2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市四校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）

1.（5分）已知復(fù)數(shù)z=-i?（3-i）,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)IZl等于（）

A.3B.2√2C.10D.√10

2.（5分）已知AGn,0）,B（0,1）,C（3,-1）,且4,B,C三點(diǎn)共線，則m=（）

3232

A.—B?—C.-,?D.—?-

2323

3.（5分）在aABC中，若48=3,BC=3√2,NB=45°,則aABC的面積為（）

L79

A.2√2B.4C?—D.一

22

4.（5分）某校有高一年級(jí)學(xué)生990人，高二年級(jí)學(xué)生920人，高三年級(jí)學(xué)生847人，教職

工243人，學(xué)校根據(jù)疫情形勢(shì)和所在地疫情防控政策要求，全校師生按比例分層抽樣的

方法抽取容量為300的樣本進(jìn)行核酸抽測(cè)，則應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）

A.99B.100C.90D.80

5.（5分）設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,根是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若α>Lβ,∕?α,∕∏cβ,貝∣J

B.若LLα,∕!β,a∕∕β

C.若加?Lβ,αJ>β,則"z〃（X

D.若ɑ〃β,且/與α所成的角和相與β所成的角相等，則/〃小

6.（5分）已知某圓錐的側(cè)面積為百處該圓錐側(cè)面的展開(kāi)圖是圓心角為2等的扇形，則該

圓錐的體積為（）

248

A.-πB.-πC.2πD.~π

333

7.（5分）如圖，在正方體ABCo-A8C。中，E、尸分別為棱CC?A8的中點(diǎn)，則異面直

線ATT與EF所成角的余弦值是（）

8.（5分）對(duì)于函數(shù)/（x）和g（x）,設(shè)αe{x[∕^（x）=0},β∈{Mg（X）=0},若存在a,β,

使得∣a-β∣Wl,則稱/（x）和g（x）互為''零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，若函數(shù)/（x）=In（X-I）

+x-2與g（x）=/-以-“+8互為”零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[孝，∣]B.[4,∣]C.[?,3]D.[2,4]

二、多項(xiàng)選擇題（每題有兩個(gè)或者兩個(gè)以上正確答案，每題5分，少選得3分，共20分）

（多選）9.（5分）在銳角中，A,B,C為三個(gè)內(nèi)角“，b,C分別為A,B,C所對(duì)

的三邊，則下列結(jié)論成立的是（）

A.若A>B,則SinA>sinB

B.若4=*則B的取值范圍是（0,?）

C.sinA+sinB>cosA+cosB

D.ta∏βtanC>1

（多選）10.（5分）一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，2個(gè)白

球，每次從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（）

3

A.若不放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為m

B.若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為N

C.若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為之

18

D.若有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為F

125

（多選）11.（5分）在正方體ABCo-4BιC∣Dι中，棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為線段4C上的動(dòng)點(diǎn)

（包含線段端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)A；C=3A；P時(shí)，OIP〃平面BOCl

