定理及推論了解羅爾定理一、微分中值定理微分中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ),包括羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理,核心是拉格朗日定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值相等即f(a)=f(b),這時(shí)會(huì)有什么結(jié)果?61.羅爾定理引入考察函數(shù)曲線y=f(x),連結(jié)函數(shù)曲線y=f(x)的兩個(gè)端點(diǎn)A,B得到弦AB,如圖7由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),從而函數(shù)曲線y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上不斷開由于函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),從而函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在切線且切線不垂直于x軸容易看出:在曲線y=f(x)上至少能找到一點(diǎn)M,使得點(diǎn)M處的切線平行于弦AB,這意味著它們的斜率相等8又由于端點(diǎn)函數(shù)值f(a)=f(b),從而函數(shù)曲線y=f(x)兩個(gè)端點(diǎn)A,B的高度相等，即弦AB平行于x軸,說明弦AB的斜率等于零于是函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M處的切線斜率等于零,即函數(shù)f(x)在點(diǎn)M橫坐標(biāo)ξ處的一階導(dǎo)數(shù)值等于零,于是有下面的定理92.羅爾定理定理3.1(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且端點(diǎn)函數(shù)值f(a)=f(b),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f'(ξ)=0

(a<ξ<b)羅爾定理只是論證了點(diǎn)ξ的存在性,至于ξ值等于多少,須解未知量為ξ的代數(shù)方程式f'(ξ)=010考察函數(shù)曲線y=f(x),連結(jié)函數(shù)曲線y=f(x)的兩個(gè)端點(diǎn)A,B得到弦AB,如圖在羅爾定理中,若去掉端點(diǎn)函數(shù)值f(a)=f(b)這個(gè)條件,會(huì)有什么結(jié)果?113.拉格朗日定理容易看出:在函數(shù)曲線y=f(x)上至少能找到一點(diǎn)M,使得點(diǎn)M處的切線平行于弦AB這意味著它們的斜率相等.又由于弦AB的斜率等于

12即函數(shù)f(x)在點(diǎn)M橫坐標(biāo)ξ處的一階導(dǎo)數(shù)值

或者f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)可以應(yīng)用羅爾定理證明下面的定理.13定理3.2(拉格朗日定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

或者f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)

(a<ξ<b)

144.拉格朗日定理有兩個(gè)重要推論:推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒等于零,則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上恒等于一個(gè)常數(shù),即f(x)=c0

(c0為常數(shù))15推論2如果函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)上的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)與g'(x)恒相等,則函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I上不一定相等,但至多相差一個(gè)常數(shù),即f(x)=g(x)+c0

(c0為常數(shù))165.羅爾定理與拉格朗日定理關(guān)系羅爾定理與拉格朗日定理的關(guān)系為:

羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況,拉格朗日定理是羅爾定理的推廣1718本次課程結(jié)束第二節(jié)

洛必達(dá)法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練運(yùn)用洛必達(dá)法則計(jì)算函數(shù)極限掌握洛必達(dá)法則的應(yīng)用條件一、洛必達(dá)法則引入

21設(shè)函數(shù)u(x)=ex-1,v(x)=sinx,注意到函數(shù)值u(0)=0,v(0)=0,根據(jù)§2.1導(dǎo)數(shù)值的定義與§1.7函數(shù)連續(xù)性的概念,得到極限(分子、分母同除以x)

22

即極限

=1一般地,有下面的洛必達(dá)(L'Hospital)法則.23二、洛必達(dá)法則1.洛必達(dá)法則

24例1

252.洛必達(dá)法則舉例例2

26例3

27例4

28例5

29例6

=230例7

解:計(jì)算極限

=u'(1)v(1)+u(1)v'(1)=1×2+1×(-2)=0031例8當(dāng)x→0時(shí),無窮小量x-ln(1+x)與x2比較是(

)無窮小量.(a)較高階(b)較低階(c)同階但非等價(jià)

(d)等價(jià)32

33根據(jù)無窮小量階的定義,說明當(dāng)x→0時(shí),無窮小量x-ln(1+x)與x2是同階無窮小量,又由于它們之比值的極限不等于1,因此無窮小量x-ln(1+x)與x2是同階但非等價(jià)無窮小量此題答案為：（c）3435本次課程結(jié)束第三節(jié)

