第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.了解平面向量基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)

表示3會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的

條件.

必備知識(shí)夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.平面向量基本定理

如果e”e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量α,

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九,A2,使α=.

若e∣,e2,我們把｛3,ez｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=(x”y∣),?=(X2,竺)，則α+Z>=,a-b=,λa-.

(2)設(shè)A(X”j?),B(X2,”)，則麗=,∣AB∣=.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)Q=(X1，巾)，b=(x2,”)，其中bWO.

a//b=.

［常用結(jié)論］

(1)若α與b不共線，λa+μb=O,則2=〃=0.

(2)已知嬴=/而+〃玩(兒，〃為常數(shù))，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是2+a=l.

(3)已知點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若4(x”%)，Bg次)，則點(diǎn)尸坐標(biāo)為(空，空).

(4)已知AABC的重心為G,若A(Xl,%),B(x2,)*C(X3,丫3)，則G(紅號(hào)楊，”十玲.

夯實(shí)雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)平面向量的基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可以用這組基底唯一表示.()

(2)若兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同.()

(3)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.()

(4)若α=(x∣,y∣),b=(×2,?)，則Q〃b的充要條件可表示成生=△.()

x2Yz

2.(教材改編)已知α=(3,6),b=(χ9y),若α+35=0,則b=()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(-1,2)D.(1,-2)

3.(教材改編)下列向量組中，能作為它們所在平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底｛α,力｝的是

()

A.α=(l,2),8=(0,0)

B.α=(l,-2),力=(3,5)

C.α=(3,2),?=(9,6)

D.a=(-i),b=(3,-2)

4.(易錯(cuò))已知兩點(diǎn)4—1,3),B(3,0),則與向量而同向的單位向量是()

A.G-1)B?φ!)

d

C.G-》?C,$

5.(易錯(cuò))已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,1),(2,1),則其第四

個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一平面向量基本定理的應(yīng)用

例l(l)[2023?河北滄州模擬]如圖所示,點(diǎn)E為AABC的邊AC的中點(diǎn),F為線段BE上

靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則屈=()

A.-BA+≤BCB.-BA+-BC

8844

C.-BA+-BCD.--BA+iBC

8844

(2)[2023?河南商丘模擬]如圖，在aABC中，點(diǎn)。，E分別在邊AB,BC上,且均為靠

近8的四等分點(diǎn)，CQ與AE交于點(diǎn)F,若麗=尤屈+)，前，則3x+y=()

3

A.-1B.一三

4

C.--D.--

24

題后師說

應(yīng)用平面向量基本定理的策略

鞏固訓(xùn)練1

(l)[2023?湖北武漢模擬]在平行四邊形ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn)，則而

=()

?-B.-∣AD-JAB

c?9前后融D?一；而一|通

(2)[2023?黑龍江鶴崗一中模擬]如圖所示，在AABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,

AO為BC邊上的高，M為AO的中點(diǎn)，若俞=7融+“前，則計(jì)"的值為()

C.-D.2

23

題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例2(1)在正方形ABCQ中，用是BC的中點(diǎn).若衣=4欣+成5,則2+〃的值為()

C.-D.2

8

(2)已知4(-3,4)與B(-l,2),點(diǎn)P在直線AB上,且麗|=2|南,則點(diǎn)P坐標(biāo)為

題后師說

(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，然后根據(jù)“兩

個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解.

(2)向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來，引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，

成為數(shù)與形結(jié)合的載體，使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算.

鞏固訓(xùn)練2

⑴[2023?廣東潮州期末]在∕A=90。的等腰直角448C中，E為AB的中點(diǎn)，尸為BC的

中點(diǎn)，BC=AAF+juCE,則2=()

244

A.--B.--C.--D.-1

323

(2)平行四邊形ABCO的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是4(—2,1),B(-l,3),C(3,2),則頂點(diǎn)O

的坐標(biāo)是.

題型三平面向量共線的坐標(biāo)表示

例3(l)[2023?安徽巢湖一中模擬]已知向量〃=(一3,2),?=(4,λ),若(α+3b)”(2α-

3),則實(shí)數(shù)2的值為()

47

--

3D.5

(2)[2023?江西九江期末]已知向量UX=(3,-4),OB=(6,一3),OC=(5一帆，一3一次).若

點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)機(jī)應(yīng)滿足的條件為()

11

A.m=-B.ιn≠-

22

11

C.m≠-D.m≠-

34

題后師說

鞏固訓(xùn)練3

(1)已知α=(l,2+sinx),?=(2,cosx),c=(—1,2),若(0—b)〃c,則銳角x=()

A.15oB.30o

C.450D.60o

(2)已知向量Xg=(7,6),BC=(-3,m),AD=(-1,2m),若A,C,。三點(diǎn)共線，則

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.不共線2∣el+?e2不共線

2.(χι+χ2,y1+)'2)(.χι~X2>y?-yz)(AX1，Ayl)

22

(.χ2-χ?>y2-y1)√(χ2-×ι)+(y2-yι)

3.XIy2-X2)'l=0

夯實(shí)雙基

1.答案：⑴，(2)×(3)√(4)×

2.解析：由α+36=(3,6)+3(x,y)=0得》=-1,>=一2.