9

B.當(dāng)P為AC中點(diǎn)時(shí)，四棱錐P-A4ιDIz）的外接球表面為5TT

2√6

C.AP+PD[的最小值為丁

D.當(dāng)&P=母時(shí)，點(diǎn)P是AABiOi的重心

（多選）12.（5分）鉆石是金剛石精加工而成的產(chǎn)品，是世界上最堅(jiān)硬的、成分最簡(jiǎn)單的

寶石，它是由碳元素組成的、具有立方結(jié)構(gòu)的天然晶體.如圖，已知某鉆石形狀的幾何

體由上、下兩部分組成，上面為一個(gè)正六棱臺(tái)ABCCEF-4BιCιCιEιFι（上、下底面均

為正六邊形，側(cè)面為等腰梯形），下面為一個(gè)正六棱錐尸-ABCQER其中正六棱臺(tái)的上

底面邊長(zhǎng)為m下底面邊長(zhǎng)為2”,且尸到平面AlBlel的距離為34,則下列說(shuō)法正確的

是（）

（臺(tái)體的體積計(jì)算公式：V=∣（S1+S2+√?）∕ι,其中S”S2分別為臺(tái)體的上、下底

面面積，力為臺(tái)體的高）

A.若平面布nL平面AFrIA1,則正六棱錐P-ABCDE廳的高為------a

2

B.若P4=2√∑ɑ,則該幾何體的表面積為3”；乙

500

C.該幾何體存在外接球，且外接球的體積為丁丁兀12

81

D.若該幾何體的上、下兩部分體積之比為7：8,則該幾何體的體積為勢(shì)ed

三、填空題（共4題，每題5分，共20分）

13.（5分）（文）若正數(shù)X,y滿足x+y+xy=8,則孫的最大值為.

14.（5分）已知向量征=（-2,1）,b=（q,1）,且；在b上的數(shù)量投影等于-1,則q

15.（5分）已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,ND48=60°.將448O沿BO折起，使得點(diǎn)4

至點(diǎn)P的位置，得到四面體P-BeD當(dāng)二面角P-BO-C的大小為120°時(shí)，四面體P

-BCD的體積為；當(dāng)四面體P-BCD的體積為1時(shí)，以尸為

球心，PB的長(zhǎng)為半徑的球面被平面BCD所截得的曲線在ABCD內(nèi)部的長(zhǎng)

為.

16.（5分）三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面ABC的射影恰好是AABC內(nèi)切圓的圓心，若

三個(gè)側(cè)面的面積分別為12,16,20,底面ABC的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為10,則點(diǎn)A到平面PBC的

距離為；三棱錐P-A8C外接球的直徑是

四、解答題(共70分)

17.(10分)已知aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若.(請(qǐng)從①siJa+si/B

-SiJc=SinAsinB;②2α=y∕3csinA+αcosC;③(2SinA-sinβ)α=2csinC+(sinA-2sinB)

b這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上空)

(1)求角C；

(2)若c=6時(shí)，求AABC周長(zhǎng)的最大值.

18.(12分)某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為

整數(shù))分成六段［90,100),UOO,110),…，［140,150)后得到如下部分頻率分布直方

圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

(1)求分?jǐn)?shù)在［120,130)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

(2)估計(jì)本次考試的第50百分位數(shù)；

(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為［110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將

該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2個(gè)，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段［120,130)內(nèi)的概率.

4頻率/組距

0.035r-----------------------------------

0.030------------------------------------

0.025r---------------------1-------------

0.020------------------------------------

0.0151---------r------------------------

o.oιoF-∣--------------------------------

0.005匕-----------------------［-

Vvu——————------——I---?會(huì)新

090100110120130140150Zl繳

19.(12分)如圖所示，已知在四棱錐P-ABe。中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD

=60°,側(cè)棱∕?=PC=3,PB=PD,過(guò)點(diǎn)A的平面與側(cè)棱PB,PD,PC相交于點(diǎn)E,F,

M,且滿足：PE=PF,PM=L

(1)求證：直線BC〃平面以。；

(2)求證：直線尸CJ_平面AEMK

(3)求平面MDB與平面AEMF所成二面角的正弦值.

P

20.(12分)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上

轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，該摩天輪輪盤(pán)直徑為120米，設(shè)置有36個(gè)座艙.游

客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面140米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一

周大約需要30分鐘.當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).

（圖1）

(1)經(jīng)過(guò)t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式滿足W(Z)

=ASin(ωr+φ)+B(其中4>0,ω>0,?φ?≤?)求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式H(?)；

(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到50米?

(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個(gè)座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程

中，記兩人距離地面的高度差為九米，求/?的最大值.

21.(12分)平行四邊形ABeD中，AB=IAD=I,DB=√3,如圖甲所示，作。于

點(diǎn)E,將aAOE沿著OE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，如圖乙所示.