函數(shù)曲線的切線本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練計(jì)算函數(shù)曲線某點(diǎn)處的切線方程理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、函數(shù)曲線的切線

根據(jù)§2.1給出的導(dǎo)數(shù)值的幾何意義,若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),即一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)為有限值,則函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,y0)處的切線斜率為函數(shù)f(x)在切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0),因而得到函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,y0)處切線方程的點(diǎn)斜式為y-y0=f'(x0)(x-x0)其中切點(diǎn)縱坐標(biāo)y0=f(x0),如圖38函數(shù)曲線的切線特別地,若切線斜率f'(x0)=0,說明切線平行于x軸,則切線方程為y=y0.

39二、求函數(shù)曲線切線方程步驟綜合上面的討論,求函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,y0)處切線方程的步驟如下:步驟1計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x),再在一階導(dǎo)數(shù)f'(x)的表達(dá)式中,自變量x用切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0代入,得到函數(shù)f(x)在切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0);步驟2若一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)為有限值,則所求切線斜率為f'(x0),所求切線方程的點(diǎn)斜式為y-y0=f'(x0)(x-x0)當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0時(shí),所求切線方程為y=y0;若一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=∞,則所求切線方程為x=x0.40例1

解:函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,f(x0))處的切線斜率為f'(x0),又直線y=3x+5的斜率為3,由于這兩條直線平行,因而它們的斜率相等,有f'(x0)=341再根據(jù)§2.1導(dǎo)數(shù)值的概念,得到極限

=2f'(x0)=2×3=642例2求函數(shù)曲線y=e2x+x2上點(diǎn)(0,1)處的切線方程.解:計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)y'=e2x(2x)'+2x=2e2x+2x于是所求切線斜率為43所以所求切線方程為y-1=2(x-0)即有2x-y+1=0例3已知函數(shù)曲線y=xlnx上點(diǎn)M0(x0,y0)處的切線平行于直線y=4x-3,求切點(diǎn)M0的坐標(biāo)(x0,y0).解:計(jì)算函數(shù)y=xlnx的一階導(dǎo)數(shù)

=lnx+1于是函數(shù)曲線y=xlnx上點(diǎn)M0(x0,y0)處的切線斜率為44又直線y=4x-3的斜率為4,由于這兩條直線平行,因而它們的斜率相等,有l(wèi)nx0+1=4即有l(wèi)nx0=3得到切點(diǎn)M0的橫坐標(biāo)x0=e3,相應(yīng)縱坐標(biāo)y0=e3lne3=3e3,所以所求切點(diǎn)M0的坐標(biāo)為(e3,3e3)45例4求一條直線與函數(shù)曲線y=x4-4x相切,且平行于x軸.解:所求直線為函數(shù)曲線y=x4-4x的切線,設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)M0(x0,y0).計(jì)算函數(shù)y=x4-4x的一階導(dǎo)數(shù)y'=4x3-4于是函數(shù)曲線y=x4-4x上點(diǎn)M0(x0,y0)處的切線斜率為46由于這條切線平行于x軸,因而它的斜率等于零,有

得到切點(diǎn)M0的橫坐標(biāo)x0=1,相應(yīng)縱坐標(biāo)y0=-3,因此切點(diǎn)為(1,-3),所以所求直線方程為y=-34748本次課程結(jié)束第四節(jié)

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與極值掌握可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判斷方法掌握可導(dǎo)函數(shù)極值判斷方法03一、可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性1.引入

可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加,這時(shí)函數(shù)曲線y=f(x)上任意點(diǎn)(x,y)處切線傾斜角α是銳角,因而切線斜率f'(x)=tanα>051可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少,這時(shí)函數(shù)曲線y=f(x)上任意點(diǎn)(x,y)處切線傾斜角β是鈍角,因而切線斜率f'(x)=tanβ<0由此可知:可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與一階導(dǎo)數(shù)正負(fù)號有著緊密的聯(lián)系.

