第4講圓周運動天體的運動目標要求1.會分析常見圓周運動的向心力來源，并會處理圓周運動的問題。2.知道開普勒定律，會分析天體的運動規(guī)律，會比較衛(wèi)星的參量?？键c一圓周運動1．圓周運動的三種臨界情況(1)接觸面滑動臨界：Ff＝Fmax。(2)接觸面分離臨界：FN＝0。(3)繩恰好繃緊：FT＝0；繩恰好斷裂：FT達到繩子可承受的最大拉力。2．常見的圓周運動及臨界條件(1)水平面內(nèi)的圓周運動水平面內(nèi)動力學方程臨界情況示例水平轉(zhuǎn)盤上的物體Ff＝mω2r恰好發(fā)生滑動圓錐擺模型mgtanθ＝mrω2恰好離開接觸面(2)豎直面及傾斜面內(nèi)的圓周運動輕繩模型最高點：FT＋mg＝meq\f(v2,r)恰好通過最高點，繩的拉力恰好為0輕桿模型最高點：mg±F＝meq\f(v2,r)恰好通過最高點，桿對小球的力等于小球的重力帶電小球在疊加場中的圓周運動等效法關注六個位置的動力學方程，最高點、最低點、等效最高點、等效最低點，最左邊和最右邊位置恰好通過等效最高點，恰好做完整的圓周運動傾斜轉(zhuǎn)盤上的物體最高點：mgsinθ±Ff＝mω2r最低點Ff－mgsinθ＝mω2r恰好通過最低點例1(2023·北京卷·10)在太空實驗室中可以利用勻速圓周運動測量小球質(zhì)量。如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定于O點，另一端系一待測小球，使其繞O做勻速圓周運動，用力傳感器測得繩上的拉力為F，用停表測得小球轉(zhuǎn)過n圈所用的時間為t，用刻度尺測得O點到球心的距離為圓周運動的半徑R。下列說法正確的是()A．圓周運動軌道可處于任意平面內(nèi)B．小球的質(zhì)量為eq\f(FRt2,4π2n2)C．若誤將n－1圈記作n圈，則所得質(zhì)量偏大D．若測R時未計入小球半徑，則所得質(zhì)量偏小答案A解析空間站內(nèi)的物體都處于完全失重狀態(tài)，可知圓周運動的軌道可處于任意平面內(nèi)，故A正確；根據(jù)F＝mω2R，ω＝eq\f(2πn,t)，解得小球質(zhì)量m＝eq\f(Ft2,4π2n2R)，故B錯誤；若誤將n－1圈記作n圈，則得到的質(zhì)量偏小，故C錯誤；若測R時未計入小球的半徑，則R偏小，所得質(zhì)量偏大，故D錯誤。例2(2023·江蘇省南京市南京師大附中一模)如圖所示，壓縮機通過活塞在汽缸內(nèi)做往復運動來壓縮和輸送氣體，活塞的中心A與圓盤在同一平面內(nèi)，O為圓盤圓心，B為圓盤上一點，A、B處通過鉸鏈連接在輕桿兩端，圓盤繞過O點的軸做角速度為ω的勻速圓周運動。已知O、B間距離為r，AB桿長為L，則()A．L越大，活塞運動的范圍越大B．圓盤半徑越大，活塞運動的范圍越大C．當OB垂直于AB時，活塞速度為ωrD．當OB垂直于AO時，活塞速度為ωr答案D解析當B點在圓心左側水平位置時，活塞運動到最左位置，距離O點s1＝L＋r當B點在圓心右側水平位置時，活塞運動到最右位置，距離O點s2＝L－r所以活塞運動范圍為s1－s2＝2r此距離與L無關，與r成正比，與圓盤半徑無關，故A、B錯誤；圓盤B點速度vB＝rω當OB垂直于AB時，如圖甲所示此時B點的速度方向一定沿桿，則vA≠vB，故C錯誤；當OB垂直于AO時，如圖乙所示此時活塞速度方向與圓盤上B點速度方向相同，速度方向與桿的夾角θ相同，沿桿速度vBcosθ＝vAcosθ此時有vA＝vB＝rω，故D正確。例3很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時猶如踏著風火輪，格外亮眼。如圖甲是某種自行車氣門嘴燈，氣門嘴燈內(nèi)部開關結構如圖乙所示：彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為m的小滑塊(含觸點a)連接，當觸點a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發(fā)光，觸點b位于車輪邊緣。車輪靜止且氣門嘴燈在最低點時觸點a、b距離為L，彈簧勁度系數(shù)為eq\f(mg,L)，重力加速度大小為g，自行車輪胎半徑為R，不計開關中的一切摩擦，滑塊和觸點a、b均可視為質(zhì)點。(1)若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；(2)若自行車以eq\r(2gR)的速度勻速行駛，求車輪每轉(zhuǎn)一圈，氣門嘴燈的發(fā)光時間。