第三講函數(shù)的奇偶性與周期性

?雙基自測(cè)SHl

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)奇函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X

定義都有N-X)=/(x),那么函數(shù)都有N—X)=-AX),那么函

7U)是偶函數(shù)數(shù)/U)是奇函數(shù)

圖象特征關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于.原點(diǎn).對(duì)稱

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的周期性

1.周期函數(shù)

對(duì)于函數(shù)y=∕U),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的任何值

時(shí)，都有∕U+Q=ZU),那么就稱函數(shù)y=Aχ)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的

周期.

2.最小正周期

如果在周期函數(shù)Kr)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)一，那么這個(gè)最小

正數(shù)一就叫做/U)的最小正周期.

歸納拓展

1.奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式

(1加一χ)=∕U)QA-χ)-/U)=OO%y2=i(∕U)W0)eAX)為偶函數(shù);

(2次一%)=-/U)QA—x)+yu)=o?%;=一1(AX)≠O)Q∕U)為奇函數(shù).

2.若y=?x)為奇函數(shù)，y=g(x)為奇函數(shù)，在公共定義域內(nèi)

(l)γ=IAX)±g(χ)為奇函數(shù)；

(2)y=∕(x)g(x)與y=嗯為偶函數(shù);

(3)y=∕[g(χ)]與y=g[∕U)]為奇函數(shù)?

同理若y=∕(χ)與y=g(χ)在公共定義域內(nèi)均為偶函數(shù)，則y=Λχ)±g(χ),y=

√U)g(x),y=蓊/Lr)，y=∕lg(χ)],y=g[∕U)]均為偶函數(shù).

若y=∕U)為奇函數(shù)，y=g(χ)為偶函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)y=∕U)g(χ)與＞=

危)

均為奇函數(shù)，y=∕[g(χ)]與y=g[∕(χ)]為偶函數(shù).

g(χ)

3.對(duì).火X)的定義域內(nèi)任一自變量的值達(dá)最小正周期為T(mén)

(D若於+α)=^T(X)，WJT=2?a?;

⑵若於+α)=卡,

則T=2?a?i

(3)若√U+α)=∕U+份，則T=?a~b?.

4.函數(shù)圖象的對(duì)稱關(guān)系

a^?^b

若函數(shù)滿足關(guān)系則的圖象關(guān)于直線對(duì)

(1)√(x)y(α+?τ)=√S-x),/(x)X=2

稱；

(2)若函數(shù)/(x)滿足關(guān)系火a+尤)=-A。一幻，則/U)的圖象關(guān)于點(diǎn)代“，0)對(duì)

稱.

5.一些重要類型的奇偶函數(shù)

(1)函數(shù)八%)="+。-'為偶函數(shù)，函數(shù)yu)=。'-。-'為奇函數(shù)；

/—cix—1

==

(2)函數(shù)?x)ax-\.a-x1為奇函數(shù)；

(3)函數(shù)?x)=IogaMG為奇函數(shù)；

2

(4)函數(shù)Ar)=logα(x+√χ+l)為奇函數(shù).

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)y=?x2,XW(O,+8)是偶函數(shù).(X)

(2)若函數(shù)於)是奇函數(shù)，則必有火O)=O.(X)

(3)若函數(shù)y=√(x+α)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=∕U)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)

稱.(J)

(4)若函數(shù)y=∕(x+/?)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(40)中心對(duì)

稱.(J)

(5)2兀是函數(shù)"r)=sinx,χ∈(-8,0)的一個(gè)周期.(義)

(6)周期為T(mén)的奇函數(shù)加)，一定有y∣jJ=o.(√)

題組二走進(jìn)教材

2.(必修1P√Γ2改編)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的序號(hào)是.②③⑤一；偶函數(shù)的序

號(hào)是

(T)∕(Λ)=2X4+3x2',②*X)=X3-2x；

√+l

③AX)=二一；④AX)=必+1；

⑤y=x2sinx;⑥y=∣lnx∣.

3.(必修1P85T3改編)若函數(shù)y=∕U)(x∈(α,加)為奇函數(shù)，則a+b=0.

