如22-2023學(xué)年陜西省寶雞市金臺區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)(理)試題

一、單選題

?.下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的是()

π.πB.(lgx)'=L

A.cos-=-sin-

33X

C.(e2A),=e2xD.(SinXCoSXy=CoS2x

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式與運算法則判斷即可.

【詳解】對于選項A：(COSm[=0,故A不正確；

對于選項B：(IgX)'=1二，故B不正確；

?InlO

對于選項C：6，)'=2/、，故C不正確；

對于選項D：(sinXcosx)'-cosΛCOSX+sinx(-sinx)?cos2Λ-sin2x=cos2x,故D正確.

故選：D

2.利用反證法證明“若/+∣y∣=0,則x=y=0”時，應(yīng)假設(shè)為()

A.x≠0且"0B.x≠y且X,y都不為0

C.x≠y且X,V不都為0D.XKO或"0

【答案】D

【分析】利用反證法證明規(guī)則即可得到應(yīng)假設(shè)X≠0或V≠0.

【詳解】利用反證法證明，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論不成立，本題應(yīng)假設(shè)XWO或

故選：D

3.一物體在力尸(x)=3x+4(X的單位：m,F的單位：N)的作用，沿著于力尸相同的方向，從X=O

處運動到χ=4處，力F(X)所做的功是()

A.16NB.64NC.40ND.52N

【答案】C

【分析】直接應(yīng)用定積分在物理中的應(yīng)用公式求解.

=Pr(X)公=J(3x+4)rfx=df+4x]:n?

【詳解】由題可得少0-x4+4x4=4C(N).

0022

故選：C.

4.為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量.設(shè)該

藥物在人體血管中藥物濃度C與時間，的關(guān)系為c=∕(f),甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃

度隨時間f變化的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個結(jié)論錯誤的是()

A.在，I時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；

B.在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同；

C.在國，河這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；

D.在,冉］，兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同.

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.

【詳解】A選項，根據(jù)圖象可知，在4時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，A選項結(jié)論正確.

B選項，根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識可知，在G時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同,

B選項結(jié)論正確.

C選項，根據(jù)圖象可知，在Rw］這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同，

C選項結(jié)論正確.

D選項，根據(jù)圖象可知，在4］這個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率為大于

在L，4］這個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率

D選項結(jié)論錯誤.

故選：D

5.函數(shù)/(x)=χ2.］nχ的最小值為()

,C1+出2l-ln2

A.l+ln2B.l-ln2C.——

【答案】C

【分析】由函數(shù)f(x)=x2-lnx,可以求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，進而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而

得出當(dāng)X=也時，函數(shù)取最小值.

2

【詳解】；函數(shù)f(x)=x2-lnx,Λf(x)=2X-L(x>0)

X

令fτ(x)=2x-=0

X

解得X=立

2

比<O

；當(dāng)x∈(0,√τ∑當(dāng)Xe(,+oo)時，f(x)>0

2

為減函數(shù)，在區(qū)間(也，+00)上，函數(shù)f(X)為增函數(shù),

故在區(qū)間(0,√2i)±,

2

則當(dāng)X=也時,函數(shù)取最小值匕等

2

故選C?

【點睛】本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，其中求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進而分析

函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最小值點是解答本題的關(guān)鍵.

6.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)(i為虛數(shù)單位)，下列假命題的個數(shù)是()

①2i>i;

②若〃+6i二0(4力∈C),則"6=0；

③若復(fù)數(shù)4=2+3i,z2=-l+i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為方，OB(。為坐標原點),

則畫=5；

④若Z=Zf貝∣Jz∈R.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)虛數(shù)不能比較大小，可判定①不正確；惻〃=i∕=T,可判定②不正確；根據(jù)共朝復(fù)

數(shù)的概念，求得方=(2,-3),O5=(-l,-l),求得I萬∣=JR,可判定③不正確；設(shè)復(fù)數(shù)

z=α+歷(α,6∈R),根據(jù)Z=],求得6=0,可判定D正確.

【詳解】對于①中，根據(jù)虛數(shù)不能比較大小，所以①不正確：

對于②中，因為α,6eC,例如α=i,6=7,此時q+bi=O,所以②不正確；

對于③中，由復(fù)數(shù)Z1=2+3i,z2=-l+it可得Z[=2-3i,z2=-l-i,

可得I，W在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為方=(2,-3),OS=(-1,-1)f

所以刀=(-3,2),則同=如,所以③不正確;

對于④中，設(shè)z=α+bi(α,beR),由z=[,可得α+bi="Z>i,可得6=0,

所以zeR,所以④正確.

