2022年中考數(shù)學復習之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：二次函數(shù)（10

題）

一.解答題（共10小題）

1.（2022?南崗區(qū)模擬）已知：拋物線y=-L（x+?）（x-7）交x軸于A、B（A左B右）,

2

交y軸正半軸于點C,且O8=OC.

（1）如圖1,求拋物線的解析式；

（2）如圖2,點P為第一象限拋物線上一點，連接4P,AP交y軸于點。，設(shè)P的橫坐

標為加，CQ的長為d,求d與加的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量機的取值范圍）；

（3）如圖3,在（2）的條件下，過點P作軸于點E,延長EP至點G,使得PG

=3CE,連接CG交AP于點F,且/AFC=45°,連接AG交拋物線于T,求點T的坐

2.（2021?桃江縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=（6,。為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A

（3,1）,點C（0,4）,頂點為點M,過點A作A8〃x軸，交y軸于點。，交該二次函

數(shù)圖象于點8,連結(jié)BC.

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；

（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移機（機＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的

頂點落在aABC的內(nèi)部（不包括△A8C的邊界），求機的取值范圍；

（3）在直線AC上是否存在這樣的點P,使得△PCMSABOC,若存在，求出點P的坐

標；若不存在，請說明理由.

3.(2021?臨洲縣模擬)如圖1,拋物線y=a/+bx+”的圖象與x軸交于A(-1,0),B兩

3

點，過點C(l,2).動點。從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB方向運動，

設(shè)運動的時間為/秒.

(1)求拋物線的表達式；

3

(2)過。作OE_LAB交4c于點E,連接BE.當1=3時，求ABCE的面積；

2

(3)如圖2,點尸(2,1)在拋物線上，連接AF,CF.

①判斷△4CF的形狀并說明理由；

②當/=立時，連接CC,在拋物線上存在點P,使得NACP=NQCF,求此時直線CP與

2

x軸的交點。的坐標.

圖1圖2

4.(2021?遠安縣二模)如圖，點A(-1,0)、B(2,0)和E(0,2),拋物線/：y=^

4

-x+c經(jīng)過A點.

(1)請計算：c=.

(2)拋物線/上是否存在點M使A、B、N、E四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，若存

在，請求出N點的坐標，若不存在，請說明理由.

(3)拋物線在第一象限內(nèi)的部分是否存在一點。，使得EB平分NAED?若存在，求出

點。的坐標；若不存在，說明理由.

-2),與x軸分別交于點8(3,0)和點A,且tan/C4O=l.

(1)求拋物線解析式.

(2)拋物線上是否存在一點。，使得若存在，請求出點。坐標，若不

存在，請說明理由；

(3)拋物線的對稱軸交x軸于點。，在y軸上是否存在一個點P,使返PC+P。值最小,

2

若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由.

6.(2021?寧波模擬)如圖，二次函數(shù)y="(x+1)(x-3)(a>0)的圖象與x軸交于點A,

B(A在B的左邊)，與y軸交于點C,點P是二次函數(shù)圖象上一動點.

(1)若點C的坐標為(0,-3),求二次函數(shù)及直線8C的函數(shù)關(guān)系式.

(2)如圖①，在(1)的條件下，若點P在第四象限，過P作PQ〃AC,交直線8c于

點。，求線段PQ長的最大值.

(3)如圖②，若點P在第一象限，且△ABP有AABC相似，求點P的坐標.

7.(2021?江都區(qū)校級模擬)如圖，已知拋物線)，="2+版-3與x軸交于A(-2,0)、B(6,

0)兩點，與y軸交于C點，設(shè)拋物線的頂點為。.過點。作OELx軸，垂足為E.P

為線段OE上一動點，F(xiàn)(m,0)為x軸上一點，且PCLPf

(1)求拋物線的解析式；

(2)①當點尸與點。重合時，求m的值；

②在①的條件下，將△CO尸繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°并平移，得到△CIOI/I,點C,

O,F的對應點分別是點Ci,01,Fi,若△CIOIFI的兩個頂點恰好落在拋物線上，求點

Fi的坐標；

(3)當點尸在線段OE上運動時，直接寫出山的最大值和最小值.