(1)設(shè)平面PEB與平面PZ)C的交線為/,判斷/與CO的位置關(guān)系，并證明;

(2)當(dāng)四棱錐P-BCOE的體積最大時(shí)，求二面角P-BC-D的正切值；

(3)在(2)的條件下，G、H分別為棱。E,上的點(diǎn)，求空間四邊形PGHB周長(zhǎng)的

最小值.

22.(12分)已知區(qū)間。，若兩個(gè)函數(shù)y=∕(x)和y=gQ)對(duì)任意Xeo都有￡之>Α(其

9(.x)

中k>0,g(X)≠0),則稱函數(shù)y=∕(x)是y=g(X)在區(qū)間O上的超A倍函數(shù).

(1)已知命題"區(qū)間D=(1,5],函數(shù)/(x)=Ir2-4x+3是g(X)=x-1在區(qū)間。

上的超2倍函數(shù)”，試判斷該命題的真假.若該命題為真命題，請(qǐng)予以證明；若為假命題，

請(qǐng)舉反例；

(2)若函數(shù)/G)=e2x+∕2?r是ga)=∕+∕?v在R上的超A倍函數(shù)，求實(shí)數(shù)Z的取值

范圍：

(3)已知區(qū)間。=[1,2],常數(shù)c>l,若函數(shù)F(X)=}'-°一次是G(X)=，-。一》在

區(qū)間Z)上的超4倍函數(shù)，求實(shí)數(shù)C的取值范圍.

2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市四校聯(lián)考高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題(共8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意)

1.(5分)已知復(fù)數(shù)z=-i?(3-i),其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)IZl等于()

A.3B.2√2C.10D.√10

【解答】解：?.'z=-∕?(3-/)=-I-3i,

Λ?z?=J(-1)2+(-3)2=√W.

故選：D.

2.(5分)已知ACm,0),B(0,1),C(3,-1),且A,B,C三點(diǎn)共線，則m=()

3232

A.-B.-C.—?,D.—?,

2323

【解答】解：由A(m,0),B(0,1),C(3,-1),

可得4B=(—m,1),BC=(3,-2),

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以北||辰\即(-MX(-2)-1X3=0,

解得Tn=2?

故選：A.

3.(5分)在aABC中，若A5=3,BC=3√2,NB=45°,則4ABC的面積為()

L79

A.2√2B.4C.-D.-

22

【解答】解：在中，若43=3,BC=3√2,NJB=45°,

[1/?Q

SAABC=248,BC-sin?B=訝x3X3迎×?=

故選：D.

4.(5分)某校有高一年級(jí)學(xué)生990人，高二年級(jí)學(xué)生920人，高三年級(jí)學(xué)生847人，教職

工243人，學(xué)校根據(jù)疫情形勢(shì)和所在地疫情防控政策要求，全校師生按比例分層抽樣的

方法抽取容量為300的樣本進(jìn)行核酸抽測(cè)，則應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為()

A.99B.100C.90D.80

【解答】解：全校師生的總?cè)藬?shù)為990+920+847+243=3000人，

設(shè)應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為n,

300n

則由分層抽樣的定義可知，----=—,解得"=99.

3000990

故應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為99人.

故選：A.

5.（5分）設(shè)α,B是兩個(gè)不同的平面,/,膽是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若a_LB，∕?a,∕nuβ,則

B.若/_La,∕!β,a∕∕β

C.若加a±β,則m〃a

D.若a〃0,且/與a所成的角和皿與B所成的角相等，則/〃/

【解答】解：A選項(xiàng),若限L0,∕ua,muβ,/與加可能相交、平行、異面，所以A錯(cuò)誤;

8選項(xiàng)，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，所以B正確；

C選項(xiàng)，若a±β,則∕∏ua或機(jī)〃a,所以C錯(cuò)誤；

。選項(xiàng)，若a〃B，且/與a所成的角和/"與B所成的角相等，/與〃?可能相交、異面、

平行，所以O(shè)錯(cuò)誤.