答案(1)eq\r(3gR)(2)eq\f(π,2g)eq\r(2gR)解析(1)只要氣門嘴燈位于最高點時a、b接觸即可保證全程燈亮，彈簧原長時a、b間的距離為eq\f(mg,k)＋L＝2L氣門嘴燈位于最高點時恰好可以亮，則有eq\f(mv2,R)＝mg＋2kL＝3mg解得滿足要求的最小速度為v＝eq\r(3gR)(2)速度為eq\r(2gR)時輪子滾動的周期為T＝eq\f(2πR,\r(2gR))＝eq\f(π,g)eq\r(2gR)此速度下氣門嘴燈所需的向心力為F＝meq\f(\r(2gR)2,R)＝2mg，此力恰好等于a、b接觸時彈簧的彈力，即無重力參與向心力，對應與圓心等高的點，故當氣門嘴燈位于下半圓周時燈亮，即t＝eq\f(T,2)＝eq\f(π,2g)eq\r(2gR)。解決圓周運動問題的基本思路eq\x(\a\vs4\al\co1(分析物體受力情況，畫出受力,示意圖，確定向心力來源))→eq\x(\a\vs4\al\co1(利用平行四邊形定則、正交,分解法等表示出徑向合力))→eq\x(\a\vs4\al\co1(根據(jù)牛頓第二定律及,向心力公式列方程))考點二天體的運動1．開普勒定律理解(1)根據(jù)開普勒第二定律，行星在橢圓軌道上運動時，相等時間內(nèi)掃過的面積相等，則v1r1＝v2r2；(2)根據(jù)開普勒第三定律，eq\f(r3,T2)＝k，若為橢圓軌道，則r為半長軸，若為圓軌道，則r＝R；(3)運行過程中行星的機械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。2．衛(wèi)星的發(fā)射、運行及變軌在地面附近靜止忽略自轉(zhuǎn)：Geq\f(Mm,R2)＝mg，故GM＝gR2(黃金代換式)考慮自轉(zhuǎn)：兩極：Geq\f(Mm,R2)＝mg赤道：Geq\f(Mm,R2)＝mg0＋mω2R衛(wèi)星的發(fā)射地球的第一宇宙速度：v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s是最小的發(fā)射速度和最大的環(huán)繞速度(天體)衛(wèi)星在圓軌道上運行Geq\f(Mm,r2)＝Fn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(man→an＝\f(GM,r2)→an∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))軌高速低周期大變軌(1)由低軌變高軌，瞬時點火加速，穩(wěn)定在高軌道上時速度較小、動能較小、機械能較大；由高軌變低軌，反之(2)衛(wèi)星經(jīng)過兩個軌道的相切點，加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度(3)根據(jù)開普勒第三定律，半徑(或半長軸)越大，周期越長3.天體質(zhì)量和密度的計算例4(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我國綜合性太陽探測衛(wèi)星“夸父一號”成功發(fā)射，實現(xiàn)了對太陽探測的跨越式突破?！翱涓敢惶枴毙l(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，距地面高度約為720km，運行一圈所用時間約為100分鐘。如圖所示，為了隨時跟蹤和觀測太陽的活動，“夸父一號”在隨地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中，需要其軌道平面始終與太陽保持固定的取向，使太陽光能照射到“夸父一號”，下列說法正確的是()A．“夸父一號”的運行軌道平面平均每天轉(zhuǎn)動的角度約為1°B．“夸父一號”繞地球做圓周運動的速度大于7.9km/sC．“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．由題干信息，根據(jù)開普勒第三定律，可求出日地間平均距離答案A解析因為“夸父一號”軌道要始終保持“夸父一號”被太陽光照射到，則在一年之內(nèi)轉(zhuǎn)動360°角，即軌道平面平均每天約轉(zhuǎn)動1°，故A正確；第一宇宙速度是所有繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，則“夸父一號”的速度小于7.9km/s，故B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C錯誤；“夸父一號”繞地球轉(zhuǎn)動，地球繞太陽轉(zhuǎn)動，中心天體不同，則根據(jù)題中信息不能求解地球與太陽的距離，故D錯誤。