備用圖

8.(2021?和平區(qū)二模)拋物線y=-4+丘y?過點A(-1,0)和點8(3,0),與y軸交

2

于點C,頂點為點D.

(I)求點C、D的坐標.

(II)點E是線段OB上一動點，過點E作直線軸，交拋物線于點M,連接并

延長交y軸于點N,連接AM,OM.若aAEM的面積是△MON面積的2倍，求點E的

坐標；

(III)拋物線上一點7,點T的橫坐標是-3,連接BT,與y軸交于點P,點Q是線段

47上一動點(不與點4,點7重合).將△BPQ沿P0所在直線翻折，得到△FPQ.當

△FPQ與ATPQ重疊部分的面積是△"Q面積的2時，求線段TQ的長度.

4

9.(2021?吉林二模)如圖，拋物線y=a(x+2)2-9a(40)與x軸相交于A,B兩點(點

A在點3的左側(cè))，頂點為C,連接2C.

(1)直接寫出點C的坐標(用含a的式子表示)；

(2)求點B的坐標；

(3)以BC為邊，在BC邊的右下方作正方形8CQE,設(shè)點。的坐標為(相，〃).

①當/A8C=30°時，求點。的坐標；

②當/ABC=45°時，直接寫出點。的坐標；

10.(2021?遼寧模擬)已知拋物線),=/+fer+c經(jīng)過點A(-6,0)、8(2,0)和C(0,3),

(2)當SADAE=2S_MCD時，求點。的坐標；

4

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在點P,使得△用。中的一個角等于2/8A。?

若存在，直接寫出點P的坐標：若不存在，請說明理由.

2022年中考數(shù)學復習之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：二次函數(shù)（10

題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2022?南崗區(qū)模擬）已知：拋物線），=-JL（X+6（x-7）交x軸于A、B（A左8右），

2

交y軸正半軸于點C,且08=OC.

（1）如圖1,求拋物線的解析式；

（2）如圖2,點P為第一象限拋物線上一點，連接AP,AP交y軸于點。，設(shè)P的橫坐

標為C。的長為d,求d與機的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量，〃的取值范圍）；

（3）如圖3,在（2）的條件下，過點P作軸于點E,延長EP至點G,使得PG

=3CE,連接CG交4P于點R且/AFC=45°,連接AG交拋物線于7,求點T的坐

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；待定系數(shù)法；函數(shù)的綜合應用；幾何直觀；運

算能力；推理能力；模型思想；應用意識.

【分析】（1）由圖象可得B點坐標，代入函數(shù)解析數(shù)即可求解；

（2）表示出點P坐標，由正切公式可表示出d與〃?的關(guān)系，即可求出；

（3）作出輔助線，得到。CGPW,利用正切公式求出，〃與々的值，得到G點坐標，然后

表示出NGAB的正切值，從而求出7點坐標.

【解答】解：（1）當y=0時，-（x+&）（x-7）=0,

解得:x=-k或7,

.?.點B的坐標為(7,0),A(-k,0),

■:OB=OC,

：.OC=OB=7,

.,.點C的坐標為(0,7),

將點C的坐標代入拋物線表達式得：-(0+k)(0-7)=7,

解得：k=2,

-'-y=-(x+2)(x-7)=-f+x+7,

故拋物線的表達式為y=-/+x+7；

(2)過點尸作PKLA8與點K,PELy軸于點E,如圖1,

-A(x+2)(x-7),

2

:?P(機,-—(加+2)(m-7)),A(-20),

2

**?AK="z+2,

口MA(m+2)(m-7)”

tanZPAB=^-=---------------=—m

AKm+22

：.DO=AO'tanZPAB=2(ZlHl)=7-m

2

：.CD=7-(7-w)=m,

??d~~tn.