故選B.

答案：B

3.解析：根據(jù)平面向量基底的定義知，兩個(gè)向量不共線即可作為基底.

故選B.

答案：B

4.解析：因?yàn)閮牲c(diǎn)4一I,3).8(3,0),所以而=(4,-3),

所以］Si=T?X(4,-3)=G

所以與向量通同向的單位向量為專，-|).

故選A.

答案：A

5.解析：設(shè)4(1,0),5(0,1),C(2,1),第四個(gè)頂點(diǎn)。(x,y),

由題意，該平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序不確定，討論如下：

①若平行四邊形為A8CZ),則靠=玩.

因?yàn)樾?(-1,1),DC=(2-‰i-y),

2—X=-1WnX=3,r

所以11y=1,解付即tj0(3,0).

y=0,

②若平行四邊形為A8QC,則而=①.因?yàn)槎?(-1,1),CD=(χ-2,y-l),

所以｛12二;'

解得/=1'即。(1,2).

Iy=2,

③若平行四邊形為ACB￡>,則前=笳.

因?yàn)辂?(1,1),DB=(-χ,l-y),

所以j-x=l'解得F=-L即0(—1,0).

Il—y=1.Iy=O,

答案：(3,0)或(1,2)或(一1,0)

關(guān)鍵能力?題型突破

例I解析：(1)養(yǎng)=屈+樂=L而+三廂=N前+三(麗一晶)

2424

=iAC+-AB--AC=iAC--BA

24884

=i(≡-BA)--BA=-?BA+iBC.

8488

故選C.

(2)

所以￡)￡*〃AC,則.=瞿=G

ACBA4

所以巴=U=A所以前=一三靠，DC=AC-AD=AC-^AB,

FCAC444

則奔=三玩=三前-??g,

5520

故郵=前+而=一白初+三亞一三通=一2鼐+三通，

452055

又麗=尤麗+)充，所以X=一|,y=∣,則3x+y=-1,

故選A.

答案：(I)C(2)A

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，

所以而=無+品，而而=一三前，EF=iEA=i(EB+BA)=i(iDA+BA)=-iAD-

222224

∣AB,

所以而=而+扉=一工而一%而一工通=一三而一工屈.

24242

故選D.

(2)因?yàn)樵贏ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,

A。為BC邊上的高，所以在AABO中，Bo=IB=1,

又BC=3,ΛBD=?C,

ΛAD=AB+而=麗+iBC,

3

為A。的中點(diǎn)，

ΛAM=iAD=iAB+』前，

226

,

/AM=ΛAB+juBC,ΛΛ=|,〃=，,

?"+〃=1.

故選D.

答案：（I）D（2）D

例2解析：（1）

在正方形ABC。中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB,A。分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

如圖，

令I(lǐng)ABl=2,則8(2,O),C(2,2),D(0,2),Λ∕(2,1),AC=(2,2),AM=(2,1),BD=

(—2,2),

λMΛ+μm=(2λ~2μ9λ+2μ)tSAC=2AM+∕∕BD,

于是得依I/=A解得力胃〃三，升〃=|，

(入+2μ=2333

所以2+"的值為|.

故選B.

(2)由點(diǎn)P在直線AB上，1,∣AP∣=2∣PB∣,可得而=2而或壽=一2而，

當(dāng)而=2而時(shí)，設(shè)P(α,b),有(α+3,?-4)=2(-l-α,2~b),解得。=一|,?=∣,

點(diǎn)尸坐標(biāo)為(一I,1).

當(dāng)AP=-2PB時(shí)，設(shè)P(m,ri),有(〃?+3,n—4)=-2(—1—m,2—n),解得m=1,n

=0,

點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,0).

答案：(I)B(2)(-∣,§或(1,0)

鞏固訓(xùn)練2解析：(1)以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)5(2,O),C(O,2),則尸(1,1),E(l,0),

則BC=(—2,2),2AF+∕zCE=λ(l,1)+//(1,—2)=(λ+∕z,λ—2μ)9

所以長二;，所以a=—a

t?—Zμ_L?

故