第三章

章末復習課一、空間向量的概念及運算空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運算與向量共線的判斷、數(shù)量積運算、夾角公式、求模公式等．例1

(1)[多選題]下列命題中不正確的是(

)A．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反B．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同C．零向量是沒有方向的D．有向線段就是向量，向量是有向線段答案：(1)ACD

解析：(1)A中，當a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的，A不正確；B中，兩個有共同起點，而且相等的向量，其終點必相同，B正確；C中，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不確定，C不正確；D中，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故D不正確．故選ACD.

二、利用空間向量證明線、面的位置關(guān)系用空間向量判斷空間中線、面位置關(guān)系的類型與方法總結(jié)：(1)線線平行：證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．(2)線線垂直：證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量垂直．(3)線面平行：用向量證明線面平行的方法主要有：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量．(4)線面垂直：用向量證明線面垂直的方法主要有：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．(5)面面平行：①證明兩個平面的法向量平行(即共線向量)；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．(6)面面垂直：①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題．

例4

長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中點，求：(1)M到直線PQ的距離；(2)M到平面AB1P的距離．

跟蹤訓練4

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，BC＝2，E是PB上一點，且BE＝2EP，求點E到直線PD的距離．

五、利用空間向量解決探索性問題(1)對于存在判斷型問題的求解，應先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解或是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對于位置探索型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．角度1與線、面位置關(guān)系有關(guān)的探索性問題例5

在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，請說明理由．

(2)取AD的中點O，連接PO，CO，因為PA＝PD，所以PO⊥AD.因為PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因為CO?平面ABCD，所以PO⊥CO.因為AC＝CD，所以CO⊥AD.如圖，建立空間直角坐標系O-xyz，由題意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．

解析：(1)證明設(shè)A1C交AC1于點F，則F為A1C的中點，連接DF.因為D為BC的中點，所以在