故選：C.

7.若動點P在直線y=x+l上，動點。在曲線/=_2＞上，則∣P0∣的最小值為()

【答案】B

【分析】設(shè)與直線y=x+l平行的直線/的方程為y=x+"7,當(dāng)直線/與曲線∕=-2y相切，且點。為

切點時，P,。兩點間的距離最小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線/的方程，再利用平行線間的距離

公式即可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)與直線y=χ+ι平行的直線/的方程為y=χ+m,

.?.當(dāng)直線/與曲線f=-2y相切，且點。為切點時，P,。兩點間的距離最小,

設(shè)切點O(Xo,”)，???/=_2y,所以y=-gχ2,

y=-X,.?.-x0=1=>x0=-1,.?.j0=--,

.?.點。(τ,-直線/的方程為y=x+；，

二尸,。兩點間距離的最小值為平行線y=X+；和y=X+1間的距離，

1-1r

P,。兩點間距離的最小值為_2_=√2.

√2-4

故選：B.

8.J,("-F+sinxjcZr()

A.8;TB.4萬C.1πD.萬

【答案】C

【分析】根據(jù)定積分的幾何意義求解即可

【詳解】J［(j4-χ2+sinXyX=J:y∣4-x2dx+^sinxdx,其中"-4公的幾何意義為區(qū)間［-2,2］之

間y="-χ2與X軸圍成的面積,即半圓Y+/=4(y≥0)與X軸圍成的面積，為;XΛ?X22=2TΓ,

又「,sinX(Zr中N=SinX為奇函數(shù)，區(qū)間［-2,2］關(guān)于原點對稱，故」,sinx公=0,故

+sinxj?=2^

故選：C

9.已知函數(shù)/(x)=2-x-l,則不等式/(x)>O的解集是().

A.(-?,?)B.(-∞,-l)U(l,+∞)

C.(0,1)D.(→o,0)u(l,+∞)

【答案】D

【分析】作出函數(shù)y=2、和y=χ+ι的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.

【詳解】因為/(x)=2'-x-l,所以/(x)>0等價于2*>x+l,

在同一直角坐標系中作出y=2'和y=χ+i的圖象如圖:

不等式2x>X+1的解為X<0或X>1.

所以不等式/(χ)>o的解集為：(-∞,o)5L+∞)?

故選：D.

【點睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.

10.若",6為正實數(shù)，且。>〃，則下列不等式成立的是()

11,

A.—>—B.I1n6f<I1nA

ab

C.a?na>b?nbD.a-b<ea-eh

【答案】D

【分析】由L-5=?<0,可判定A不正確；根據(jù)/(x)=InX在(0,+8)上單調(diào)遞增，可判定B不

abab

正確；令g(x)=xlnx,求得g[x)=lnx+l,得到函數(shù)g(x),可判定C不正確；令Mx)=x-e*,x>0,

求得〃(x)<0,進而可判定D正確.

【詳解】由4,6為正實數(shù)，且α>a

對于A中，由可得?l<?,所以A不正確；

對于B中，由函數(shù)/'(X)=InX在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(a)>∕(b),

即lna>ln6,所以B不正確；

對于C中，令g(x)=xlnx,可得g，(X)=InX+1,令g[x)=0,解得X=L

e

當(dāng)Xe(0」)時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減；

e

當(dāng)Xed,+co)時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

e

所以/(α)=αlnα與/(b)=Z4nb,無法比較大小，所以C不正確；

對于D中，令人(X)=X-e*,x>0,可得Y(X)=I-e*<0,則函數(shù)力⑺單調(diào)遞減，

所以Ma)</(6),即α-e"<6-e",即j<e"-eJ所以D正確.

故選：D.

11.設(shè)△4BC的三邊長分別為α,b,c,-BC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為L則—類比這個

結(jié)論，設(shè)四面體4-5CQ的四個面的面積分別為S2,凡,5，內(nèi)切球半徑為「，四面體的體積為「，

則/=()

2V3%

A-------------------------R--------------------------

,

51+52÷S3+54SI+52+S3+54

2V4Γ

C---------------------D----------------------

3(51+S2+S3+S4)3(S∣+S2+S3+S4)

【答案】B

【分析】用四面體Z-BC。的內(nèi)切球球心將四面體N-8C。分為四個三棱錐，利用等體積法求解即

可.