例5(2023·江蘇南京市三模)2022年10月31日，搭載夢天實驗艙的長征五號B遙四運載火箭發(fā)射取得圓滿成功。實驗艙發(fā)射可簡化為三個軌道，如圖所示，先由近地圓軌道1進入橢圓軌道2，再調(diào)整至圓軌道3。軌道上A、B、C三點與地球中心在同一直線上，A、C兩點分別為軌道2的遠地點與近地點。下列說法正確的是()A．實驗艙在軌道2上C點的速度大于第一宇宙速度B．實驗艙在軌道2上運行的周期小于在軌道1上運行的周期C．實驗艙在軌道2上的A點和在軌道3上的B點受到的萬有引力相同D．實驗艙在軌道2上C點的速度小于在軌道3上B點的速度答案A解析軌道1為近地圓軌道，實驗艙運行的速度為第一宇宙速度，實驗艙由軌道1變?yōu)檐壍?，要做離心運動，因此在C點應該加速，所以在軌道2上C點的速度大于在軌道1上C點的速度，即實驗艙在軌道2上C點的速度大于第一宇宙速度，故A正確；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k可知軌道半徑越大，周期越大，所以實驗艙在軌道2上運行的周期大于在軌道1上運行的周期，故B錯誤；根據(jù)萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，可知實驗艙在軌道2上的A點和在軌道3上的B點受到的萬有引力大小相同，方向不同，故C錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))可知實驗艙在軌道1上運行的速度大于在軌道3上的速度，而實驗艙在軌道2上C點的速度大于實驗艙在軌道1上C點的速度，所以實驗艙在軌道2上C點的速度大于在軌道3上B點的速度，故D錯誤。例6(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出()A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4D．下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前答案B解析火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(r火3,r地3)＝eq\f(T火2,T地2)，可得eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(r火3,r地3))＝eq\f(3\r(3),2\r(2))，故A錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，速度大小均不變，當火星與地球相距最遠時，由于兩者的速度方向相反，故此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球表面根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(Mm,r2)＝mg，由于不知道火星和地球的質(zhì)量比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度，故C錯誤；火星和地球繞太陽勻速圓周運動，有ω火＝eq\f(2π,T火)，ω地＝eq\f(2π,T地)，要發(fā)生下一次火星沖日則有(eq\f(2π,T地)－eq\f(2π,T火))t＝2π，得t＝eq\f(T火T地,T火－T地)>T地，可知下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之后，故D錯誤。例7(2022·福建卷·4)2021年美國“星鏈”衛(wèi)星曾近距離接近我國運行在距地390km近圓軌道上的天宮空間站。為避免發(fā)生危險，天宮空間站實施了發(fā)動機點火變軌的緊急避碰措施。已知質(zhì)量為m的物體從距地心r處運動到無窮遠處克服地球引力所做的功為Geq\f(Mm,r)，式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量；現(xiàn)將空間站的質(zhì)量記為m0，變軌前后穩(wěn)定運行的軌道半徑分別記為r1、r2，如圖所示?？臻g站緊急避碰過程發(fā)動機做的功至少為()A.eq\f(1,2)GMm0(eq\f(1,r1)－eq\f(1,r2)) B．