4.(必修1P85T1改編)若函數(shù)y=∕U)(x∈R)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)

一定在函數(shù)y=∕(x)圖象上的是(B)

A.(a,-βa))B.(~a,-J(a))

C.(—a,-β-a))D.(a,fi~a))

［解析］：函數(shù)y=√(x)為奇函數(shù)，

即點(diǎn)(一a,—?a))一定在函數(shù)y=∕(x)的圖象上.

5.(必修1P87T12改編)若奇函數(shù)段)在區(qū)間［a,6上是減函數(shù)，則它在［一A

一。］上是退_函數(shù)；若偶函數(shù)兀0在區(qū)間口，切上是增函數(shù)，則它在［一兒一旬

上是減函數(shù).

6.(必修IP86Tll改編)已知函數(shù)段)滿足於+2)=Ax),當(dāng)x∈［0,l］時(shí),βx)

=IogKf+3),則.穴2024)=log43.

7.(必修1P86T3改編)已知於)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)XeO時(shí)，於)=

2x+m,則|-3)=一7.

［解析］因?yàn)?/U)為R上的奇函數(shù)，

所以火O)=0,

即40)=2°+機(jī)=o,解得機(jī)=—1,

故?x)=2X-I(Xe0),

則X_3)=_43)=_(23_1)=—7.

題組三走向高考

1---Y

8.(2021?全國(guó)乙，4)設(shè)函數(shù)/^)=不，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(B)

A./A-1)-1B.∕Λ-1)+1

c.Xχ+ι)-ιD.X%+ι)+ι

［解析］思路一：將函數(shù)HX)的解析式分離常數(shù)，通過(guò)圖象變換可得函數(shù)圖

象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，此函數(shù)即為奇函數(shù)；

思路二：由函數(shù)貝力的解析式，求出選項(xiàng)中的函數(shù)解析式，由函數(shù)奇偶性定

義來(lái)判斷.

2

解法一：KX)=—1+干，其圖象的對(duì)稱中心為(一1,-1),將y=∕U)的圖

象沿X軸向右平移1個(gè)單位，再沿y軸向上平移1個(gè)單位可得函數(shù)兀L?1)+1的

圖象，關(guān)于(0,0)對(duì)稱，所以函數(shù)/(χ-l)+l是奇函數(shù)，故選B.

2

解法二：選項(xiàng)A,於一I)-I==2,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；選項(xiàng)B,於

—1)+1=*此函數(shù)為奇函數(shù)；選項(xiàng)C,加+1)—1=一二廠,此函數(shù)為非奇非

??X-t"^Z

2

偶函數(shù);選項(xiàng)D,?r+l)+l=M，此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選B.

2

9.(2020.江蘇，7)已知y=Ax)是奇函數(shù)，當(dāng)XNO時(shí)，./(X)=JJ,則人-8)的

值是_一4.

22

［解析］由函數(shù)HX)是奇函數(shù)得人-8)=—/(8)=-8'=-Q3)3=-4.

?互動(dòng)探究

考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性

考向1判斷函數(shù)的奇偶性——自主練透

例1設(shè)/(x)=eX+er,g(x)=e*-e「，βx),g(x)的定義域均為R,下列結(jié)論

錯(cuò)誤的是(D)

A.∣g(功是偶函數(shù)

B.y(χ)g(χ)是奇函數(shù)

c.yu)∣g(χ)∣是偶函數(shù)

D..∕ζx)+g(x)是奇函數(shù)

［解析］X—x)=e-v+e'=∕(x),代X)為偶函數(shù).

g(-χ)=e^x-ex=—g(x),g(x)為奇函數(shù).

|g(一x)|=|—g(x)I=Ig(X)1,Ig(X)I為偶函數(shù),A正確；

,A-χ)g(-X)=f(χ)l-g(χ)］=—/U)g(χ)，

所以/U)g(x)為奇函數(shù)，B正確；

Λ-X)Ig(—χ)l=Λ<Hg(χ)l，

所以/U)∣g(x)∣是偶函數(shù)，C正確；

J(x)+g(x)=2ex,

fi.-x)+g(-X)=2ex≠-g)+g(x)］,

所以人x)+g(x)不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.