J

圖1

(3)過點C作WC_LE。使得WD=PD,TLA.AB,連接W￡>,WP,

設(shè)EC=k,

則PG=3k,

'：ZWCD=ZDEP,CD=EP,WD=PD,

.?.△WCD空△￡>￡■「,

則△PWQ為等腰直角三角形，

：.ZWPD=45°=NCFD,

：.WP//CG,

???四邊形CGPW為平行四邊形，

JCW=PG=3k=ED,

:?CD=2k=PE,

.\tanZAPE=^-=—,

PE2

由(2)可得tanN必8=二55>,

2

???7-m—_―3,

22

.*.w=4,k=2,

；?EO=7+2=9,EG=\O,

：.G(10,9),A(-2,0),

tanZGAB=-5-=—,

124

再設(shè)T坐標為(n-1(r+2)(r-7)),

2

則tan/7^B=.7-==S,

24

,L11

2

：.T(H,至).

28

【點評】本題主要考查二次函數(shù)綜合運用能力，涉及二次函數(shù)圖象與解析式、平行四邊

形的證明和正切公式，難度較大，屬于中考壓軸題，第（3）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊

形，運用正切公式求解.

2.(2021?桃江縣模擬)如圖，已知二次函數(shù)y=-/+bx+c(6,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點A

(3,1),點C(0,4),頂點為點M,過點A作軸，交)，軸于點。，交該二次函

數(shù)圖象于點8,連結(jié)BC.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；

(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移〃？(;n>0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的

頂點落在aABC的內(nèi)部(不包括△ABC的邊界)，求，〃的取值范圍；

(3)在直線4c上是否存在這樣的點P,使得△PCA/S^BOC,若存在，求出點P的坐

【專題】一次函數(shù)及其應用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；等腰三角形與直角三角形；圖形

的相似；運算能力；推理能力.

【分析】(1)將點A和點C坐標代入二次函數(shù)關(guān)系式，從而求得從c,進而求得關(guān)系式

及M點坐標；

(2)求出AC的關(guān)系式，將x=l代入，進而求得，"的范圍；

(3)先證得/MCP=90°,進而根據(jù)史=里求得CP,進而求得點P的坐標.

CPBD

【解答】解：(1)由題意得，

f-9+3b+c=1

Ic=4

.fb=2

1c=4

...二次函數(shù)的解析式是：y=-f+2x+4,

；y=-(x-1)2+5,

...點M(1,5)；

(2)VA(3,1),C(0,4),

直線AC的解析式是：y=-x+4,

當x=l時，y—-1+4=3,

(1,5),A(3,1),

：.2<m<4i

(3)存在,

如圖1,

?.,點A(3,1),拋物線對稱軸是：x=l,

：.B(-1,1),

：.BD=\,

當點P在AC上時，作MF±y軸于F,作PE_Ly軸于E,

?.?點M(1,5),C(0,4),

；.FM=CF=1,

VZA/FC=90°,

:.NFCN=45°,CM=版,

同理可得：ZACD=90°,

.?./MCP=90°,

?.?/MCP=/BOC=90°,

，當里=空時，APCMs叢BDC,

BDPC

即：3=亞，

1PC

；.PC=返，

2_

.*.C￡=PE=PC?sin450=退_x近=1，

323

當x=-工時，y=--L+4=Al,

333

.?.點P(1,11),

33

如圖2,

當點P在AC的延長線上時,

由對稱性可得,

PC=CP'=叵

3

同上可得：p(-X迫),

32

綜上所述：P(1,11)或(1,4

3333

【點評】本題考查了求一次函數(shù)，二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰

直角三角形性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)相似三角形和函數(shù)的基礎(chǔ)知識.

3.(2021?臨濟縣模擬)如圖1,拋物線)=/+云+色的圖象與x軸交于A(-1,0),8兩

3

點，過點C(l,2).動點。從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿4B方向運動，

設(shè)運動的時間為r秒.

(1)求拋物線?的表達式；

3

(2)過。作交AC于點E,連接當f=3時，求△8CE的面積；

2

(3)如圖2,點F(2,1)在拋物線上，連接AF,CF.

①判斷△ACF的形狀并說明理由；

②當f=5時，連接C。，在拋物線上存在點P,使得/ACP=/DCF,求此時直線CP與

2

x軸的交點。的坐標.

y

I「

/O\DB\飛ro\DB\：

圖1圖2

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】分類討論；方程思想；待定系數(shù)法；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；函數(shù)的綜合應用；

應用意識.