故選：B.

6.（5分）已知某圓錐的側(cè)面積為近兀，該圓錐側(cè)面的展開(kāi)圖是圓心角為馬詈的扇形，則該

圓錐的體積為（）

248

A.-TrB.-TrC.2πD.-Tr

333

【解答】解：某圓錐的側(cè)面積為石_兀，該圓錐側(cè)面的展開(kāi)圖是圓心角為2嗔Λ∕5一TΓ的扇形，

設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面圓的半徑為r,

2y[5ττ廠/DL

,12

由5X---1=?Sπ9得I=V5.

因?yàn)?τrr=嚕X遍，所以r=l,

所以該圓錐的體積為；×π×?/?-1=~?

33

故選：A.

7.（5分）如圖，在正方體ABC。-ABC。中，E、尸分別為棱CC、A8的中點(diǎn)，則異面直

線與EF所成角的余弦值是（)

I

D,C

【解答】解：取8的中點(diǎn)連結(jié)ME,FM,

因?yàn)槭琈分別為A8,OC的中點(diǎn)，所以

又A'D'〃AO,

所以4D,〃F47,

則/EFM即為異面直線ATr與EF所成角，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則FM=2,EM=VTTT=√2,

所以EF=j22+(√2)2=√6,

在RtΛEFM中，COSZEFM=爵=5=苧，

所以異面直線A'Q'與EF所成角的余弦值是當(dāng).

故選：A.

8.(5分)對(duì)于函數(shù)/G)和g(x)f設(shè)α∈{x∣∕(x)=0},β∈{?(x)=0},若存在α,β,

使得∣α-β∣≤l,則稱/(x)和g(%)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，若函數(shù)/(x)=In(χ-1)

+X-2與g(X)=7-or-α+8互為''零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是()

A.百，另B.[4,∣]C.[?,3]D.[2,4]

【解答】解：/(X)的定義域?yàn)?1，+8),

f(X)=-?r+1=-?r>0,

jX-IX-I

：.f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

又/⑵=0,

.V(%)只有一個(gè)零點(diǎn)x=2.

若/(x)和g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則g(x)在[1,3]上存在零點(diǎn).

2

ΛΔ=α-4(8-?)/0,解得“24或αW-8.

⑴若A=0,即a=4或a=-8時(shí)，g(X)只有一個(gè)零點(diǎn)X=趣，

aa

顯然當(dāng)α=4時(shí)，-=2∈[1,3],當(dāng)α=-8時(shí)，?g[l,3],不符合題意；

(2)若A>0,即a>4或α<-8,

①若g(X)在口，3]上存在1個(gè)零點(diǎn)，則g(1)g(3)≤0,

,17a

即(9-24)(17-44)≤0,解得一≤a≤?,

4乙

179

/.——≤a≤

42

(g⑴≥O

②若g(X)在口，3]上存在2個(gè)零點(diǎn)，貝qg(3)≥0,

(1夸<3

17

.?.4<4≤y.

179179

綜上，。的取值范圍是：{4}U[丁，-]U(4,y]=[4,

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題(每題有兩個(gè)或者兩個(gè)以上正確答案，每題5分，少選得3分，共20分)

(多選)9.(5分)在銳角中，A,B,。為三個(gè)內(nèi)角α,b,C分別為4,B,。所對(duì)

的三邊，則下列結(jié)論成立的是()