522.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判斷方法定理3.3已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)可導(dǎo),那么:(1)如果在開區(qū)間J內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒為正,則開區(qū)間J為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間(2)如果在開區(qū)間J內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒為負(fù),則開區(qū)間J為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間533.可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)定義3.1若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0,則稱點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).根據(jù)這個(gè)定義,可導(dǎo)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0,意味著函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率等于零,說明切線平行于x軸.54可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極大值點(diǎn)x1與極小值點(diǎn)x2,這時(shí)函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)(x1,f(x1))與(x2,f(x2))處的切線平行于x軸,因而極值點(diǎn)x1,x2皆為可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)554.可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)與極值點(diǎn)關(guān)系可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定在駐點(diǎn)中產(chǎn)生,為了求可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn),必須先求出駐點(diǎn),若無駐點(diǎn),則無極值點(diǎn)但駐點(diǎn)是否一定為極值點(diǎn)?函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)(x3,f(x3))處的切線平行于x軸,從而點(diǎn)x3為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),它卻不為極值點(diǎn)56駐點(diǎn)在什么情況下一定為極值點(diǎn),又在什么情況下一定不為極值點(diǎn)？容易看出:可導(dǎo)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x1左右與駐點(diǎn)x2左右的單調(diào)性有改變,即一階導(dǎo)數(shù)f'(x)在駐點(diǎn)x1左右與駐點(diǎn)x2左右變號,這時(shí)駐點(diǎn)x1與x2為極值點(diǎn);而可導(dǎo)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x3左右的單調(diào)性沒有改變,即一階導(dǎo)數(shù)f'(x)在駐點(diǎn)x3左右不變號,這時(shí)駐點(diǎn)x3不為極值點(diǎn).由此可知:對于可導(dǎo)函數(shù),極值點(diǎn)一定為駐點(diǎn),但駐點(diǎn)不一定為極值點(diǎn),駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)與一階導(dǎo)數(shù)在其左右變號不變號有著緊密的聯(lián)系.57二、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)判斷1.定理3.4已知點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)x從駐點(diǎn)x0的左方變化到右方時(shí),那么:(1)如果一階導(dǎo)數(shù)f'(x)變號,且從正號(或負(fù)號)變化到負(fù)號(或正號),則駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn));(2)如果一階導(dǎo)數(shù)f'(x)不變號,則駐點(diǎn)x0不為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).58證:(1)考慮駐點(diǎn)x0左右很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)x≠x0,當(dāng)點(diǎn)x在駐點(diǎn)x0的左方即x0>x時(shí),一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒為正(或恒為負(fù)),說明可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)增加(或單調(diào)減少),從而有f(x0)>f(x)

(或f(x0)<f(x))當(dāng)點(diǎn)x在駐點(diǎn)x0的右方即x>x0時(shí),一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒為負(fù)(或恒為正),說明可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)減少(或單調(diào)增加),從而有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),即f(x0)>f(x)

(或f(x0)<f(x))所以函數(shù)值f(x0)為極大值(或極小值),即駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).59(2)在駐點(diǎn)x0左右很小范圍內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)不變號,即恒為正(或恒為負(fù)),說明可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)增加(或單調(diào)減少),可導(dǎo)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處當(dāng)然連續(xù)因而函數(shù)值f(x0)大于左方函數(shù)值且小于右方函數(shù)值(或小于左方函數(shù)值且大于右方函數(shù)值),所以函數(shù)值f(x0)不為極值,即駐點(diǎn)x0不為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).602.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)步驟綜合上面的討論,求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值的步驟如下:步驟1確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D;步驟2計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x);步驟3在定義域D內(nèi),若一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒非負(fù)(或恒非正),則可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間(或單調(diào)減少區(qū)間)為定義域D,這時(shí)當(dāng)然無極值.否則令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,求出可導(dǎo)函數(shù)f(x)的全部駐點(diǎn),并轉(zhuǎn)入步驟4;61步驟4可導(dǎo)函數(shù)f(x)的全部駐點(diǎn)將定義域D分成幾個(gè)開區(qū)間,列表判斷在這幾個(gè)開區(qū)間內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)的正負(fù)號,于是確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn),計(jì)算極值點(diǎn)處的函數(shù)值即為極值.單調(diào)增加用記號↗表示,單調(diào)減少用記號↘表示.62例1若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左右可導(dǎo),且函數(shù)值f(x0)為極大值,則函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,f(x0))處的切線方程為

.

