安康市高新中學(xué)2021屆高三八月摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則運(yùn)算求解.【詳解】由題得.故選B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.2.設(shè)集合，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得；【詳解】解：，因為∴．故選：D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，以及交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式知：為奇函數(shù)且上恒正，即可得正確選項.【詳解】，故為奇函數(shù)，當(dāng)時，，又，故選：A．【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象，屬于簡單題.4.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況（利潤=收入支出），下列說法錯誤的是（）A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這一年的總利潤超過400萬元 D.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30【答案】C【解析】【分析】由圖中的數(shù)據(jù)逐一分析選項，可得答案.【詳解】對于A選項：第11月份的收入最高：為90萬元，第3月份和第4月份的收入最低：為30萬元，所以月收入的極差為60萬元，故A選項正確；1至12月份的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以7月份的利潤最大，為60萬元，故B選項正確；總利潤為380萬元，故C選項不正確；這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故D選項正確；故選：C．【點睛】本題考查拆線統(tǒng)計圖的識別，以及理解并計算統(tǒng)計的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時，通常代入公式進(jìn)行計算.6.的展開式中的常數(shù)項為（）A. B. C.20 D.21【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)二項式定理得展開式，再求對應(yīng)常數(shù)項.【詳解】因為中所以展開式中的常數(shù)項為．故選：A【點睛】本題考查二項式定理應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別判定，，的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】，，，∴．故選：A.【點睛】本題主要考查比較對數(shù)與指數(shù)的大小，熟記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.8.正三棱柱中，，D是BC的中點，則異面直線AD與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：B．【點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力,屬于容易題.9.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如右圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則，兩點的距離為（）A. B.80 C.160 D.【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形性質(zhì)以及正弦定理求出,再根據(jù)余弦定理求，兩點的距離.【詳解】在中,在中,在中,所以故選：D【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理實際應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論：①是偶函數(shù)②是周期函數(shù)③在上是增函數(shù)④在上恰有兩個零點其中所有正確結(jié)論的編號有（）A.①③ B.②④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性和零點對四個結(jié)論逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，所以是周期為的周期函數(shù)，故②正確.當(dāng)時，，所以，且，所以在上先減后增，③錯誤.當(dāng)時，令，得，所以，且，所以有兩個零點，所以④正確.綜上所述，正確結(jié)論的編號有①②④.故選：C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性和零點，屬于中檔題.11.若函數(shù)恰有兩個零點，則在上的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】通過求導(dǎo)可知：，或，若,則單調(diào)，不符題意，顯然，由恰有兩個零點，所以必有一個極值點為零點，只能是處為零，代入即可得解.【詳解】，或，若，則單調(diào)，不符題意，故，恰有兩個零點，必有一個極值點為零點，只能是處，，解得，在處取得極大值為．又，在上的最大值為，故選：B．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍，考查了分類討論思想，整體計算量不大，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)，分別為雙曲線的左，右焦點，A為C的左頂點，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M，N兩點，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)以為直徑的圓與漸近線相交于點，根據(jù)對稱性，得到，聯(lián)立方程求點和，根據(jù)題中條件，求出，即可得出離心率.【詳解】設(shè)以為直徑的圓與漸近線相交于點，根據(jù)對稱性得，由解得，則．，，，記右頂點為，連接，則，，.故選：D.【點睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知x，y滿足約束條件，則的最大值為___________．【答案】3【解析】【分析】有約束條件得到可行域，即目標(biāo)函數(shù)與可行域有交點時，在x、y軸上截距最大，即可求的最大值.【詳解】由約束條件可得可行域如下：∴過點時取得最大值3．故答案為：3【點睛】本題考查了線性規(guī)劃，根據(jù)約束條件求目標(biāo)函數(shù)最大值，屬于簡單題.14.已知是第四象限角，，則___________．【答案】【解析】【分析】利用倍角公式可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可得答案；【詳解】由，解得，是第四象限角，∴，．故答案為：.【點睛】本題考查倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力.15.橢圓的左，右焦點分別為，，橢圓上的點M滿足，且，則________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，由得，可得，由橢圓定義可得：，在中，結(jié)合余弦定理可得：，聯(lián)立即可得解.【詳解】如圖：設(shè)，，由得，可得，又①，在中，由余弦定理可得：②，①式平方減去②式得，．【點睛】本題考查了橢圓基本量的計算，考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，題型是解橢圓焦點三角形，利用了余弦定理和橢圓定義的結(jié)合解題，是固定題型，屬于基礎(chǔ)題.16.已知三棱錐頂點都在球的球面上，，，，，則球的表面積為________．【答案】【解析】【分析】由已知可知為直角三角形，平面，設(shè)球的半徑為，進(jìn)而利用勾股定理求出的值，即可求出球的表面積.