第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）﹣2023的倒數(shù)是（）A．2023 B． C．﹣2023 D．2．（3分）浙江省“十四五規(guī)劃”指出，到2035年，軟件和信息技術(shù)服務(wù)業(yè)業(yè)務(wù)收入將突破12000億元數(shù)12000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．12×1011 B．1.2×1011 C．1.2×1012 D．0.12×10133．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．4a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)3?a6＝a9 D．（2a2）2＝4a24．（3分）為了解九年級(jí)學(xué)生讀書(shū)情況，隨機(jī)調(diào)查了九年級(jí)50名學(xué)生讀書(shū)的冊(cè)數(shù)．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：冊(cè)數(shù)01234人數(shù)11316173關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．中位數(shù)是2 B．眾數(shù)是17 C．平均數(shù)是2 D．方差是205．（3分）如圖，已知AE交CD于點(diǎn)O，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝35°，則∠E的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．35° D．15°6．（3分）2022年卡塔爾世界杯開(kāi)幕式上中國(guó)元素閃耀登場(chǎng)．下面四幅與世界杯相關(guān)的圖標(biāo)中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O分別與BC，AD交于點(diǎn)M，N，下列結(jié)論中，不一定成立的是（）A．∠B＝∠D B．BM＝AN C．AN＝CM D．OM＝ON8．（3分）關(guān)于x，y的方程組的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（）A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜89．（3分）如圖，在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上任取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象于點(diǎn)B，連接OA，OB，則△AOB的面積是（）A．3 B．5 C．6 D．1010．（3分）如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AD切⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在⊙O上．若∠A＝40°，則∠C為（）A．20° B．25° C．30° D．35°11．（3分）某滑梯示意圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．若AE＝1m，則DF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．14．（3分）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，這些小球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的小球是紅球的概率是．15．（3分）已知x＝1是方程x2﹣x+m＝0的一個(gè)根，則另一個(gè)根為．16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），則點(diǎn)B（﹣4，2）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．17．（3分）如圖，點(diǎn)（0，1）在直線l1上，點(diǎn)（﹣4，﹣3）在直線l2上．若直線l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，則直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為．18．（3分）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．例：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝．若已知銳角α滿足條件sinα＝，則sin2α＝．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）計(jì)算：．20．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a從﹣1，0，1，2中取一個(gè)合適的數(shù)代入求值．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開(kāi)展了“書(shū)香校園”的讀書(shū)活動(dòng)，活動(dòng)中，為了解學(xué)生對(duì)書(shū)籍種類（A：藝術(shù)類，B：科技類，C：文學(xué)類，D：體育類）的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生，進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項(xiàng)）將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）這次調(diào)查中，一共調(diào)查了名學(xué)生；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求“B”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若全校有2400名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)喜歡D類的學(xué)生有多少名？22．（8分）由于發(fā)生山體滑坡災(zāi)害，武警救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象．在廢墟一側(cè)地面上探測(cè)點(diǎn)A、B相距2米，探測(cè)線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，結(jié)果精確到0.1）五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）某學(xué)校準(zhǔn)備為“中國(guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽”購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，已知在某商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)3個(gè)甲種獎(jiǎng)品和2個(gè)乙種獎(jiǎng)品需要65元，購(gòu)買(mǎi)4個(gè)甲種獎(jiǎng)品和3個(gè)乙種獎(jiǎng)品需要90元．（1）求甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)各是多少元；（2）該校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60個(gè)，且購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的總費(fèi)用不超過(guò)600元．恰逢該商場(chǎng)搞促銷，所有商品一律八折銷售，求該校在該商場(chǎng)最多能購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)甲種獎(jiǎng)品．24．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AD＝，BD＝2，求OE的長(zhǎng)．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）如圖，線段AB經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，交⊙O于A，C兩點(diǎn)，AD為⊙O的弦，連接BD，∠A＝∠ABD＝30°，連接DO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）求證：AD2＝AO?AB；（3）若BC＝1，求BF的長(zhǎng)．26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x﹣3經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）P為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，①當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)M，連接AC，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，d＝MN+PM，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）．