例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1次X)=(1+叭隔；

(2)/(X)=y∣x1-l+?/l-√;

(3Mχ)=∣χ+H-∣χ-i∣;

［x2+x,x>0,

(4如)=<_40

?x^X,x<()；

y∣Lx2

(5)/(X)=IX+2|-2?

［分析］先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域內(nèi)，解析式

帶絕對(duì)值號(hào)的先化簡(jiǎn)，計(jì)算五一X)，再判斷.八一x)與.*x)之間的關(guān)系.抽象函數(shù)常

用賦值法判斷.

?—Y

［解析］(1)由題意得不20且X#—1,

—ι<xWi,.?.yu)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

.?√U)不存在奇偶性，為非奇非偶函數(shù).

x2-l≥0,

⑵由,得x=±l,定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又1)=/U)=0,

l-χ2≥O

.?JU)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).

(3)函數(shù)的定義域x∈(-8,÷∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

V∕(-X)=∣-X+1∣-∣-X-1∣=∣X-1∣-∣Λ+1∣=-(∣Λ+1∣-∣%-1∣)=-ΛΛ:),

.?√(x)=∣x+1|一以一1∣是奇函數(shù).

(4)易知函數(shù)的定義域?yàn)?一8,O)LI(O,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x>O時(shí)，

22

,∕(x)=x÷x,則當(dāng)x<O時(shí)，—x>O,故人-X)=Λ-x=*x);

當(dāng)x<O時(shí)，J(x)=x1-χ,則當(dāng)x>O時(shí)，一x<O,

故y(-χ)=w+χ=∕(χ),故原函數(shù)是偶函數(shù).

(5)去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷.

1—x2≥0,f-1≤x≤1,

由<,得V

在+2|—2≠0,［x≠O.

故?r)的定義域?yàn)椋郇D1,O)U(O,1］,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有x+2>0.從而有/U)=

這時(shí)有人一x)―"T=-AX)，故/U)為奇函

數(shù).

名幃點(diǎn)披MINGSHIDIANBO

判斷函數(shù)的奇偶性的方法

(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，則立即可判斷該函

數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，再判斷

八一X)是否等于/U)或一/(x),據(jù)此得出結(jié)論.

(2)圖象法：奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱.

(3)性質(zhì)法：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、

差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個(gè)奇函

數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).(注：利用上述結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域)

考向2函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用——多維探究

角度1利用性質(zhì)求解析式

例3設(shè)?x)為奇函數(shù)，且當(dāng)XeO時(shí)，./(x)=e*-1,則當(dāng)x<0時(shí)，√(x)=(D)

A.e?-1B.e~x+1

C.-e^-1D.-e^x+l

［解析］任取x<0,則一x>0,

由式一x)=e七一1,又於)為奇函數(shù)，

ΛΛ-Λ)=-XΛ),即7U)=-χ—X)=-e-'+l.故選D.

角度2利用奇偶性求參數(shù)的值或取值范圍

例4(1)已知f(x)=ax2+bx是定義在［a—l,24］上的偶函數(shù)，則a+b=(B)

?-^3b-3

C.gD.

1

貝=

-二-

(2)(2022?全國(guó)乙卷)若Xx)=In+b是奇函數(shù),

-2—

In2.

[解析](1)依題意8=0,且2α+(α—1)=0,

Λα=∣,貝!]a+b=?.

!I(〃+1)e"—Ci^x

h二：艮為

(2)/U)=Ina+1]~?+b=ln1Λ?+lne=lnLΓ-Λx)

奇函數(shù)，.?A—九)+y(x)=ln("+1)Ue'=0,.?.Kg+])2e2b-∕e2與2|=口一

222z,22ft22

Λ∣.?(α÷l)e-αex=1—x時(shí)，[(α+Ipe2"-1]+(1-/e2")A2=。對(duì)任意的X

1

(α+l)2e2z,-l=0,Q=F，

恒成立,解得2當(dāng)(。+1比2”—a2e2bx*1=X2-1

1—β2e2z,=0,

力=In2.