GMm0(eq\f(1,r1)－eq\f(1,r2))C.eq\f(3,2)GMm0(eq\f(1,r1)－eq\f(1,r2)) D．2GMm0(eq\f(1,r1)－eq\f(1,r2))答案A解析空間站緊急避碰的過程可簡化為加速、變軌、再加速的三個階段；空間站從軌道半徑r1變軌到半徑r2的過程，根據(jù)動能定理有W＋W引力＝ΔEk依題意可得引力做功W引力＝Geq\f(Mm0,r2)－Geq\f(Mm0,r1)萬有引力提供空間站在圓形軌道上做勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定律有Geq\f(Mm0,r2)＝m0eq\f(v2,r)空間站在軌道上運動的動能為Ek＝Geq\f(Mm0,2r)動能的變化量ΔEk＝Geq\f(Mm0,2r2)－Geq\f(Mm0,2r1)聯(lián)立解得W＝eq\f(GMm0,2)(eq\f(1,r1)－eq\f(1,r2))，故選A。1.(2023·江蘇連云港市模擬)如圖所示，螺旋測微器旋鈕轉(zhuǎn)動一周，旋鈕同時沿著軸線方向前進或后退一個螺距的距離。旋鈕上“0”刻線處A點的旋轉(zhuǎn)半徑約為5.0mm，內(nèi)部螺紋的螺距x＝0.5mm。若勻速轉(zhuǎn)動旋鈕，則A點繞軸線轉(zhuǎn)動的線速度和沿軸線移動的速度大小之比約為()A．10∶1 B．10π∶1C．20π∶1 D．20∶1答案C解析旋動旋鈕一圈，測微螺桿便沿著旋轉(zhuǎn)軸線方向前進或后退一個螺距的距離，A點做圓周運動的線速度為vA1＝eq\f(2πR,t)，A點水平移動的速度為vA2＝eq\f(x,t)，代入數(shù)據(jù)得eq\f(vA1,vA2)＝eq\f(20π,1)，故選C。2.(2023·江蘇省南京師范大學附屬中學一模)已知在地球赤道上空有一顆運動方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同的衛(wèi)星A，對地球赤道覆蓋的最大張角α＝60°，赤道上有一個衛(wèi)星監(jiān)測站B(圖中未畫出)。設地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，那么監(jiān)測站B能連續(xù)監(jiān)測到衛(wèi)星A的最長時間為()A.eq\f(2π,3)eq\r(\f(2R,g)) B.eq\f(4π,3)eq\r(\f(2R,g))C.eq\f(4πT\r(\f(2R,g)),3T－4π\(zhòng)r(\f(2R,g))) D.eq\f(2πT\r(\f(2R,g)),3T－2π\(zhòng)r(\f(2R,g)))答案C解析設地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星A的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T′2)r由題圖可知衛(wèi)星A的軌道半徑為r＝2R在地球表面根據(jù)萬有引力等于重力Geq\f(Mm,R2)＝mg聯(lián)立解得T′＝4πeq\r(\f(2R,g))如圖所示，衛(wèi)星A的通信信號視為沿直線傳播，由于地球遮擋，使衛(wèi)星A和地面監(jiān)測站B不能一直保持直接通信，也就監(jiān)測不到，當衛(wèi)星A與監(jiān)測站B的連線與赤道相切時即將離開可監(jiān)測范圍。設無遮擋時間為t，則它們轉(zhuǎn)過的角度之差最多為2θ時就不能通信，根據(jù)幾何關系可得cosθ＝eq\f(R,r)＝eq\f(R,2R)＝eq\f(1,2)則有eq\f(2π,T′)t－eq\f(2π,T)t＝2θ聯(lián)立以上解得t＝eq\f(4πT\r(\f(2R,g)),3T－4π\(zhòng)r(\f(2R,g)))故C正確，A、B、D錯誤。專題強化練[保分基礎練]1．(2023·江蘇卷·4)設想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運動的軌道上穩(wěn)定運行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是()A．質(zhì)量 B．向心力大小C．向心加速度大小 D．受到地球的萬有引力大小答案C解析根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度相同；因該衛(wèi)星的質(zhì)量與月球質(zhì)量不同，則向心力大小以及受地球的萬有引力大小均不相同，故選C。