解:由于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左右可導(dǎo),且函數(shù)值f(x0)為極大值,即點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),從而點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),當(dāng)然一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0這說明函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,f(x0))處的切線斜率為零,即切線平行于x軸,因而所求切線方程為y=f(x0)y=f(x0)63例2求函數(shù)f(x)=x-sinx的單調(diào)區(qū)間與極值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=1-cosx≥0說明在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒非負(fù),所以函數(shù)f(x)=x-sinx的單調(diào)增加區(qū)間為定義域D=(-∞,+∞);無極值.64例3求函數(shù)f(x)=x2-4x+5的單調(diào)區(qū)間與極值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-4令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到駐點(diǎn)x=2.駐點(diǎn)x=2將定義域D=(-∞,+∞)分成兩個(gè)開區(qū)間:(-∞,2)與(2,+∞),注意到在這兩個(gè)開區(qū)間內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)是連續(xù)的,且不等于零65根據(jù)§1.7連續(xù)函數(shù)性質(zhì)3,對于其中每一個(gè)開區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)x,一階導(dǎo)數(shù)f‘(x)同號.在開區(qū)間(-∞,2)內(nèi)任取一點(diǎn),不妨取點(diǎn)x=0,計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)值f’(0)=-4<0,從而在此開區(qū)間內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f‘(x)恒為負(fù)，說明函數(shù)f(x)在此開區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少再在開區(qū)間(2,+∞)內(nèi)任取一點(diǎn),不妨取點(diǎn)x=3,計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)值f'(3)=2>0,從而在此開區(qū)間內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒為正,說明函數(shù)f(x)在此開區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加.當(dāng)點(diǎn)x從駐點(diǎn)x=2的左方變化到右方時(shí),由于一階導(dǎo)數(shù)f'(x)變號,且從負(fù)號變化到正號,因而駐點(diǎn)x=2為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),極小值為f(2)=1.66x(-∞,2)2(2,+∞)f'(x)-0+f(x)↘極小值1↗上面這些分析列表如表所以函數(shù)f(x)=x2-4x+5的單調(diào)減少區(qū)間為(-∞,2),單調(diào)增加區(qū)間為(2,+∞);極小值為f(2)=1.67例4求函數(shù)f(x)=x2e-x的單調(diào)區(qū)間與極值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)e-x恒大于零,得到駐點(diǎn)x=0與x=2.列表如表68x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘極小值0↗極大值4e-2↘所以函數(shù)f(x)=x2e-x的單調(diào)減少區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞),單調(diào)增加區(qū)間為(0,2);極小值為f(0)=0,極大值為f(2)=4e-2.69例5求函數(shù)f(x)=4x3-x4的單調(diào)區(qū)間與極值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=12x2-4x3=4x2(3-x)令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到駐點(diǎn)x=0與x=3.列表如表70x(-∞,0)0(0,3)3(3,+∞)f'(x)+0+0-f(x)↗非極值↗極大值27↘所以函數(shù)f(x)=4x3-x4的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,3),單調(diào)減少區(qū)間為(3,+∞);極大值為f(3)=27.71注意:由于在駐點(diǎn)x=0左右一階導(dǎo)數(shù)f'(x)不變號,因而駐點(diǎn)x=0不為極值點(diǎn),這時(shí)應(yīng)把單調(diào)增加區(qū)間(-∞,0)與(0,3)合并為一個(gè)區(qū)間(-∞,3).需要說明的是:極值是局部性的概念,它只是與極值點(diǎn)左右很小范圍內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)值比較而得到的,因此同一個(gè)函數(shù)的極大值有可能小于極小值.72利用函數(shù)的單調(diào)性,可以證明給定條件下含變量x的不等式.做法是:令不等式左端減右端為函數(shù)f(x),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x),在給定條件下,判別一階導(dǎo)數(shù)f'(x)的正負(fù)號,確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,得到所證不等式.73例6證明:當(dāng)x>0時(shí),恒有不等式ln(x+1)<x證:考慮函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