2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）﹣2023的倒數(shù)是（）A．2023 B． C．﹣2023 D．【解答】解：∵﹣2023×（﹣）＝1，∴﹣2023的倒數(shù)是﹣，故選：B．2．（3分）浙江省“十四五規(guī)劃”指出，到2035年，軟件和信息技術(shù)服務(wù)業(yè)業(yè)務(wù)收入將突破12000億元數(shù)12000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．12×1011 B．1.2×1011 C．1.2×1012 D．0.12×1013【解答】解：將數(shù)據(jù)“12000億”用科學(xué)記數(shù)法可表示為12000×108＝1.2×1012．故選：C．3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．4a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)3?a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2【解答】解：A、應(yīng)為4a2﹣a2＝3a2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、應(yīng)為（a2）3＝a2×3＝a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、a3?a6＝a3+6＝a9，正確；D、應(yīng)為（2a）2＝22a2+2＝4a4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．4．（3分）為了解九年級(jí)學(xué)生讀書(shū)情況，隨機(jī)調(diào)查了九年級(jí)50名學(xué)生讀書(shū)的冊(cè)數(shù)．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：冊(cè)數(shù)01234人數(shù)11316173關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．中位數(shù)是2 B．眾數(shù)是17 C．平均數(shù)是2 D．方差是20【解答】解：A、中位數(shù)是2冊(cè)，結(jié)論正確，故A符合題意；B、眾數(shù)是3冊(cè)，結(jié)論錯(cuò)誤，故B不符合題意；C、平均數(shù)是（0×1+1×13+2×16+3×17+4×3）÷50≈2（冊(cè)），結(jié)論錯(cuò)誤，故C不符合題意；D、方差＝×[4×（0﹣2）2+13×（1﹣2）2+16×（2﹣2）2+17×（3﹣2）2+3×（4﹣2）2]≈1，結(jié)論錯(cuò)誤，故D不符合題意．故選：A．5．（3分）如圖，已知AE交CD于點(diǎn)O，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝35°，則∠E的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．35° D．15°【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，∴∠DOE＝∠A＝50°，∵∠C＝35°，∴∠E＝∠DOE﹣∠C＝50°﹣35°＝15°，故選：D．6．（3分）2022年卡塔爾世界杯開(kāi)幕式上中國(guó)元素閃耀登場(chǎng)．下面四幅與世界杯相關(guān)的圖標(biāo)中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選：D．7．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O分別與BC，AD交于點(diǎn)M，N，下列結(jié)論中，不一定成立的是（）A．∠B＝∠D B．BM＝AN C．AN＝CM D．OM＝ON【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠OAN＝∠OCM，∵O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，在△AON和△COM中，，∴△AON≌△COM（ASA），∴AN＝CM，ON＝OM，故A，C，D正確，B選項(xiàng)不正確，故選：B．8．（3分）關(guān)于x，y的方程組的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（）A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8【解答】解：把兩個(gè)方程相減，可得x+y＝k﹣3，根據(jù)題意得：k﹣3≥5，解得：k≥8．所以k的取值范圍是k≥8．故選：A．9．（3分）如圖，在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上任取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象于點(diǎn)B，連接OA，OB，則△AOB的面積是（）A．3 B．5 C．6 D．10【解答】解：∵點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴S△AOC＝×2＝1，又∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，∴S△BOC＝×8＝4，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+4＝5，故選：B．10．（3分）如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AD切⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在⊙O上．若∠A＝40°，則∠C為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【解答】解：∵AD切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥AD，∴∠ODA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠DOA＝90°﹣40°＝50°，由圓周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，故選：B．11．（3分）某滑梯示意圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．若AE＝1m，則DF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【解答】解：∵，AE＝1m，∴BE＝tanα，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝tanα，∴，∴．故選：A．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)最小值為14+8＝22，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≥﹣4且x≠1．【解答】解：由題意得：x+4≥0且x﹣1≠0，解得：x≥﹣4且x≠1，故答案為：x≥﹣4且x≠1．14．（3分）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，這些小球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的小球是紅球的概率是．【解答】解：∵袋子中裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，∴從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的小球是紅球的概率是．故答案為：．15．（3分）已知x＝1是方程x2﹣x+m＝0的一個(gè)根，則另一個(gè)根為﹣1．【解答】解：設(shè)方程另一個(gè)根為a，∵x2﹣x+m＝0的一個(gè)根為1，∴a+1＝，∴a＝﹣1．故答案為：﹣1．16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），則點(diǎn)B（﹣4，2）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3）．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣3，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），所以2﹣（﹣3）＝5，5﹣4＝1，即將△ABC先向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得△A1B1C1．