【分析】(1)用待定系數(shù)法即得yu-l+x+S；

33

(2)由y=中，得8(5,0),AB=—,即知Sz\ABC=2A8*yc=L,由A(-

332222

1,0),C(l,2)得直線AC解析式是y=x+l,當/=2時，D(A,0),即得E(工，3),

2222

S&ABE—^AB'DE——,故S^BCE—S^ABC-S^ABE——,

288

(3)①由A(-1,0),C(1,2),F(2,1),可得AC2+CF2=A〃2,即得△ACF是直

角三角形；

②(I)當CP在4c右側(cè)時，過C作C”_Lx軸于H,由4(-1,0),C(1,2),A”

=2=677,得/AC”=45°,即有N”CF=45°=NACH,根據(jù)NACQ=NOCF,知C”

平分/OCQ,故DH=QH,可得直線CP與x軸的交點。的坐標為(工，0)：(II)當

一2

CP在AC左側(cè)時，作。關(guān)于直線AC的對稱點作直線CM交拋物線于P,由對稱性

知此時/ACM=/ACQ=/OCF,直線CM與x軸交點2是滿足條件的點，設(shè)M(機，n),

根據(jù)AM=AQ,CM=CQ列方程組可解得M(-1,3),從而可得直線CM解析式為y

2

=1+工，即得Q，(-7,0).

44

【解答】解：(1)將A(-1,0),S(1,2)代入y=o?+公+立得:

3

’5

a-b+方二。(2

5,解得「3,

a+b+y=2b=l

y=--^?+%+—；

33

(2)在y=-2/+工+互中，令y=0得x=-1或x=互，

332

：.B(A,0),

2

，AB=工，

2

VC(1,2),

2222

由A(-1,0),C(1,2)得直線AC解析式是y=x+l,

當時，AO=3,

22

:.D(A,0),

2

在y=x+l中，令x=1＞得y=3,

22

:.E(A,3),

22

.'?SAAB￡=—

22228

'?S&BCE—SMBC-S&ABE----=1-,

288

答：ABCE的面積是工；

8

(3)①：A(-1,0),C(1,2),F(2,1),

.'.AC2=3,A產(chǎn)=10,C/2=2,

：.AC2+CF2=AF2,

.?.△ACF是直角三角形；

②(I)當CP在AC右側(cè)時，過C作CH_Lx軸于H,如圖:

VA(-1,0),C(1,2),

：.AH=2=CH,

；./ACH=45°,

由①知/ACF=90°,

AZ//CF=45°=ZACH,

,：ZACQ=ZDCF,

：.ZQCH=ZDCH,即CH平分NOCQ,

：.DH=QH,

?當r=5時，AD=L,

22

：.Dao）,

2

：.DH=OD-OH=^--\=X=QH,

22

OQ=OH-QH=]-A=A,

22

.?.此時直線CP與x軸的交點。的坐標為（工，（））；

2

（II）當CP在AC左側(cè)時，作。關(guān)于直線4c的對稱點M,作直線CM交拋物線于P,

由對稱性知此時NACM=NACQ=NOCF,直線CM與x軸交點是滿足條件的點，如

"：AM=AQ,CM=CQ,

(m+1)2+n2=(2-+l)2

(m-l)2+(n-2)2=(2+(2-0)2

r▲戶i

解得11n-2或3，

n=011節(jié)

AM(-1,3),

2

由M(-1,3),c(1,2)得直線CM解析式為y=L+工，

244

令丁=0得工=-7,

：.Q(-7,0),

綜上所述，直線CP與x軸的交點。的坐標：(1，0)或(-7,0).

2

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、對稱變換等知識，

解題的關(guān)鍵是求出"的坐標.

4.(2021?遠安縣二模)如圖，點A(-1,0)、B(2,0)和E(0,2),拋物線/：丫=2、岸

4

-x+c經(jīng)過A點.

(1)請計算：c=-3-.

一「

(2)拋物線/上是否存在點N,使A、B、N、E四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，若存

在，請求出N點的坐標，若不存在，請說明理由.

(3)拋物線在第一象限內(nèi)的部分是否存在一點。，使得EB平分NAED?若存在,求出

點。的坐標；若不存在，說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】分類討論；待定系數(shù)法；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；函數(shù)的綜合應用：多邊形與

平行四邊形；應用意識.