A.若A>8,則SinA>sinB

B.若A=)則B的取值范圍是(0,

C.sinA+sinB>cosA+cosB

D.IanBtanO1

【解答】解：因銳角AABC,

若A>8,即Z>A>B>O,

2

TC

正弦函數(shù)y=sinx在（O,?）上單調(diào)遞增，

ΛsinA>sinB,故選項(xiàng)A正確；

若A*,8+C=等而8,C均為銳角，故，VBV*故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

,π

由一<A+B<π,

2

Λ0<TJT-A<B<JTT,

π

ΛsinB>sin（——A）=COSA,

2

同理sinA>cosθ,

Λ5z7∕2A+sinB>cosA+cosB.故項(xiàng)C正確；

π

V-<B+C<π,

2

Λcos（B+C）<0,即cosBcosC<SinBsinC,

VcosθcosC>0,

Λta∏Bta∏C>1,故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

（多選）10.（5分）一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，2個(gè)白

球，每次從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（）

3

A.若不放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為g

3

B.若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為

7170

1

C.若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為5

D.若有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為=

125

r,2^13

【解答】解：對(duì)于A,若不放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為子能=工，

5

故A正確；

3

對(duì)于3,若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為J故5錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為

21

一=一，故C正確；

42

33218

對(duì)于D若有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為二X二X二=二二，故。正

555125

確.

故選：ACD

（多選）11.（5分）在正方體ABCr>-4∣8ιClG中，棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為線段4C上的動(dòng)點(diǎn)

（包含線段端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)4：C=34：P時(shí)，Z）IP〃平面BZ）Cl

9

B.當(dāng)P為AlC中點(diǎn)時(shí)，四棱錐P-A4D∣D的外接球表面為-Tr

2

2√6

C.AP+PDi的最小值為虧

D.當(dāng)AlP=*時(shí)，點(diǎn)P是aABid的重心

【解答】解：對(duì)于A,連接AB∣,BiDi,

-Jii[FS

1,o

則以-4述1。1=3×2×=6SAABlDI=2X迎X迎Xsm60=-y,A1C=√3,

設(shè)點(diǎn)Al到平面A8]Z）ι的距離為人，則wX二X九=-，解得/=卓，所以∕=?^4ιC,

3263$

貝IJ當(dāng)月;C=34；P時(shí)，尸為AIC與平面A8∣O1的交點(diǎn)，

又AZ）1〃BC1，A。C平面Bf）C1，BClU平面Bz）C∣,所以AOi〃平面8。。，

同理可證ABl〃平面B。。，ADi∩ABi-A,ADi，ABIU平面4B∣Dι,

所以平面ABlDl〃平面Bf>Cι,OIPU平面ABiOi,所以。Ip〃平面BCCi,

對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)P為4C的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐P-A4O∣D為正四棱錐，

設(shè)平面MQIC的中心為0,四棱錐P-AA?D?D的外接球半徑為R,則（R-?）2+（?產(chǎn)=

R2,解得R=1,

zT

9TT

所以四棱錐P-AA?D?D的外接球表面積為一，

4

對(duì)于C,連接AC,DiC,則RtZviiACmRtZXAiQiC,所以AP=Z）ιP,

由等面積法可得，AP的最小值為"比=漁，所以4P+PG的最小值為竺，

A1C33

對(duì)于￡>,由以上分析可得，當(dāng)ZIP=*時(shí)，AlP即三棱錐Ai-QIABI的高，

所以AiPL平面DMBi,又三棱錐4-DMBi為正三棱錐，所以點(diǎn)P是AABiOi的重心，

故選：ACD.

（多選）12.（5分）鉆石是金剛石精加工而成的產(chǎn)品，是世界上最堅(jiān)硬的、成分最簡(jiǎn)單的

寶石，它是由碳元素組成的、具有立方結(jié)構(gòu)的天然晶體.如圖，已知某鉆石形狀的幾何

體由上、下兩部分組成，上面為一個(gè)正六棱臺(tái)ABCZ）E尸-A∣8ιCMIEIFl（上、下底面均

為正六邊形，側(cè)面為等腰梯形），下面為一個(gè)正六棱錐P-ABCr>EF,其中正六棱臺(tái)的上

底面邊長(zhǎng)為“，下底面邊長(zhǎng)為2m且尸到平面4B∣Cι的距離為3”，則下列說(shuō)法正確的

是（）

（臺(tái)體的體積計(jì)算公式：V=^（S1+S2+y∕S^-）h,其中S∣,S2分別為臺(tái)體的上、下底

面面積，/2為臺(tái)體的高）

FiEI

P

A.若平面∕?P，平面AFBA1,則正六棱錐尸-ABa）EF的高為F-a

L3√3+21√7?