74說明當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)減少,因而自變量取值為x對應(yīng)的函數(shù)值f(x)小于自變量取值為0對應(yīng)的函數(shù)值f(0),即有f(x)<f(0)=0,得到ln(x+1)-x<0所以當(dāng)x>0時(shí),恒有不等式ln(x+1)<x7576本次課程結(jié)束第五節(jié)

函數(shù)的最值本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)的最值掌握可導(dǎo)函數(shù)極值的另一種判斷方法掌握可導(dǎo)函數(shù)最值的判斷方法03一、求可導(dǎo)函數(shù)極值另一種方法1.定理3.5已知點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),且二階導(dǎo)數(shù)f″(x)在駐點(diǎn)x0處及其左右連續(xù),那么:(1)如果二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)<0,則駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)(2)如果二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)>0,則駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)79證:考慮駐點(diǎn)x0處及其左右很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)x,由于二階導(dǎo)數(shù)f″(x)連續(xù),若二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)≠0,根據(jù)§1.7連續(xù)函數(shù)性質(zhì)3,則二階導(dǎo)數(shù)f″(x)與二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)同號.(1)由于二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)<0,從而二階導(dǎo)數(shù)f″(x)<0,說明一階導(dǎo)數(shù)f'(x)單調(diào)減少.這意味著當(dāng)點(diǎn)x從駐點(diǎn)x0的左方變化到右方時(shí),一階導(dǎo)數(shù)f'(x)逐漸減小,注意到可導(dǎo)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0,因而這時(shí)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)變號,且從正號變化到負(fù)號,根據(jù)§3.3定理3.2,所以駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);80(2)由于二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)>0,從而二階導(dǎo)數(shù)f″(x)>0,說明一階導(dǎo)數(shù)f'(x)單調(diào)增加這意味著當(dāng)點(diǎn)x從駐點(diǎn)x0的左方變化到右方時(shí),一階導(dǎo)數(shù)f'(x)逐漸增大,注意到可導(dǎo)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0,因而這時(shí)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)變號,且從負(fù)號變化到正號,根據(jù)§3.3定理3.2,所以駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).81例1求函數(shù)f(x)=x2e-x的極值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x82令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)e-x恒大于零,得到駐點(diǎn)x=0與x=2.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=(2-2x)e-x+(2x-x2)e-x(-x)'=(2-2x)e-x-(2x-x2)e-x=(2-4x+x2)e-x得到在駐點(diǎn)x=0處的二階導(dǎo)數(shù)值f″(0)=2>083根據(jù)定理3.5,于是駐點(diǎn)x=0為極小值點(diǎn);又得到在駐點(diǎn)x=2處的二階導(dǎo)數(shù)值f″(2)=-2e-2<0根據(jù)定理3.5,于是駐點(diǎn)x=2為極大值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)=x2e-x的極小值為f(0)=0,極大值為f(2)=4e-2.這個(gè)結(jié)果與§3.4例5得到的結(jié)果是相同的.842.函數(shù)的最值點(diǎn)與極值點(diǎn)函數(shù)的最值點(diǎn)與極值點(diǎn)是不同的概念,不可混淆.極值點(diǎn)只能是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),不能是給定區(qū)間的端點(diǎn);而最值點(diǎn)可以是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),也可以是給定區(qū)間的端點(diǎn).一般情況下,最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),極值點(diǎn)也不一定是最值點(diǎn),但在一定條件下,它們又有著緊密的聯(lián)系.85可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,且為極大值點(diǎn),這時(shí)函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,f(x0))左右很小范圍內(nèi)的曲線段當(dāng)然向下延伸,又由于可導(dǎo)函數(shù)f(x)沒有極小值,從而函數(shù)曲線y=f(x)不可能再向上延伸,只能繼續(xù)向下延伸,因而唯一極大值f(x0)也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最大值,即唯一極大值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最大值點(diǎn).86可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,且為極小值點(diǎn),這時(shí)函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,f(x0))左右很小范圍內(nèi)的曲線段當(dāng)然向上延伸,又由于可導(dǎo)函數(shù)f(x)沒有極大值,從而函數(shù)曲線y=f(x)不可能再向下延伸,只能繼續(xù)向上延伸。因而唯一極小值f(x0)也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最小值,即唯一極小值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最小值點(diǎn).87二、函數(shù)的最值點(diǎn)判定綜合上面的討論,得到下面的定理.1.