所以﹣4+5＝1，2+1＝3，即點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．故答案為：（1，3）．17．（3分）如圖，點(diǎn)（0，1）在直線l1上，點(diǎn)（﹣4，﹣3）在直線l2上．若直線l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，則直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．【解答】解：∵點(diǎn)（0，1）在直線l1上，點(diǎn)（﹣4，﹣3）在直線l2上，l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)（0，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（0，﹣1），∴直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1），（﹣4，﹣3），設(shè)直線l2的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線l2的解析式為：y＝x﹣1，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，∴l(xiāng)1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），故答案為：（2，0）．18．（3分）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．例：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝．若已知銳角α滿足條件sinα＝，則sin2α＝．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∵，∴．∵，∴．∵α為銳角，∴．∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ∴sin2α＝sinα+α＝sinαcosα+cosαsinα＝＝．故答案為：．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）計(jì)算：．【解答】解：原式＝＝＝．20．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a從﹣1，0，1，2中取一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【解答】解：＝＝＝，∵a（a﹣1）≠0，a﹣2≠0，∴a≠0，1，2，∴a可以為﹣1，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，原式＝＝．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開(kāi)展了“書(shū)香校園”的讀書(shū)活動(dòng)，活動(dòng)中，為了解學(xué)生對(duì)書(shū)籍種類（A：藝術(shù)類，B：科技類，C：文學(xué)類，D：體育類）的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生，進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項(xiàng)）將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）這次調(diào)查中，一共調(diào)查了200名學(xué)生；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求“B”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若全校有2400名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)喜歡D類的學(xué)生有多少名？【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），即調(diào)查的總學(xué)生是200名，故答案為：200；（2）B所占百分比為，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“B”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×35%＝126°；D所占的百分比是：，C所占的百分比是1﹣15%﹣20%﹣35%＝30%，C的人數(shù)是：200×30%＝60（名），補(bǔ)圖如下：（3）2400×15%＝360（名），答：估計(jì)喜歡D類的學(xué)生大約有360名．22．（8分）由于發(fā)生山體滑坡災(zāi)害，武警救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象．在廢墟一側(cè)地面上探測(cè)點(diǎn)A、B相距2米，探測(cè)線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，結(jié)果精確到0.1）【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，設(shè)CD＝x米，則BD＝，AD＝，∵AB＝2米，AD＝AB+BD，∴AD＝2+BD，∴2+＝，解得，x≈1.7即生命所在點(diǎn)C的深度是1.7米．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）某學(xué)校準(zhǔn)備為“中國(guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽”購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，已知在某商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)3個(gè)甲種獎(jiǎng)品和2個(gè)乙種獎(jiǎng)品需要65元，購(gòu)買(mǎi)4個(gè)甲種獎(jiǎng)品和3個(gè)乙種獎(jiǎng)品需要90元．（1）求甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)各是多少元；（2）該校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60個(gè)，且購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的總費(fèi)用不超過(guò)600元．恰逢該商場(chǎng)搞促銷，所有商品一律八折銷售，求該校在該商場(chǎng)最多能購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)甲種獎(jiǎng)品．【解答】解：（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，依題意得：，解得：，答：甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為15元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元；（2）設(shè)學(xué)校在商場(chǎng)可購(gòu)買(mǎi)m個(gè)甲種獎(jiǎng)品，則可購(gòu)買(mǎi)（60﹣m）個(gè)乙種獎(jiǎng)品，依題意得：15×0.8m+10×0.8（60﹣m）≤600，解得：m≤30，答：學(xué)校在商場(chǎng)最多能購(gòu)買(mǎi)30個(gè)甲種獎(jiǎng)品．24．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AD＝，BD＝2，求OE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠OAB＝∠OCD，∴BC＝AD＝AB，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD＝AB，∴?ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，AB＝AD＝，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝，∴OE＝OA＝．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）如圖，線段AB經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，交⊙O于A，C兩點(diǎn)，AD為⊙O的弦，連接BD，∠A＝∠ABD＝30°，連接DO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）求證：AD2＝AO?AB；（3）若BC＝1，求BF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即OD⊥BD，∵OD是⊙O的半徑，∴直線BD是⊙O的切線；（2）證明：由