【詳解】解：如圖，取中點，連接，，則由已知可得，為直角三角形，，因為，所以，.因為，所以為直角三角形，則，因為，所以平面.球心為上一點，設(shè)球的半徑為，連接，即，則由，可知，解得，表面積．故答案為：.【點睛】本題考查外接球表面積的求法，考查空間想象能力，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求的最大值及取得最大值時的值．【答案】（1）；（2）當(dāng)或4時，取最大值12．【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出首項和公比，即可得答案；（2）求出，再利用等差數(shù)列的前項和公式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案；【詳解】（1）設(shè)公比為，由可得，∴，，，∵，∴，解得，∴．（2），∴，∴當(dāng)或4時，取最大值12．【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式、等差數(shù)列前項和公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.18.如圖，四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，E是PB的中點．（1）證明：平面平面PBC；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證明，再由線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理證明即可；（2）利用向量法求二面角的余弦值即可.【詳解】（1）平面ABCD，平面ABCD，，，，，．，平面PBC，平面EAC，平面平面PBC．（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．設(shè)為平面EAC的法向量，則，即，取得，同理可求得平面BAE的法向量，，即二面角的余弦值為．【點睛】本題主要考查了證明面面垂直以及利用向量法求二面角，屬于中檔題.19.某企業(yè)產(chǎn)品正常生產(chǎn)時，產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚寒a(chǎn)品尺產(chǎn)件數(shù)227308036223根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件，一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品．（1）判斷生產(chǎn)線是否出現(xiàn)異常，并說明理由；（2）用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測費(fèi)10元/件，次品檢測費(fèi)15元/件，記這3件產(chǎn)品檢測費(fèi)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望及方差．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，【答案】（1）生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，理由見解析；（2）數(shù)學(xué)期望為，方差為．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到正常產(chǎn)品尺寸范圍是，求出正常情況下次品的數(shù)量，根據(jù)題中條件，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，求出該生產(chǎn)線的次品率，記這3件產(chǎn)品中次品數(shù)為，則服從二項分布，，根據(jù)二項分布的期望和方差的計算公式及性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）依題意，有，，所以正常產(chǎn)品尺寸范圍是，又件，超出正常范圍以外的零件數(shù)為5件，故生產(chǎn)線出現(xiàn)異常．（2）依題意，尺寸在以外就是次品，故次品率為．記這3件產(chǎn)品中次品數(shù)為，則服從二項分布，，則，，所以X的數(shù)學(xué)期望是（元），方差是．【點睛】本題主要考查正態(tài)分布的應(yīng)用，以及根據(jù)二項分布求期望和方差，屬于常考題型.20.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，，切點分別為，，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）直線過定點.【解析】【分析】（1）設(shè)出兩點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點坐標(biāo)并代入切線的方程，同理將點坐標(biāo)代入切線的方程，利用韋達(dá)定理求得線段中點的橫坐標(biāo)，由此判斷出軸.（2）求得點的縱坐標(biāo)，由此求得點坐標(biāo)，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點.【詳解】（1）設(shè)切點，，，∴切線的斜率為，切線：，設(shè)，則有，化簡得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過定點.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求整數(shù)a的最大值；（3）證明：．【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得：，再分和進(jìn)行討論，即可得解；（2）討論時，不符題意，；若，由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，構(gòu)造函數(shù)：，求最值即可得解；（3）由（2）的結(jié)論，可知時，，進(jìn)行放縮可得：，再研究，即可得解.【詳解】（1），若，則，在上單調(diào)遞增；若，由，得；由，得．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）若，則，不滿足；若，由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，設(shè)，則，，在上單調(diào)遞增，且，，存在唯一的，使得．當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，，，即整數(shù)a的最大值為．（3）由（2）可知時，，，，．設(shè)，則．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即．．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了分類討論思想和恒成立思想，同時考查了放縮和轉(zhuǎn)化思想，對計算能力的要求非常高，屬于難題.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出直線與曲線極坐標(biāo)方程；（2）若直線交曲線于O，A兩點，交曲線于O，B兩點，求AB的最大值和最小值．【答案】（1）；；（2）最大值4，最小值2．【解析】【分析】（1）直線過原點，由參數(shù)方程得其傾斜角后可得極坐標(biāo)方程，曲線先消參化為普通方程，再由公式化為極坐標(biāo)方程．（2）用直線極坐標(biāo)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程，可求得兩交點的極坐標(biāo)，由極坐標(biāo)的意義可得弦長，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得最值．【詳解】解析：（1）∵直線的傾斜角為，∴其極坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為，即，由得，∴為極坐標(biāo)方程為．（2）直線交曲線于O，A兩點，由，解得，直線交曲線于O，B兩點，由，解得，∴，∵，