2．如圖甲所示是古代用牛車灌溉時的場景，其簡化圖如圖乙所示，已知A、B、C三個圓的半徑分別為rA、rB、rC，C每轉(zhuǎn)一圈能將8個相同竹筒中的水(每個竹筒中水的質(zhì)量均為m)灌溉到農(nóng)田中，已知牛每分鐘牽引中柱轉(zhuǎn)動n圈，則一個小時內(nèi)該牛車對農(nóng)田灌溉水的質(zhì)量為()A.eq\f(480nrA,rB)m B.eq\f(60nrA,rB2)mC.eq\f(60nrA,rC)m D.eq\f(480nrB,rC)m答案A解析根據(jù)題圖乙可知，中柱和A的轉(zhuǎn)速相同，有vA＝eq\f(2πrA,T)＝eq\f(2πnrA,60s)A和B邊緣的線速度大小相等，有vA＝vBB和C的角速度相同，則有ωB＝ωC則C的轉(zhuǎn)速為nC＝eq\f(ωC,2π)＝eq\f(nrA,60rB)r/s則一個小時內(nèi)牛車對農(nóng)田灌溉水的質(zhì)量為m總＝3600×8mnC＝eq\f(480nrA,rB)m，故選A。3.如圖所示，某同學在繩子的一端拴一個小沙袋，另一端握在手中，將手舉過頭頂，使沙袋在水平面內(nèi)做圓周運動，以感受向心力的大小，則()A．為使感受到的力等于沙袋的向心力，活動中可以使繩子保持水平B．為使感受到的力近似等于沙袋的向心力，應使沙袋的轉(zhuǎn)速大一些C．被甩動的繩子越長，沙袋的向心力越大D．被甩動的繩子越長，沙袋的向心力越小答案B解析沙袋在水平面內(nèi)做圓周運動，分析可知，沙袋做圓周運動的向心力由沙袋自身的重力和繩子對沙袋的拉力這兩個力的合力提供，受力分析如圖所示，始終有繩子拉力在豎直方向的分力大小等于重力，方向相反，因此，活動中繩子不可能保持水平，故A錯誤；設繩子與水平面的夾角為θ，繩長為l，則有eq\f(mg,tanθ)＝mω2lcosθ，而繩子的拉力FT＝eq\f(mg,sinθ)，為使感受到的力近似等于沙袋的向心力，則要使tanθ近似等于sinθ，那么繩子與水平方向的夾角就要很小，而由受力分析可得mg＝mω2lsinθ，可知，θ減小，lsinθ即減小，實際上lsinθ表示繩子在手部的懸點距小球做圓周運動所在平面的距離，因此必須增大轉(zhuǎn)速才能使感受到的力近似等于沙袋的向心力，故B正確；沙袋的向心力Fn＝eq\f(mg,tanθ)＝mω2lcosθ，可知，沙袋的向心力不僅僅只跟甩動的繩子有關，假若增大繩長的同時，減小轉(zhuǎn)動的角速度，則沙袋的向心力可能不變，也可能減小，故C、D錯誤。4.(2023·江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市一模)2021年2月，天問一號火星探測器被火星捕獲，經(jīng)過一系列變軌后從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”，為著陸火星做準備。如圖所示，陰影部分為探測器在不同軌道上繞火星運行時與火星的連線每秒掃過的面積，下列說法正確的是()A．圖中兩陰影部分的面積相等B．探測器從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”周期變大C．探測器從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”機械能變小D．探測器在P點的加速度小于在N點的加速度答案C解析根據(jù)開普勒第二定律可知，探測器繞火星運行時在同一軌道上與火星的連線每秒掃過的面積相等，但在不同軌道上與火星的連線每秒掃過的面積不相等，故A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，探測器在“停泊軌道”上的運行周期比在“調(diào)相軌道”上小，故B錯誤；探測器從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”需在P點減速，做近心運動，機械能變小，故C正確；根據(jù)牛頓第二定律，eq\f(GMm,r2)＝ma，可知探測器在P點的加速度比在N點大，故D錯誤。5.(2023·江蘇鹽城市三模)宇宙中有兩顆相距很遠的行星A和B，質(zhì)量分別為mA、mB，半徑分別為RA、RB，第一宇宙速度分別為vA、vB，兩顆行星周圍衛(wèi)星的軌道半徑r的三次方與運行周期T的平方的關系如圖所示，T0為衛(wèi)星環(huán)繞行星表面運行的周期。下列關系式正確的是()A．mA<mB B．mA＝mBC．