B.若PA=2五a,則該幾何體的表面積為Ca2

2

C.該幾何體存在外接球，且外接球的體積為吧兀。3

81

D.若該幾何體的上、下兩部分體積之比為7：8,則該幾何體的體積為爭(zhēng)c?

【解答】解：設(shè)M,N分別為正六棱臺(tái)上、下底面的中心，

對(duì)于選項(xiàng)A,如圖1,分別取4凡AιFi,CiDi,Cr）的中點(diǎn)Q,R,S,T,

連接RS,RQ,TS,TQ,貝IJRS=√5α,QT=2√3α,

可得Q,R,S,T四點(diǎn)共面，且點(diǎn)P,M,N均在該平面上，

連接P則N在PM上，得如圖2所示的截面PQRS7,四邊形QRST為等腰梯形,

且NPQR為二面角尸-AF-Al的平面角，即NPQR=90°,

過(guò)點(diǎn)R作RLLQT交QT于點(diǎn)L,則/RQL=NQPN,可得差=篝，

piQ

即NP?RL=LQ?QN=竽α?√3α=∣α2,而NP+RL=MP=3a,

故NP(3α-NP)=Ia2,解得NP=C±f故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)8,如圖3為截面∕?4DO,依題意得4E>ι=2mAD=4a,

連接PM,則PM=34,又P4=2√∑α,所以PN=24,MN=3a-2a=a,

如圖4為截面PoRST,從而RQ=Ja2+(?ɑ)2=?ɑ,PQ=J(√3α)2+(2a)2=√7α,

故該幾何體的表面Φ?S=6×?α2+6×i?(α+2a)??ɑ+6×?-2α??√7a=

3√3+21√7q2^故8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,如圖5所示的截面

連接PM,依題意可知4d=2mAD=4a,PM^3a,

若該幾何體存在外接球，則外接球球心.在PM上，

設(shè)外接球半徑為R,連接04,OAi,0D,ODi,得OA=OAI=OP=R,3a-R=MO=

√fi2-a2,解得R=拉

又OA+OD=2R<4a=OA9矛盾，

故該幾何體不存在外接球，C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，設(shè)該幾何體上、下兩部分的體積分別為％,V2,MN=hι,PN=h2,

2222

則匕=WX(有九2+6√3a+J與九2?βV3a)∕iι=?/i?a,V2=×6λ∕3a×h2=

2

2V3∕ι2a,

由j=1可得hι=2h?,

結(jié)合〃ι+∕i2=3a,可知加=a,hι=2a,

33

因此該幾何體的體積V=y1+K2=ψa+4√3a=故。正確.

故選：BD.

AlMDy

圖5

三、填空題（共4題，每題5分，共20分）

13.（5分）（文）若正數(shù)X,y滿足％+y+xy=8,則Xy的最大值為4?

【解答】解：Y正數(shù)X,y滿足x+y+孫=8,

Λ8-xy=x+y^2y[xy,

2

，（?/?/）+2yfxy-8≤0,

解得-4≤y[xy≤2,

故孫W4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號(hào).