定理3.6已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,那么:(1)如果點(diǎn)x0為極大值點(diǎn),則唯一極大值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點(diǎn)(2)如果點(diǎn)x0為極小值點(diǎn),則唯一極小值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點(diǎn)882.求函數(shù)的最值點(diǎn)步驟開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定存在最大值或最小值,但若滿足定理3.4的條件,則開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)存在最大值或最小值.在這種情況下,求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的最值的步驟如下:步驟1確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D;步驟2計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x);89步驟3令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到唯一駐點(diǎn)x0;步驟4計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x),判斷二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)的正負(fù)號,確定唯一駐點(diǎn)x0為唯一極大值點(diǎn)還是唯一極小值點(diǎn),進(jìn)而得到它為最大值點(diǎn)還是最小值點(diǎn),計(jì)算最值點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)即為最值.90例2求函數(shù)f(x)=x2-8x+7在定義域內(nèi)的最值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-8令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到唯一駐點(diǎn)x=4.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=2它是常數(shù).91當(dāng)然,在唯一駐點(diǎn)x=4處也不例外,有二階導(dǎo)數(shù)值f″(4)=2>0根據(jù)定理3.5,于是唯一駐點(diǎn)x=4為唯一極小值點(diǎn),再根據(jù)定理3.6,這個(gè)唯一極小值點(diǎn)x=4也為最小值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)=x2-8x+7在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有最小值,最小值為f(4)=-9.92例3求函數(shù)f(x)=(1-x)ex在定義域內(nèi)的最值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)ex恒大于零,得到唯一駐點(diǎn)x=0.93再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=-(ex+xex)=-(1+x)ex得到在唯一駐點(diǎn)x=0處的二階導(dǎo)數(shù)值f″(0)=-1<0于是唯一駐點(diǎn)x=0為唯一極大值點(diǎn),也為最大值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)=(1-x)ex在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有最大值,最大值為f(0)=1.94閉區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)當(dāng)然連續(xù),根據(jù)§1.7連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1,它一定存在最大值與最小值.如何求出這個(gè)最大值與最小值?由于這個(gè)最大值與最小值一定在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)或兩個(gè)端點(diǎn)處取得,又可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定在駐點(diǎn)中產(chǎn)生,因而所求最大值與最小值一定在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn)或兩個(gè)端點(diǎn)處取得.95三、可導(dǎo)函數(shù)的最大值與最小值綜合上面的討論,求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:步驟1計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x),并令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,求出可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的所有駐點(diǎn);步驟2計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)f(x)在這些駐點(diǎn)處的函數(shù)值,同時(shí)計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)f(x)在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b);96特別地,若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào),則可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.步驟3比較上述計(jì)算得到的函數(shù)值大小,其中最大者為所求最大值,最小者為所求最小值.97例4求函數(shù)f(x)=x4-8x2+3在閉區(qū)間[-1,3]上的最大值與最小值.解:計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=4x3-16x=4x(x2-4)令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到駐點(diǎn)x=-2,x=0及x=2,容易看出駐點(diǎn)x=0與x=2在開區(qū)間(-1,3)內(nèi),而駐點(diǎn)x=-2不在開區(qū)間(-1,3)內(nèi)98再計(jì)算函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x=0,x=2及兩個(gè)端點(diǎn)x=-1,x=3處的函數(shù)值f(0)=3f(2)=-13f(-1)=-4f(3)=12比較這些函數(shù)值的大小,得到最大者為f(3)=12,最小者為f(2)=-13.所以函數(shù)f(x)=x4-8x2+3在閉區(qū)間[-1,3]上的最大值為f(3)=12,最小值為f(2)=-13.99100本次課程結(jié)束第六節(jié)