【分析】(1)用待定系數(shù)法可得c=-工；

4

(2)設(shè)N(m,-3,n2-m-2.),又A(-1,0),B(2,0)、E(0,2),分三種情況：

44

①以M4、BE為對角線，則NA、BE的中點重合，可得N(3,2)；②以NB、4E為對角

m+2=-l+0

線，則NB、AE的中點重合，由(327無解知這種情況不存在；③以NE、AB

為對角線，則NE、AB的中點重合，可解得N(l,-2)；

(3)作點A關(guān)于直線BE的對稱點4,作直線A'E交第一象限的拋物線于D,由0B=

0E得NOBE=NOEB=45：可得NA84=90°,即知4(2,3),設(shè)直線A'E解析式

y=>-^-x+2

為y=fcv+2,可得直線A'E解析式為y=L+2,由<可得0(1+企，立近).

2_3272

y?-x^

【解答】解：(1)-x+c經(jīng)過A(-1,0),

4

.,.3+i+c=o,

4

.'.c--―,

4

故答案為：—-：

4

(2)拋物線/上存在點N,使A、B、N、E四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，理由如下:

由(1)知c=-工，

4

拋物線/解析式為：工，

-44

設(shè)N(m3%2_巾_工)，又A(-1,0)、B(2,0)、E(0,2),

44

①以M4、BE為對角線，則NA、BE的中點重合，

m-1=2+0

?,*<2o79

-rm-m-7+O=0+2

44

解得〃z=3,

：.N(3,2)；

②以NB、AE為對角線，則N8、AE的中點重合，

m+2=-l+0

?“327)

7m一嗝二2

同時滿足兩個方程的m不存在，

,這種情況不存在；

③以NE、48為對角線，則NE、A8的中點重合，

m+0=-l+2

*,*<297，

-rm-m-y+2=0+0

44

解得m—1,

：.N（1,-2）,

綜上所述，N的坐標為（3,2）或（1,-2）；

（3）拋物線在第一象限內(nèi)的部分存在一點O,使得EB平分NAEZ）,理由如下:

作點A關(guān)于直線8E的對稱點A,作直線AE交第一象限的拋物線于。，如圖：

VB(2,0),E(0,2),

:.OB=OE,

；.NOBE=NOEB=45°,

4關(guān)于直線BE對稱，

；.NABE=/#BE=45°,AB=4B=3,

ZABA'=90°,

(2,3),

設(shè)直線A￡解析式為丫=履+2,將4'(2,3）代入得：

2k+2=3,

解得k=l,

2

...直線A'E解析式為y=Xx+2,

2

']

y節(jié)x+2fx=l+V6x=l-Vs

由327得港近或yW“（不在第一象限，舍去）,

2

：.D(1+五).

2

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形性質(zhì)及應用、軸對

稱等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標及相關(guān)線段的長度.

5.(2021?南山區(qū)校級三模)如圖，已知拋物線y=ar2+/jx+c(a#0)與)，軸相交于點C(0,

-2),與x軸分別交于點8(3,0)和點A,且tan/C4O=l.

(1)求拋物線解析式.

(2)拋物線上是否存在一點Q,使得NBAQ=NABC,若存在，請求出點。坐標，若不

存在，請說明理由；

(3)拋物線的對稱軸交x軸于點￡),在y軸上是否存在一個點P,使亞PC+PZ)值最小,

2

若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】待定系數(shù)法；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；函數(shù)的綜合應用；線段、角、相交線與

平行線；幾何直觀；應用意識.