，孫的最大值為4

故答案為：4

TTTT4

14.（5分）已知向量￡1=（—2,1）"=（4,1）,且α在b上的數(shù)量投影等于-1,則4=—.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縕=（—2,1）,Z=（q,1）,且[在Lt的投影等于-1,

→T

d`b—2q+l1

所以丁；=-/?,=-1,故-2q+l<0,即q>5,

II√Q2+I2

所以q=0（舍去）或者q=*

4

故答案為：

15.（5分）已知菱形ABe。的邊長(zhǎng)為2,ND48=60°.將aABO沿BO折起，使得點(diǎn)A

至點(diǎn)P的位置，得到四面體P-BCZ）.當(dāng)二面角P-BO-C的大小為120°時(shí)，四面體尸

-BCD的體積為—；當(dāng)四面體P-BCD的體積為1時(shí)，以P為球心，PB的長(zhǎng)為半

2

Tr

徑的球面被平面BCD所截得的曲線在ABCD內(nèi)部的長(zhǎng)為--

-3-

【解答】解：如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PFLCo交Co的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,貝叱PoF=60°,

P

B

圖1

因?yàn)榱庑蜛BCZ）的邊長(zhǎng)為2,ND4B=60°,

所以PO=遮，PF=POsinGOo=

?Il3?/?

故四面體P-BCD的體積為IS^DBC?PF=-×-×2×V3×^=

當(dāng)四面體P-BCD的體積為1時(shí)，此時(shí):SADBC?PF=[x[x2xWxPF=l,

解得：PF=√3,OF=√0P2-PF2=√3τr3=0,即。，尸兩點(diǎn)重合，

即Pol_底面BCD,如圖2,

P

以P為球心，PB=2的長(zhǎng)為半徑的球面被平面BCD所截得的曲線為以。為圓心，半徑

為VP"—P。2=1的圓，

117Γ

落在∕?BCD內(nèi)部的長(zhǎng)為圓周長(zhǎng)的一，所以長(zhǎng)度為-×2π×l=~.

663

故答案為：—，T.

23

16.（5分）三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面ABC的射影恰好是aABC內(nèi)切圓的圓心，若

三個(gè)側(cè)面的面積分別為12,16,20,底面ABC的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為10,則點(diǎn)A到平面PBC的

一_2√237

距離為_(kāi)4-?∕3；三棱錐P-ABC外接球的直徑是3.

【解答】解：不妨設(shè)S*BC=12,S△/?C=16,S△見(jiàn)B=20,

設(shè)尸在底面ABC的射影為“，分別作“D_LBC于點(diǎn)O,于點(diǎn)E,HFJ_4C于點(diǎn)

F,貝IjPO_LBC,PELAB,PFLAC.

依題意,H為AABC的內(nèi)心，則RtAPDH合RtAPFHwRtAPEH,故PD=PF=PE,又SAPBC=

Ill

^BC-PD,S^PAC=^AC-PF,S^PAB=^AB-PE,

所以S"BC：S△出c：S^PAB=BC；AC：A8=12:16：20=3：4：5,所以∕ACB=90°，

令BC=3x,AC=4x,AB=5x.底面ABC的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為10,可得AB=5x=10,解得X

=2,所以BC=6,AC=S,AB=IO.

1

設(shè)4A8C內(nèi)切圓半徑為r,則鼻（BC+AC+AB}r=S^ΛBC,

因?yàn)镾AMC=鼻C?BC=24,即2X（6+8+10）r=24,解得r=2,故HD=2,

由SAPBC=38C?PD=12,BC=6，得PO=4,所以PH=√P"—?瓜

所以%-ABC=WSAABC?P"=WX24X2遮=16√3.

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,由VP.ABC=VAPBC,SΔPBC=12,所以匕.PBC=jSAPBC-

d=16V3,所以d=4-y3；

?..∕ACB=90°,...點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，取AB中點(diǎn)為G,則以AB為直徑的圓

的圓心為點(diǎn)G,

設(shè)三棱錐P-A3C的外接球球心為點(diǎn)0,連接OG,易知OG_L平面A8C,又PH_L平面

ABC,則OG〃尸H,

過(guò)點(diǎn)。作ONllGH交尸”于點(diǎn)N,

,.'P//,平面ABC,GHU平面ABC,；.PH_LGH,即/GHP=*,

.?.四邊形GMVO為矩形，貝∣JOG=N",GH=ON,

在平面ABC上建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則B(6,0),A(0,8),H(2,2),G(3,