vA＝vB D．vA>vB答案D解析根據(jù)萬有引力提供向心力可知Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，對于環(huán)繞行星A表面運行的衛(wèi)星，有T02＝eq\f(4π2RA3,GmA)，對于環(huán)繞行星B表面運行的衛(wèi)星，有T02＝eq\f(4π2RB3,GmB)，聯(lián)立解得eq\f(mA,mB)＝eq\f(RA3,RB3)，由題圖可知RA3>RB3，故mA>mB，A、B錯誤；行星近地衛(wèi)星的線速度即第一宇宙速度為v＝eq\f(2πR,T0)，由題圖可知RA3>RB3，故vA>vB，C錯誤，D正確。6.(2023·遼寧卷·7)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為()A．k3(eq\f(T1,T2))2 B．k3(eq\f(T2,T1))2C.eq\f(1,k3)(eq\f(T1,T2))2 D.eq\f(1,k3)(eq\f(T2,T1))2答案D解析設月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得Geq\f(m地m月,r12)＝m月eq\f(4π2,T12)r1，Geq\f(m地m日,r22)＝m地eq\f(4π2,T22)r2，其中eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，聯(lián)立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)(eq\f(T2,T1))2，故選D。7.雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的大小遠小于兩恒星之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體。如圖所示，兩恒星A、B在相互引力的作用下，圍繞其連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動。A、B質(zhì)量分別為m1、m2，下列關于雙星系統(tǒng)說法正確的是()A．A、B所受萬有引力之比為m1∶m2B．A、B系統(tǒng)的總動量始終為0C．A、B做圓周運動的轉(zhuǎn)速之比為m2∶m1D．A、B做圓周運動的動能之比為m1∶m2答案B解析A、B所受萬有引力大小相等，故A錯誤；由于雙星角速度相同，根據(jù)ω＝2πn可知A、B轉(zhuǎn)速相同，故C錯誤；A、B的角速度相同，根據(jù)F＝Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)，根據(jù)v＝ωr可知eq\f(v1,v2)＝eq\f(ωr1,ωr2)＝eq\f(m2,m1)，由于A、B的速度方向相反，故A、B系統(tǒng)的總動量為p＝m1v1－m2v2＝0，故B正確；A、B做圓周運動的動能之比為eq\f(Ek1,Ek2)＝eq\f(\f(1,2)m1v12,\f(1,2)m2v22)＝eq\f(m1v12,m2v22)＝eq\f(m1m22,m2m12)＝eq\f(m2,m1)，故D錯誤。[爭分提能練]8.(2023·江蘇鎮(zhèn)江高三學情調(diào)查考試)如圖所示，輕彈簧的一端固定在光滑桿下端的O′點，另一端拴接一可視為質(zhì)點的小球，現(xiàn)使整個裝置環(huán)繞豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動，以角速度ω0穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時，小球位于A點，輕彈簧恰處于原長狀態(tài)，設彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，則下列說法正確的是()A．選用不同質(zhì)量的小球，ω0的大小不同B．角速度由ω0逐漸增大，桿與小球間的作用力大小可能不變C．角速度由ω0逐漸增大，小球?qū)⒀貤U向上移動D．