函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練計(jì)算函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)掌握函數(shù)曲線上凹、下凹的定義掌握函數(shù)曲線凹向的判斷方法031.函數(shù)曲線與其切線的位置關(guān)系在討論可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值的基礎(chǔ)上,往往還要討論函數(shù)曲線的彎曲情況,即討論函數(shù)曲線與其切線在位置上的關(guān)系.103一、函數(shù)曲線的凹向區(qū)間函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間(a,c)內(nèi)向上彎曲,這時(shí)曲線弧AC位于其上任意一點(diǎn)處切線的上方函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間(c,b)內(nèi)向下彎曲,這時(shí)曲線弧CB位于其上任意一點(diǎn)處切線的下方而函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)C(c,f(c))是曲線y=f(x)彎曲方向改變的分界點(diǎn).1042.函數(shù)曲線的凹向區(qū)間定義3.2已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)可導(dǎo),若函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間J內(nèi)位于其上任意一點(diǎn)處切線的上方,則稱函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間J內(nèi)上凹,開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間若函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間J內(nèi)位于其上任意一點(diǎn)處切線的下方,則稱函數(shù)曲線y=f(x)在開區(qū)間J內(nèi)下凹,開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的下凹區(qū)間經(jīng)過深入的討論可知:函數(shù)曲線的凹向與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)正負(fù)號有著緊密的聯(lián)系.105二、函數(shù)曲線的凹向判定方法1.定理3.7已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間J內(nèi)二階可導(dǎo),那么:(1)如果在開區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)恒為正,則開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(2)如果在開區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)恒為負(fù),則開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的下凹區(qū)間1062.推論如果在開區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)恒非負(fù)(或恒非正),且使得二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的點(diǎn)x只是一些孤立的點(diǎn),則開區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(或下凹區(qū)間).107三、函數(shù)曲線的拐點(diǎn)1.定義3.3在函數(shù)曲線y=f(x)上,凹向改變的分界點(diǎn)稱為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn).對于二階可導(dǎo)函數(shù)f(x),函數(shù)曲線y=f(x)在其拐點(diǎn)(x0,f(x0))左右的凹向改變,即在拐點(diǎn)橫坐標(biāo)x0左右二階導(dǎo)數(shù)f″(x)變號,因而二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)=0,說明拐點(diǎn)橫坐標(biāo)x0一定是二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的根但在二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的根左右,若二階導(dǎo)數(shù)f″(x)不變號,意味著函數(shù)曲線y=f(x)在對應(yīng)點(diǎn)左右的凹向不改變,則這個(gè)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的根不是拐點(diǎn)橫坐標(biāo).1082.函數(shù)曲線的拐點(diǎn)與二階導(dǎo)數(shù)由此可知:對于二階可導(dǎo)函數(shù),函數(shù)曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo)一定為二階導(dǎo)數(shù)等于零的根,但二階導(dǎo)數(shù)等于零的根不一定為函數(shù)曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo),二階導(dǎo)數(shù)等于零的根是否為函數(shù)曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo)與二階導(dǎo)數(shù)在其左右變號不變號有著緊密的聯(lián)系.1093.定理3.8已知函數(shù)f(x)二階可導(dǎo),點(diǎn)x0為二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的根,那么:(1)如果在點(diǎn)x0左右二階導(dǎo)數(shù)f″(x)變號,則點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn);(2)如果在點(diǎn)x0左右二階導(dǎo)數(shù)f″(x)不變號,則點(diǎn)(x0,f(x0))不為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn).1104.求函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)步驟在函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)時(shí),求函數(shù)曲線y=f(x)的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)的步驟如下:步驟1確定二階可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D;步驟2計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)、二階導(dǎo)數(shù)f″(x);步驟3在定義域D內(nèi),若二階導(dǎo)數(shù)f″(x)恒非負(fù)(或恒非正),則函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(或下凹區(qū)間)為定義域D,這時(shí)當(dāng)然無拐點(diǎn).否則令二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0,求出全部根,并轉(zhuǎn)入步驟4;111步驟4二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的全部根將定義域D分成幾個(gè)開區(qū)間,列表判斷在這幾個(gè)開區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的正負(fù)號,于是確定函數(shù)曲線y=f(x)的凹向區(qū)間、拐點(diǎn)橫坐標(biāo),計(jì)算拐點(diǎn)橫坐標(biāo)處的函數(shù)值即為拐點(diǎn)縱坐標(biāo).上凹用記號∪表示,下凹用記號∩表示.112例1求函數(shù)曲線y=x+lnx的凹向區(qū)間與拐點(diǎn).解:函數(shù)定義域D=(0,+∞),