4),ON=GH=√1+22=√5,

設(shè)GO=x,若點(diǎn)N在線段PH上，

則PN=2√3-x,OA=OB=OP=y∕GB2+OG2=√25+x2,

在直角AONP中，。解+加=。尸即(通＞+(2√5-X)2=25+/,

解得X=-竽VO,故點(diǎn)N在線段P"的延長(zhǎng)線上，貝IJPN=2%+x,

同理可得(V^)2+(2√3+X)2=25+%2,解得X=背

所以三棱錐P-ABC的外接球半徑為。4=OB=OP=√25+N=緡Z,

2√237

三棱錐P-ABC的外接球的直徑為嗔一.

_L2√237

故答案為：4√3;^.

四、解答題(共70分)

17.(10分)已知AABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若.(請(qǐng)從①si/A+si/B

-Sin2C=SinAsinB;(2)2α=y∕3csinA+αcosC;③(2SinA-SinB)“=2CSinC+(SinA-2sinB)

b這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上空)

(1)求角Ci

(2)若c=6時(shí)，求AABC周長(zhǎng)的最大值.

【解答】解：⑴若選①，sin2A+sin2β-sin2C=SinAsinB,

所以α2+∕j2-c2=H,cosC=a2+^Γc2=i,因?yàn)?<CVπ,所以C=?.

ZabL3

若選②，因?yàn)?Q=y∕3csinA÷acosC,所以2si?LA=y∕3sinCsinA+SinAcosCf

因?yàn)閟inΛ>O,所以√5s譏C+cosC=2sin(C+V)=2,即S沅(C+苓)=L

因?yàn)橐籚C+—V—7T,所以C+1即C=^.

666bZo

222

若選③，因?yàn)?2si∏Λ-sinB)α=2csinC+(SinA-2si∏B)b,所以2a-ab=2c+ab-2bf

即a2+b2-cz=ab,

所以CoSC=Q*乙2CX,'=[乙0<C。<π,所以C=等.

22

(2)由①②③可得C=全由余弦定理：36=α÷h-2abcos^t

2

即Ca+b)2-3ab=36,所以(α+e)2-36≤

解得α+b≤12,當(dāng)且僅當(dāng)α=b=6時(shí)取等號(hào).所以AABC周長(zhǎng)的最大值是18.

18.(12分)某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為

整數(shù))分成六段［90,100),［100,110),…，［140,150)后得到如下部分頻率分布直方

圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

(1)求分?jǐn)?shù)在［120,130)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

(2)估計(jì)本次考試的第50百分位數(shù)；

(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為［110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將

該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2個(gè)，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段［120,130)內(nèi)的概率.

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖，得：

分?jǐn)?shù)在［120,130)內(nèi)的頻率為：I-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=0.3,

0.3

—=0.03,

10

補(bǔ)全后的直方圖如右圖所示：

頻率/組距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

分?jǐn)?shù)

090100110120130140150

(2)V[90,120)的頻率為(0.010+0.015+0.015)×10=0.4,

[120,130)的頻率為：0.030X10=0.3,

.?.第50百分位數(shù)為：120+0?^j?4×10=?;

(3)解：用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為［110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,

0.015

則分?jǐn)?shù)段為［110,120)中抽取的學(xué)生數(shù)為：C……cX6=2人,設(shè)為A,B,

0.015+0.030

分?jǐn)?shù)段為［120,130)中抽取的學(xué)生數(shù)為：———X6=4人，設(shè)為“，h,c,d,

0.015+0.030

從中任取2個(gè)，有AB1Aa,AhfAc,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ah,ac,ad,he,hd,cd

共15種,

其中符合題意得有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,α/共9種，