【詳解】設(shè)四面體Z-Ba)的內(nèi)切球球心為。，則球心o到四個面的距離為內(nèi)切球半徑廣，所以四

面體Z-JSC。的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的四個三棱錐體積的和，則四面體的體

12>v

積為∕=.(S∣+S2+S3+S4>,所以廠=Kd三一.

J?l'十??'D4

故選：B

12.設(shè)/(x)="-∣∣nx∣+l有三個不同的零點，則α的取值范圍是()

A.(0,e)B.(θ,e2)C.fθ,??lD.fθ,?)

【答案】D

【分析】由/(X)=Or-IlnX|+1有三個不同的零點，可得αx+l=∣hu∣有三個不同的零點，畫出圖形,

利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，進而可得切線斜率，結(jié)合圖象關(guān)系即可求解.

【詳解】如圖，由/(x)="x-∣lnx∣+l有三個不同的零點，可得"x+l=∣lnr］有三個不同的零點,

畫出函數(shù)V=Ugl的圖象，直線尸辦+1過定點(0,1),

當(dāng)x>l時，設(shè)過(0,1)的直線與N=Inx的切點為(%,1μ)，

由y=lnr,得_/=LP''=',故切線方程為yTn??=Lx-%),

XΛ0XO

把定點(O,D代入得：1TI?=-1,即%=/.

?'?∕L=?=p->

即直線y=辦+1的斜率為.

e

則使/(x)=αx-1InxI+1有三個不同的零點的。的取值范圍是(0,.

故選：D

二、填空題

Ar

13.設(shè)Iim土以A/。-)=W,貝曠'⑴=_________.

ASo'O?r

【答案】-3

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義計算即可.

［詳解］由Iim+=*.

?λ→o?x

Hmd上止3=21i1√3二?Wi=才，()

AYTo?xAI2?xr

所以2/"⑴=-6,即八1)=-3.

故答案為：-3

14.己知直線/為曲線y=∕(x)的一條切線，寫出滿足下列兩個條件的函數(shù)/(X)=.①原點為

切點：②切線/的方程為V=χ.

【答案】e?-l(答案不唯一)

【分析】可取函數(shù)/(x)=e'-l,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義驗證即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=e*-1滿足條件，

因為/(x)=ef,所以/(0)=0,且為(X)=e*,

所以切線的斜率為r(0)=e°=l,

所以曲線V=∕(x)在原點處的切線方程為y=χ.

故答案為：1-1.(本題答案不唯一，合理即可，如/(x)=SinX也滿足題意)

15.若∣z+l-i∣=l,則IZl的最大值為.

【答案】√2+l∕l+√2

【分析】將問題化為求原點到以(T,l)為圓心，1為半徑的圓周上點距離的最大值即可.

［詳解］令z=x+yi且x,yeR,則∣z+lT∣=1等價于(χ+仔+(y_杼=］,

所以Z對應(yīng)點在以(-1,1)為圓心，1為半徑的圓周上，

22

而IZl表示圓上點到原點的距離，故IZl的最大值λ∕(-I-O)+(1-0)+1=√2+1?

故答案為：√2+l

16.曲線N=Sinx(X嗚,苧)和y=co&r(xe［；,爭)所圍成的平面圖形的面積為.

【答案】2√2

【分析】利用定積分求平面圖形的面積.

【詳解】曲線>=SinX(X∈《,爭和y=COSX(X∈弓爭)所圍成的平面圖形的面積為：

故答案為：2√L

三、解答題

17.已知“eR,i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=∕√+m-2+(m2-i)i.

(1)若z="∕+w-2+(∕√7)i是純虛數(shù)，求機的值；

(2)若復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點位于第二象限，求機的取值范圍.

【答案】(l)m=-2

(2)-2<w<-l

【分析】(I)根據(jù)Z為是純虛數(shù)列方程組，化簡求得加的值.

(2)根據(jù)2對應(yīng)點在第二象限列不等式組，從而求得的取值范圍.

【詳解】(1).??2=/2+〃?-2+(〃/-1戶是純虛數(shù)，

/772+/77-2=O

*<

**2IWCO

.?.=-2.

(2)：復(fù)數(shù)z=∕√+∕n-2+(機Jl)i對應(yīng)的點位于第二象限

nt2÷∕77-2<0

W2-I>0

-2<加<—1

18.設(shè)〃>0/>0.