計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)

說明在定義域D=(0,+∞)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)y″恒為負(fù),所以函數(shù)曲線y=x+lnx的下凹區(qū)間為定義域D=(0,+∞);無拐點(diǎn).113例2求函數(shù)曲線y=6x2-x3的凹向區(qū)間與拐點(diǎn).解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),

計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)y'=12x-3x2y″=12-6x令二階導(dǎo)數(shù)y″=0,得到根x=2.列表如表114x(-∞,2)2(2,+∞)y″+0-y=f(x)∪拐點(diǎn)(2,16)∩所以函數(shù)曲線y=6x2-x3的上凹區(qū)間為(-∞,2),下凹區(qū)間為(2,+∞);拐點(diǎn)為(2,16).115例3求函數(shù)曲線y=(x2-2)ex的凹向區(qū)間與拐點(diǎn).解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)y'=2xex+(x2-2)ex=(x2+2x-2)exy″=(2x+2)ex+(x2+2x-2)ex=(x2+4x)ex令二階導(dǎo)數(shù)y″=0,得到根x=-4與x=0.列表如表116x(-∞,-4)-4(-4,0)0(0,+∞)y″+0-0+y=f(x)∪拐點(diǎn)(-4,14e-4)∩拐點(diǎn)(0,-2)∪所以函數(shù)曲線y=(x2-2)ex的上凹區(qū)間為(-∞,-4),(0,+∞),下凹區(qū)間為(-4,0);拐點(diǎn)為(-4,14e-4),(0,-2).117例4求函數(shù)y=x3-3x2+1的單調(diào)區(qū)間與極值及函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn).解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)y'=3x2-6x令一階導(dǎo)數(shù)y'=0,得到駐點(diǎn)x=0與x=2.列表如表118x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)y'+0-0+y↗極大值1↘極小值-3↗計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)y″=6x-6令二階導(dǎo)數(shù)y″=0,得到根x=1.列表如表119x(-∞,1)1(1,+∞)y″-0+y=f(x)∩拐點(diǎn)(1,-1)∪所以函數(shù)y=x3-3x2+1的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞),單調(diào)減少區(qū)間為(0,2);極大值為y|x=0=1，極小值為y|x=2=3函數(shù)曲線y=x3-3x2+1的下凹區(qū)間為(-∞,1),上凹區(qū)間為(1,+∞);拐點(diǎn)為(1,-1).120例5

解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

令一階導(dǎo)數(shù)y'=0,得到駐點(diǎn)x=0.列表如表121x(-∞,0)0(0,+∞)y'+0-y↗極大值1↘計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)

122令二階導(dǎo)數(shù)y″=0,得到根x=-1與x=1.列表如表x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y″+0-0+y=f(x)∪∩∪123

極大值為y|x=0=1

124125本次課程結(jié)束第七節(jié)

幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練求出幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的最優(yōu)解了解幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化的類型掌握幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)優(yōu)化的計(jì)算步驟03一、幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化求函數(shù)的最值點(diǎn)也稱為函數(shù)的優(yōu)化,求最值點(diǎn)的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)的最值點(diǎn)稱為最優(yōu)解,目標(biāo)函數(shù)的最值稱為最優(yōu)值.1.幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化的類型有兩種:類型1求使得消耗為最小的最優(yōu)解類型2求使得效益為最大的最優(yōu)解.1282.幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)優(yōu)化的求解步驟如下:步驟1根據(jù)實(shí)際問題的具體情況,確定自變量與因變量,建立它們之間的函數(shù)關(guān)系即目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式;步驟2求目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn),往往也為最值點(diǎn),即得最優(yōu)解.129例1

一塊正方形紙板的邊長為a,將其四角各截去一個(gè)大小相同的邊長為x的小正方形,再將四邊折起做成一個(gè)無蓋方盒,問所截小正方形邊長x為多少時(shí),才能使得無蓋方盒容積V最大?130解:已設(shè)所截小正方形邊長為x,從而無蓋方盒底邊長為a-2x,如圖自變量為所截小正方形邊長x,因變量為無蓋方盒容積V.由于盒底面積為(a-2x)2,盒高為x,于是無蓋方盒容積即目標(biāo)函數(shù)為V=V(x)=x(a-2x)2

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計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)