【分析】(1)由C(0,-2),tanZCAO=\,可得A(-2,0),用待定系數(shù)法即得拋物

線解析式為-Xr-2；

-33

(2)過A作4W〃BC交y軸于M,交拋物線于。，作M關(guān)于x軸的對稱點作直線

AM交拋物線于Q，，由AM//BC,得即知Q是滿足題意的點，根據(jù)B

(3,0),C(0,-2),得直線8C解析式是y=&-2,設(shè)直線4M解析式為y=2x+%,

33

將A(-2,0)代入可得直線AM解析式為y=2r+9，M(0,匡)，解＜

-333

即得。(5,」屋)，根據(jù)M、M1關(guān)于x軸對稱，知2是滿足題意的點，用待定系數(shù)法可得

3

(_24

y=-7-x^7

直線股為y=-2r-生解/即得Q(l,-2)；

33121。

|yx-JX-2

(3)過P作PH_LAC于”，過。作。"_LAC于"，交y軸于P,由-L-2

33

=A(x-1)2-25,可得。(工，0),因OA=OC=2,故△AOC是等腰直角三角形,

32122

可得△PCH是等腰直角三角形，尸”=返產(chǎn)。，即知亞PC+PO最小即是PH+PC最小，

22

故當P運動到P,H和”■重合時，返?PC+PO的最小，最小值是。"，由AZ)=§,即

22

得。"=三亞，即亞PC+PD的最小值是回巨.

424

【解答】解：(1)VC(0,-2),

；.OC=2,

VtanZCAO=l,

-0C-.

0A

.?.04=2,A(-2,0),

將A(-2,0),B(3,0),C(0,-2)代入y=a/+bx+c得：

［小

4a-2b+c=03

<9a+3b+c=0>解得｛C

c=-2§

c=-2

拋物線解析式為尸12-Xr-2;

33

(2)存在一點0,使得乙R4Q=乙4BC,理由如下：

過A作AM〃BC交y軸于M,交拋物線于。，作M關(guān)于x軸的對稱點M1,作直線AM

交拋物線于。'，如圖：

'JAM//BC,

：.ZQAB=ZABC,即。是滿足題意的點，

:B(3,0),C(0,-2),

直線BC解析式是)=&-2,

3

設(shè)直線AM解析式為y=2x+m,將A(-2,0)代入得-生t7*=0,

二直線AM解析式為y=2r+_l,M(0,A),

333

解33得卜=-2(與A重合，舍去)或14,

_121序v=0

：.Q(5,11),

3

■：M.M關(guān)于x軸對稱，

AAQAB=ZQAB=ZABC,Af(0,-A),

。'是滿足題意的點，

設(shè)直線A。'為-匹，將A(-2,0)代入得-2A-g=0,

直線A。'為y=-2r-―,

33

x=-2(舍去)或

y=0y=-2

：.Q(1,-2)；

綜上所述，點Q坐標是(5,工1)或(1,-2)；

3

(3)在y軸上存在一個點P,使亞PC+P加值最小，理由如下：

2

過P作P”_LAC于”，過。作O/f_LAC于"，交y軸于P,如圖:

2

：.D(工，0),

2

\'OA=OC=2,

.??△AOC是等腰直角三角形，

：.ZOCA=45°=ZOAC,

.?.△PCH是等腰直角三角形，

:.PH="^PC,

_2

:.返-PC+PD最小即是PH+PD最小，

2

...當P運動到戶，，和”1重合時，亞PC+PQ的最小，最小值是。

2

：NOAC=45°,DH'±AC,

...△AOH1是等腰直角三角形，

：.DH=^-AD,

2

VA(-2,0),D(X0),

2

：.AD=^-,

2

.?.。笈=至退_,即返PC+尸。的最小值是旦巨.

424

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形性質(zhì)及應用等

知識，解題的關(guān)鍵是掌握解"胡不歸”問題的方法.

6.(2021?寧波模擬)如圖，二次函數(shù)y=a(x+1)(x-3)(a>0)的圖象與x軸交于點A,

B(A在B的左邊)，與y軸交于點C,點P是二次函數(shù)圖象上一動點.

(1)若點C的坐標為(0,-3),求二次函數(shù)及直線8c的函數(shù)關(guān)系式.

(2)如圖①，在(1)的條件下，若點P在第四象限，過P作PQ〃AC,交直線BC于

點Q，求線段PQ長的最大值.

(3)如圖②，若點P在第一象限，且△A8P有△ABC相似，求點尸的坐標.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】一次函數(shù)及其應用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；圖形的相似；運算能力；推理能

力.