(a+l)2e2fe+l=0,

時(shí)，[(α+l)2e3+l]-(02e2A+l)x2=0對(duì)任意的X恒成立,則

β2e2fc÷l=0,

無(wú)解.綜上，?=—∕j=ln2.

名帥點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO

1.求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇

偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于Xx)的方程(組)，從而得到KX)的解析式.

2.求解析式中的參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，利用人犬)為奇

函數(shù)令A(yù)—x)=—/U),/U)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)Λχ)=√(-χ),列式求解，也可利用特殊值法

求解.對(duì)于在χ=o處有定義的奇函數(shù)yu),可考慮列等式<0)=0求解.

〔變式訓(xùn)練1〕

(1)(角度1)將例3中的火X)為奇函數(shù)改為偶函數(shù)，則當(dāng)x<0時(shí)，於)=(A)

A.e-χ-lB.e^λ+1

C.-e^x-1D.-e^x+l

⑵(角度2)(2021.新高考全國(guó)I)已知函數(shù)./U)=X332X-2力是偶函數(shù)，則a

=1.

［解析］(1)當(dāng)x<Q時(shí)，./U)=A—尤)=e'-I.故選A.

(2)解法一(定義法)：因?yàn)镵r)=X3(α?2'-2「)的定義域?yàn)镽,且是偶函數(shù)，所

以x)=.*x)對(duì)任意的XWR恒成立，所以(一無(wú))3(α?2r-2x)=Λ3(α?2x-2-*)對(duì)任意

的x∈R恒成立，所以x3(α—1)(2'+2七)=0對(duì)任意的x∈R恒成立，所以α=l.

解法二(取特殊值檢驗(yàn)法)：因?yàn)閥U)=Λ3(α?2'-2))的定義域?yàn)镽,且是偶函

數(shù)，

所以I)=?l),所以一(￡_2)=2a-g,

解得a=l,經(jīng)檢驗(yàn)，段)=ν(2*—2七)為偶函數(shù)，

所以a=l.

解法三(轉(zhuǎn)化法)：由題意知?！?)=932'—2「)的定義域?yàn)镽,且是偶函數(shù).

設(shè)g(x)=x3,h(x)=a?2x-2x,因?yàn)間(x)=x3為奇函數(shù),

所以〃(尤)=。2￡-2"為奇函數(shù)，

所以∕ι(O)=^2o-2^o=O,

解得α=l,經(jīng)檢驗(yàn)，/U)=Λ3(2*-2七)為偶函數(shù)，

所以α=l.

考點(diǎn)二函數(shù)的周期性——自主練透

例5設(shè)7U)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)X,恒有火x+2)=-/U).當(dāng)

尤∈［0,2)時(shí)，,/(x)=2χ-Λ2.

(1)求證：yu)是周期函數(shù)；

⑵求共2)的值;

(3)當(dāng)x∈(2,4］時(shí)，求7U)的解析式；

(4)計(jì)算犬0)+41)+次2)+…+42023).

［解析］(1)證明：二八工+2)=-/0),

.√U+4)=-∕(x+2)=∕U).

.?貝尤)是周期為4的周期函數(shù).

(2)A2)=Λ0+2)=-Λ0)=0.

(3)當(dāng)x∈(—2,0]時(shí)，一χW[0,2),由已知得

/(—x)=2(-%)—(―?)2=-2χ-χi.

又於)是奇函數(shù),x)=—/(%)=—2%一%2.

/.√(Λ)=Λ2+2X.

又當(dāng)x∈(2,4]時(shí)，χ-4∈(-2,0],

.?.XX-4)=(X-4)2+2(X-4).

又犬犬)是周期為4的周期函數(shù)，

??∕U)=4九一4)=。-4)2+2(X—4)=X2—6光+8.

即當(dāng)Xe(2,4]時(shí)，/(x)=x2-6x÷8.

(4)V,Λ0)=0,ΛD=1,Λ2)=0,Λ3)=-l,

且於)是周期為4的周期函數(shù)，

ΛΛ0)+y(l)+Λ2)+Λ3)=A4)+A5)+∕6)+Λ7)=???=A2020)+Λ2021)+Λ2

022)+/2023)=0.