22

(1)若α+b≥L+1,證明：α+?≥2;

ab

(2)已知α>0,6>0且α+6=l,用分析法證明：√2α+1+√2?+1≤2√2.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由α+b≥L+1=斗，求得αb≥l,結(jié)合基本不等式，即可得證；

abab

(2)要證：瘍，i+eτ∏42√∑,利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明瘍ΓI?同∏≤2.進而轉(zhuǎn)化為αb≤!,

4

結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】(I)證明：由α+b≥L+L="因為“>O,b>O,可得α+6>0,所以必21,

abab

又由基本不等式，可得/+〃z2αbZ2,

當(dāng)且僅當(dāng)α=b時等號成立，所以/+/≥2.

(2)證明：因為α>0,b>0,要證：√2α+l+√26+l≤2√2,

只需證：(J2α+1+J26+1.42√2)?即2a+1+2b+1+2√2Λ+1?√2?+l≤8,

即證：a+b+y∣2a+?->j2b+l≤3,

又因為α+6=l,即證：√2α+l?√2?+l≤2,

即證：(2α+l)?(2b+l)≤4,4H)+2α+26+1≤4,

即證：ah<-.

4

因為M≤(ge;=;顯然成立，故原不等式而TT+歷7≤20成立.

19.設(shè)正三棱柱的體積為16,求其表面積最小時，底面邊長的值.

【答案】4

【分析】設(shè)底面邊長為“，高為力，求得力=急，得到其表面積5=百(。2+?),〃>0,求得

S，=V3-64),得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

Γχ64

【詳解】解：設(shè)正三棱柱的底面邊長為“，高為人可得(?α%=16,所以〃=百，

其表面積S=2×^-a2+3>ah=^-a2+3a-?-??(-ɑ2+-^)<z>O,

42√3α^2a

可得S'=√J(α-??=J(∕-64),令S=°,得”=4,

a^a~

當(dāng)α∈(0,4)時,S<0,S在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞減；

當(dāng)α∈(4,+αo)時，S'>0,S在區(qū)間(4,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)α=4時，S取得極小值，即為最小值，即底面邊長為4時，表面積最小.

20.設(shè)數(shù)列｛?”｝滿足q=3,可用=34-4".

(1)計算％,%，猜想｛《,｝的通項公式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想，并求｛%｝前〃項和S1,.

【答案】⑴%=5,%=7,an=2n+?

2

(2)證明見解析，Sπ=n+In

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合遞推關(guān)系求出生，/，從而可猜想出通項公式，

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可，判斷數(shù)列｛“"｝為等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)的求和公式可求

得結(jié)果.

【詳解】(1)因為數(shù)列｛/｝滿足％=3,%=3a,-4n,

所以生=3^1-4×l=3×3-4=5,

a3=3a^—4×2=3×5-8=7,

由此可猜想=2"+l

(2)證明：①當(dāng)〃=1時，顯然成立，

②假設(shè)當(dāng)〃=/時，成立，即4=2左+1,則

當(dāng)〃=左+1時,%+∣=3at-4?

=3(2火+1)-4*

=2人+3

=2(?+1)+1,

所以〃=%+1時也成立，

綜合①②可得%=2〃+1,

因為%+ι-α,=2(n+l)+l-(2n+l)=2,

所以數(shù)列｛%｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，

LLn(n-l)dz、、

所以SjT=nai+—~?-----=3〃+《〃—1)=B+2r,

21.已知函數(shù)/(x)=("x)e",α∈R.

(1)若4=2,求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若對任意xe(-1,1),都有/(x)-x+xe'≤2成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)極大值為/⑴=e,函數(shù)無極小值

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；

γ?_1_?V*_1_?

(2)參變分離可得α≤手對任意Xe(Tl)恒成立，令g(x)=T，xe(-l,l),利用導(dǎo)數(shù)求出函

ee

數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)依題意/'(x)=(l-x)e',

當(dāng)x∈(l,+8)時，∕,(x)<0,/(x)在(l,+∞)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(-8,l)時，/小)>0,/(x)在上單調(diào)遞增，

.?.∕(x)的極大值為/(l)=e,函數(shù)無極小值.

(2)若對任意xe[0,-),都有/(x)-x+xe'≤2成立，

則Q≤一對任意χ∈(-1,1)恒成立，

e

令g(x)=要，Xe(T1)，貝以'(