【分析】(1)將點C代入函數(shù)關(guān)系式求得“，進而求得結(jié)果；

(2)作于。，交BC于E,作。凡LP。于尸，推出當PE最大時，PQ最大，先

求得PE的最大值，進而求得尸。的最大值；

(3)分為和當時，作尸。_LAB,設(shè)P

(m,a(;n+1),(>n-3)),根據(jù)tan/%B=tan/ABC,得出且L=°k,進而求得，”的值，

AD0B

從而表示出P點坐標，根據(jù)迪=區(qū)列出“的關(guān)系式，求得。的值，進而求得P點坐標，

APAB

當△54CsZ\P4B時，同樣方法求得結(jié)果.

【解答】解：⑴將C(0,-3)代入尸a(x+l)?(x-3)得，

-3=a?(-3),

??〃=1,

(x+1)*(x-3)=/-2x-3,

由(x+l)?(x-3)=0得，

xi=-1,X2=3,

：.B(3,0),

設(shè)8c的函數(shù)關(guān)系式是：y=kx+b,

.fb=-3

r3k+b=。，

.*=-3,

Ik=l

.,.y=x-3；

作POJ_A8于。，交BC于E,作QF_LP￡>于F,

可得APFQSACOA,

???PF_-OC_——oJf

QFOA

：.PF=3QF,

VOB=OC=3,ZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

U：PD//OC,QF//OB.

：?NQEF=NOCB=45°,ZEQF=ZOBC=45°,

JZQEF=/EQF,

:.EF=QF,

'PE，

...當PE最大時，PF亦最大，此時P。最大，

設(shè)點P(m,m2-2m-3),ECm,m-3),

PE=-(/M2-2/n-3)=-(m-—)2+—,

24

當m=3時，PE跟大=9,

24

???。尸及大=工2后=且，PF地大=21，

4164

，PQ展大；

當△APBsaRAC時，ZABC^Zf^B,嶇=區(qū)

APAB

J.AP'BC^AB2,

作P￡)_LAB于。，設(shè)尸(%,a(m+l)*(m-3)),

tanZ^4B=tanZABC,

?PD=OC

**AD0B，

?軟(m+1)■(nr3)=3a

丁

?"=4,

：.P(4,5a),

：'AP=VPD2+AD2=5Va2+l,8c=33+i，

.*.15(a2+l)=16,(a>0),

15

3

如圖3,

當△BACs△刑B時，ZPAB=ZBAC,嶇=旭，

APAB

J.AP-AC^AB2,

/.tanZ/?4B=tanZBAC,

.PQ=PC,

??而0AJ

?a(m+1)?(m-3)3a

m+11

??/n=6,

：.P(6,21a),

(21a)2+72，V9a2+l=16>

3人,

7

：.P(6,34)，

綜上所述：P(4,4運)或(6,3A/7).

3

【點評】本題考查了求一次函數(shù)的關(guān)系式，求二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，相似三角形的正確分類和計算能力是解題的關(guān)鍵.

7.(2021?江都區(qū)校級模擬)如圖，已知拋物線y=o?+/；x-3與x軸交于A(-2,0)、B(6,

0)兩點，與y軸交于C點，設(shè)拋物線的頂點為D.過點D作DELx軸，垂足為E.P

為線段OE上一動點，F(xiàn)(m,0)為x軸上一點，且PC_LPF.

(1)求拋物線的解析式；

(2)①當點尸與點。重合時，求機的值；

②在①的條件下，將4C。尸繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°并平移，得到△CIOIFI,點C,

O,F的對應點分別是點。，01,Fi,若△OOiFi的兩個頂點恰好落在拋物線上，求點

Fi的坐標;

【專題】分類討論；待定系數(shù)法；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；函數(shù)的綜合應用；圖形的相

似；幾何直觀；應用意識.

【分析】(1)將A、B兩點坐標代入即可，

(2)①當點尸與點。重合時，過點。作GO〃x軸，過F點作y軸平行線交GO延長線

于點H,由△CGOSAOHF,求出?！?2,即可得根=4；

②按題意，將△COF繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CO尸，設(shè)平移后。I(x,y),

則Ci(x+3,y),Fi(x,y+4),分三種情況(I)當。1。經(jīng)平移后在拋物線上，得Fi

(X_t)，(II)當FC1經(jīng)平移后在拋物線上，得Fi(-11,也)，(III)當

2166144

經(jīng)平移后在拋物線上，因為Oi、Fi在豎直方向，故不成立；

(3)由力(2,-4),E(2,0),C(0,-3),點P為線段OE上一動點，F(xiàn)Cm,0)

為x軸上一點，且可得當點P與點。重合時，機=4,取得最大，隨著「向E

移動，機隨之變化，設(shè)存在一點P使機最小，設(shè)OF=m,則FE=2r〃；設(shè)EP=y,則

PQ—3-y,由EE=理1,即2-叱=工,可得加最小值上.