ΛΛ0)+Λl)+∕2)+???+Λ2021)+/2022)+/2023)=0.

名獐A撥MINGSHIDIANBO

高考中對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性

求值，以及解決與周期有關(guān)的函數(shù)綜合問(wèn)題.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用題

目提供的信息，找到函數(shù)的周期，利用周期在有定義的范圍內(nèi)進(jìn)行求解.

函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論：

(1)若fi,x+a)=一於),則T=2a；

若大六,

(2)x+α)=則T=2a；

(3)若穴x+α)=~■點(diǎn)，則T=2α.(α>0)

考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用——多維探究

角度1奇偶性與單調(diào)性結(jié)合

例6若定義在R上的奇函數(shù);U)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且火2)=0,則滿

足∕U)20的取值范圍是(C)

A.(―ο°,—2]

B.[0,2]

C.(—8,-2]U[0,2]

D.(-∞,-2］U［2,+∞)

［解析］由已知得圖象，故選C.

［引申1］若將“奇函數(shù)”改為偶函數(shù)，則結(jié)果為工

［解析］如圖.

［引申2］若將例6中不等式改為求X—1)20呢？結(jié)果為L(zhǎng)l,01U［13，

［解析］奇函數(shù)yu)在(-8,0)單調(diào)遞減，且貝2)=0,則yu)在(0,+8)單

x≤0,Λ>0,

調(diào)遞減，且八一2)=0.由xfiχ-1)^0,得。一「八或V、即

ELI)WO[/(X—1)≥0,

x≤0,Γx>O,

或〈解得一IWXWo或IWXW3.

一2WL1≤0[0≤χ-1≤2,

角度2奇偶性與周期性結(jié)合

例7(2022?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)/U),g。)的定義域均為R,且7U)+g(2-X)=

22

5，8(%)一/(工-4)=7.若y=g(%)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,g(2)=4,則ZAA)=(D)

k=?

A.-21B.-22

C.-23D.-24

［解析］由y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，可得g(2+x)=g(2—x).在/U)

+g(2—x)=5中，用一X替換工,可得火-x)+g(2+x)=5,可得./(-?χ)=Λx)①，y

=y(x)為偶函數(shù).在g(x)-∕(χ-4)=7中，用2—光替換X,得g(2—幻=大一x—2)

+7,代入?r)+g(2—x)=5中，得x—2)=-2②，所以y=?r)的圖象關(guān)

于點(diǎn)(一1,一1)中心對(duì)稱，所以ZU)=/(—1)=-1.由①②可得,/U)+HX+2)=—2,

所以/U+2)+/U+4)=—2,所以∕U+4)=Ax),所以函數(shù)段)是以4為周期的周

期函數(shù).由√U)+g(2—x)=5可得人0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以可得式0)=1,

又於)+y(x+2)=-2,所以人0)+<2)=—2,得式2)=—3,又義3)=犬-1)=一1,

22

∕4)=Λ0)=l,所以∑∕(A)=偵1)+軟2)+5液3)+5液4)=6X(—1)+6義(-3)+

?=ι

5X(-1)+5X1=-24.故選D.

角度3單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合

例8已知定義在R上的奇函數(shù)/U)滿足式x—4)=-∕(x)且在區(qū)間［0,2］上是增

函數(shù)，則(D)

A./-25)<A11)<A8O)

B.Λ80Mll)<A-25)

C.Λll)<A80)<A-25)

D.Λ-25)<A8O)<A11)

［分析］

［解析］因?yàn)閥u)滿足∕χ-4)=-/%),

所以兀r-8)=Λx),所以函數(shù)./(X)是以8為周期的周期函數(shù)，則八-25)=穴一

I),Λ80)=Λ0),Λ11)=Λ3).

由7U)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足yu—4)=-/U),得負(fù)11)=43)=——

D=AD-

因?yàn)?r)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，/U)在R上是奇函數(shù)，

所以yu)在區(qū)間［—2,2］上是增函數(shù)，

所以五-1)40)51)，

即八一25)勺(80)勺Ul)?

名師點(diǎn)被MINGSHIDIANBO

函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略

1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、

偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性?