若解除小球與彈簧的拴接，裝置以略大于ω0的角速度勻速轉(zhuǎn)動時，小球?qū)⒃贏點上方某位置隨桿一起轉(zhuǎn)動答案C解析設桿與豎直方向夾角為θ，彈簧原長為L0，當角速度為ω0時，輕彈簧處于原長狀態(tài)；以小球為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律可得eq\f(mg,tanθ)＝mω02L0sinθ，可得ω0＝eq\f(1,sinθ)eq\r(\f(gcosθ,L0))，可知選用不同質(zhì)量的小球，ω0的大小相同，故A錯誤；角速度由ω0逐漸增大，小球原來受到的合力不足以提供所需的向心力，小球做圓周運動的半徑逐漸增大，小球?qū)⒀貤U向上移動，彈簧的伸長量逐漸增大，彈簧彈力逐漸增大，豎直方向根據(jù)受力平衡可得F桿sinθ＝mg＋F彈cosθ，可知桿對小球的作用力逐漸增大，故B錯誤，C正確；若解除小球與彈簧的拴接，由于小球只受重力和桿的彈力作用，且桿的彈力方向保持不變，則裝置以略大于ω0的角速度勻速轉(zhuǎn)動時，重力和桿彈力的合力將不足以提供小球所需的向心力，小球?qū)⒁恢毖貤U向上移動，不會在A點上方某位置隨桿一起轉(zhuǎn)動，故D錯誤。9.如圖所示，半徑分別為rA、rB的兩圓盤水平放置，圓盤的邊緣緊密接觸，當兩圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動時，圓盤的邊緣不打滑，質(zhì)量分別為mA、mB的物塊A、B(均視為質(zhì)點)分別放置在兩圓盤的邊沿，與圓盤間的動摩擦因數(shù)分別為μA、μB，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現(xiàn)讓圓盤繞過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動起來，A比B先滑動的條件是()A．μArA<μBrB B．μArB<μBrAC.eq\f(μA,rA)>eq\f(μB,rB) D.eq\f(μB,rA)<eq\f(μA,rB)答案A解析由牛頓第二定律與圓周運動規(guī)律得，當A剛要相對圓盤滑動時μAmAg＝eq\f(mAvA2,rA)，解得vA＝eq\r(μAgrA)，當B剛要相對圓盤滑動時μBmBg＝eq\f(mBvB2,rB)，解得vB＝eq\r(μBgrB)，當A比B先滑動時，則有vA<vB，即eq\r(μAgrA)<eq\r(μBgrB)，化簡可得μArA<μBrB，故選A。10.2022年我國完成了空間站在軌建造，空間站在軌道上運行時，受到稀薄大氣作用，軌道高度會逐漸下降，空間站需要不定期加速以維持軌道高度。若某時刻空間站的軌道高度為h，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，圖示為空間站示意圖，各個方向均安裝有發(fā)動機。變軌時可短時間內(nèi)啟動后方發(fā)動機向后噴氣，該過程空間站速度的變化量為噴氣前速度的k倍；也可短時間內(nèi)啟動下方發(fā)動機向下噴氣。若兩次噴氣結束后空間站的運動軌道(圓形)相同，則向下噴氣過程空間站的速度變化量的大小為()A．Req\r(\f(kg,R＋h)) B．kReq\r(\f(g,R＋h))C．Req\r(\f(k2＋2kg,R＋h)) D．Req\r(\f(k2＋1g,R＋h))答案C解析空間站在軌道上運行時，由萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，在地球表面的物體受到的重力近似等于物體與地球間的萬有引力，有eq\f(GMm0,R2)＝m0g，可得v＝Req\r(\f(g,R＋h))，向后噴氣后空間站的速度大小為v1＝v＋kv＝(k＋1)v。向下噴氣時，空間站的速度變化量向上，設變化后的速度為v2，有v22＝v2＋(Δv)2，又兩次噴氣結束后空間站的運動軌道相同，結合變軌知識可知，兩種變軌方式變軌后空間站的速度相同，解得Δv＝veq\r(k2＋2k)＝Req\r(\f(k2＋2kg,R＋h))，C正確。11．(2023·江蘇南通市適應性考試)航天員從空間站上釋放了一顆質(zhì)量為m的探測衛(wèi)星，該衛(wèi)星通過一條柔軟的細輕繩與空間站連接，穩(wěn)定時衛(wèi)星始終在空間站的正下方，到空間站的距離為l，已知空間站繞地球做勻速圓周運動，軌道半徑為r，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，在高品質(zhì)的照片上，可以看清地球表面不動物體的線度為曝光時間內(nèi)空間站相對地球的位移，忽略地球的自轉(zhuǎn)。(1)忽略衛(wèi)星拉力對空間站軌道的影響及衛(wèi)星與空間站的引力，求衛(wèi)星所受輕繩的拉力大小F；(2)拍照的曝光時間為Δt(很短)，求從空