PQQC3-y28

【解答】解：(1)將A(-2,0)、B(6,0)代入拋物線解析式＞=蘇+公-3中得：

(1

,4a-2b-3=0,解得:a%,

_=

I36a+6b30,b-1

.?.該拋物線的解析式為：y^l^-x-3-.

-4

(2)①.。為拋物線產(chǎn)號7-3的頂點，

：.D(2,-4),

當點尸與點。重合時，過點。作GQ〃x軸，過F點作y軸平行線交G。延長線于點”,

如圖：

由題意易得：CG=\,GD=2,FH=4,而PC_LPF,即NCQF=90°,

:NCGD=/DHF=90°,ZCDG=90°-NFDH=NDFH,

：.^CGD^/\DHF,

?CG—GDpn1—2

DHHFDH4

:?DH=2,

而四邊形EOF”為矩形，

:?EF=DH=2,

/.OF=OE+EF=4fCPF(4,0),

777=4；

②按題意，將AC。尸繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AC。尸，如圖:

D

顯然此時C、。'、/三點都不在拋物線上，故需要將△。。下平移才能得到兩個頂點恰好

落在拋物線上，根據(jù)C、。'、尸三點特點，可設(shè)平移后01(x,y),則Ci(x+3,y),F\

(x,y+4),

(I)當01Ci經(jīng)平移后在拋物線上，把0i(x,y),Ci(x+3,y)代入Ar2-x-3

4

中：

f_l2Q

yvqx-x-3

19

y=^_(x+3)-(x+3)-3

解得：尸工，

2

故門(A,2),

216

(II)當FiCj經(jīng)平移后在拋物線上，把Fi(x,y+4),Ci(x+3,y)KAy^Xx2-x-3

4

中：

'12

y+4=—x-x-3

1n

yq(x+3)-(x+3)-3

解得：X=-—,

6

故Fi(-11,

6144

(III)當01為經(jīng)平移后在拋物線上，因為。1、后在豎直方向，故不成立.

綜上所述：Fl(1,9)或(-也，也)；

2166144

(3)VD(2,-4),E(2,0),C(0,-3),點P為線段DE上一動點,FCm,0)

為x軸上一點，且PC,尸F(xiàn),

...如(2)①中當點尸與點。重合時，，"=4,取得最大，

隨著P向E移動，相隨之變化，設(shè)存在一點P使機最小，如圖所示：

設(shè)。尸=機，貝I」FE=2-m；設(shè)EP=y,則PQ=3-y,

根據(jù)△FEPS/XPQC得：

理=里即2-衛(wèi)尸X,

PQQC3-y2

可得關(guān)系式：小=』(y-—)2+—,

2-28

vA>o,

2

.?.當y=3時，，〃取得最小值工，

-28

答：，〃的最大值為4,的最小值為工.

8

【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合性質(zhì)，屬于二次函數(shù)的綜合題，是中考壓軸題形，從

題干中篩選出有用條件，二次函數(shù)的綜合性質(zhì)，坐標的變化規(guī)律以及相似三角形知識點

靈活運用是解決本題的關(guān)鍵.

8.(2021?和平區(qū)二模)拋物線y=-2K+fcr+c過點A(-1,0)和點3(3,0),與y軸交

2

于點C,頂點為點D.

(I)求點C、。的坐標.

(II)點E是線段。8上一動點，過點E作直線軸，交拋物線于點M,連接并

延長交y軸于點N,連接AM,OM.若△AEM的面積是△MON面積的2倍，求點E的

坐標；

(III)拋物線上一點T,點T的橫坐標是-3,連接BT,與y軸交于點P,點Q是線段

4T上一動點(不與點4