2.周期性與奇偶性結(jié)合.此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期

性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

3.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自

變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.

〔變式訓(xùn)I練2〕

（1）（角度1）（2023.郴州第二次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知.*x）是定義在［241一切上的

偶函數(shù)，且在［2仇0］上為增函數(shù)，則於T）≤y（2x）的解集為（B）

Γ2］ΓΓ

A.-1,?B.-1,?

C.［-L1］D.1

（2）（角度2）（多選題）函數(shù)/U）的定義域?yàn)镽,若兀r+l）與.*X—1）都是偶函數(shù)，

則（CD）

A..大幻是偶函數(shù)B../U）是奇函數(shù)

C.Ar+3）是偶函數(shù)D.yU）=∕U+4）

⑶（角度3）（2021.全國(guó)甲卷）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,HX+1）為奇函數(shù)，fix

+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈［l,2］時(shí)，段）=加+4若川））+貝3）=6,則心

［解析］（l）?<Λx）是定義在［241—句上的偶函數(shù)，

.?.2?+l-b=0,.,.b=~l,

?.∕x）在［240］上為增函數(shù)，即函數(shù)/U）在［—2,0］上為增函數(shù)，故函數(shù)yu）在（0,2］

上為減函數(shù)，則由l）9X2x）,可得枕一l∣?∣2x∣,即（x—1）224%2,

解得一1≤x≤y

—2≤Λ—1≤2,

又因?yàn)槎x域?yàn)椋?2,2］,所以

-2≤2x≤2,

—1≤x≤3,

解得—1≤x≤y

—l≤x≤l.

(2)因?yàn)槿藊+l)是偶函數(shù)，所以次一元+l)=∕(x+l),從而人一%)=*x+2).

因?yàn)榛饃—1)是偶函數(shù)，所以八一九一l)=?x—1),

從而火—x)=∕(χ-2).

所以∕U+2)=Λχ-2),y(x+4)=/(X),所以危)是以4為周期的周期函數(shù).

因?yàn)棣葾-χ-l)=∕(χ-1),所以_/(一彳-1+4)=段-1+4),即4-x+3)=√(x

+3),所以於+3)是偶函數(shù).

(3)由于yu+1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)兀r)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，即有./U)+

Λ2-χ)=0,所以TU)+式2—1)=0,得∕U)=0,即α+8=0①.由于/U+2)為偶函

數(shù)，所以函數(shù)HX)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，即有凡r)一八4-χ)=0,所以人0)

+/(3)=-7(2)+/(1)=-4a—b+α+b=-3α=6②.

根據(jù)①②可得a=—2,b=2,所以當(dāng)x∈［l,2］時(shí)，y(x)=—2X2+2.

根據(jù)函數(shù)段)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，可得函數(shù)犬X)

2

的周期為4,所以聰=娘=-/(1)=2*(|)—2=|.

■素養(yǎng)提升

困教三大性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例9⑴(2022.全國(guó)新高考卷Il)已知函數(shù)段)的定義域?yàn)镽,且於+y)+,/U—

22

歷=於心)，41)=1，則ΣM=(A)

k=l

A.-3B.—2

C.0D.1

(2)已知函數(shù)y=∕(x)是R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意x∈R,都有火x+6)=∕(x)+

13)成立，當(dāng)用，X2∈［0,3］,且為WX2時(shí)，都有曲二空乳〉0,給出下列命題：

?lX2

①直線x=-6是函數(shù)y=Λx)的圖象的一條對(duì)稱軸；

②函數(shù)y=∕(x)在［-9,-6］上為增函數(shù)；

③函數(shù)y=/U)在［—9,9］上有四個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確命題的序號(hào)為①③.

［解析］(1)因?yàn)門(mén)U)=1,所以在√(x+y)+HX-y)="r)∕(y)中，令y=l,得

+1)+Λ%-1)=ΛA-MD,所以?∕U+D+yU-I)=AX)①，所以./U+2)+HX)=/(x+

1)②.由①②相加，得yu+2)+yu—i)=o,故yu+3)+yu)=o,所以火x+3)=—

.八X),所以/(x+6)=~