猜題26第12、16題集合的綜合應(yīng)用（上海精選歸納）

一、填空題

1.（2023春?上海嘉定?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）定義兩個(gè)點(diǎn)集5、7之間的距離集為

d（S,T）={∣P0∣∣PeS,QeT},其中IPa表示兩點(diǎn)P、Q之間的距離，已知％、r∈R,

S={（x,y）∣y="XWR},T={（x,y）∣y=j4d+l,xeR卜若d（S,T）=（l,+∞）,則f的值為.

【答案】-√5

【分析】集合T表示雙曲線丁-41=1上支的點(diǎn)，集合S表示直線y="+f上的點(diǎn)，d（S,T）=（1,物）,

故直線與漸近線平行,在漸近線下方，即r<0,且與漸近線的距離為1,計(jì)算得到答案.

【解析】y=≡Pr-4x2=l,y≥0,故集合T表示雙曲線y-4χ2=l上支的點(diǎn)，

集合S表示直線y=丘+/上的點(diǎn)，

d（S,T）=（l,+∞）,故直線與漸近線平行，在漸近線下方，即f<0,且與漸近線的距離為L

雙曲線的漸近線為>=±2x,不妨取2x+y=0,則y=-2x+f,即2x+yτ=0,

平行線的距離d=∕L=l,故/=-6或/=遙（舍去）.

故答案為：-布.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查了集合的新定義，直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力

轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)條件得到直線與漸近線平行，在漸近線下方，且與漸近線的距

離為1是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋.上海浦東新?高三華師大二附中?？奸_學(xué)考試）對開區(qū)間/=（“力），定義∣4=b-a,當(dāng)

實(shí)數(shù)集合M為”段（〃為正整數(shù)）互不相交的開區(qū)間/卜6、/“的并集時(shí)，定義IMl=￡困，若對

A=I

任意上述形式的（0,2萬）的子集A,總存在AeZ,使得閡≥2∣A∣,其中

?={x∣xeA,∣tan（x+今）<√Σ-11,則；I的最大值為.

【答案】-##0.25

4

【分析】利用三角函數(shù)的公式和性質(zhì)解不等式tan(x+fj<0-l,再結(jié)合任意和存在把不等式問

題轉(zhuǎn)化成最值問題，求出最值即可得解.

【解析】不等式tan(x+4)<√Σ-l平方可得

解得一(+"?乃<x+尋<(+∕wr(∕neZ)

設(shè)集合B={x∣0<x<2τ,tan,發(fā)現(xiàn)對任意ZeZ,∣β∣=y,

根據(jù)題意知，當(dāng)4VO,∣A∣≥∕l∣H恒成立;

當(dāng)；1>0時(shí)，因?yàn)閷θ我獾?0,2%)的子集A不等式都成立，所以讓IAI大于等于HAI的最大值，即

?Ak?≥2πλ,又因?yàn)榭偞嬖贛eZ,^∣Λ∣>Λ∣A∣,所以讓|闋的最大值大于等于川A∣,即^2/1同；

正好aMI取最大值時(shí)，Al也取得最大值，所以］≥2力I,解得∕L≤%

綜上所述力≤<,2最大值為

44

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】恒成立和存在問題的解題思路：

①F(X)>α恒成立，貝∣J∕(x)min>a;存在,則/(x)ratt>α;

②/(x)<a恒成立，貝∣J∕(x)max<4；存在，則/(XLI<4?

111r

3.(2022?上海青浦?統(tǒng)考二模)已知集合A=s,s+zUU/+1］,其中IWA且s+=<f,函數(shù)Ax)=」；，

_6J6x-1

且對任意αeA,都有/(α)wA,則r的值是.

【答案】史土!■或3.

2

【分析】先判斷區(qū)間［"+1］與X=I的關(guān)系可得f>l,再分析s+9<l時(shí)定義域與值域的關(guān)系，根據(jù)

O

函數(shù)的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點(diǎn)的不等式，進(jìn)而求得S和/即可.最后分析當(dāng)s>l時(shí)，

/(?)eI+}1+=Ul+-ly,l+±,從而確定定義域與值域的關(guān)系，列不等式求解即可

L6.

【解析】先判斷區(qū)間［f∕+l］與X=I的關(guān)系，因?yàn)镮任4,故r+l<l或r>ι.因?yàn)楫?dāng)/+1<1,即r<0時(shí),

由題意，當(dāng)feA時(shí)，一二>Of?A,故不成立；故f>l.

t-?

再分析區(qū)間s,s+J與X=I的關(guān)系，因?yàn)镮eA,故s+,<l或s>l.

66

①當(dāng)S+K，即4時(shí)，因?yàn)橹荚趨^(qū)間21上為減函數(shù),故當(dāng)Xes,s+,,

O

-<s+-

5-16

1

“x)—^―<1，而,故此時(shí)S,SH---，即《,因

,s÷l

5-16TS

6

66因?yàn)椤?

為S<］故,<6即,1?,故6S2-11ST=0,解得SJI士后,s

6

s+!≤s2-*s.√-H,5-l≥O12O

66I66

故S=Il一后.此時(shí)區(qū)間s,s+9在X=I左側(cè)，［f,f+l］在X=I右側(cè).故當(dāng)x∈［f,f+l］時(shí),

12L6」

∕(x)∈—,?,因?yàn)樯?,l,故—,??p√+l］,所以〃一;，此時(shí)KT—:≥：

「I」t-1」∣ill≥rIlXo

故/--1=0,解得/=生6,因?yàn)?1,故仁匕好；

22

+當(dāng)在區(qū)間Xe*+熹UW+"上單調(diào)遞減,易得

②當(dāng)s>l時(shí)，/(x)=l

t-?

1+≥r

l+-≥s5

”x)∈i+；，i+￡1÷ΛS—

U,故此時(shí),?I且6,即《l+j

5-11

S——1

6t-?61+≤r+lS——

門6

］+-^y≥∕1

t=------

5-1s=-+↑

s~^f>，所以，_LLI51Inlr+6

且T，故，，故—-+-=-+1,即n--=-^~

15t-?6tt-?6t

------F-=5

——<tS——Ir-I6

U-I6

因?yàn)閦>l,故，=3；

7=土叵或3

綜上所述,

2

叵≤或3.

故答案為:

2

4.(2022春?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí))已知平面上兩個(gè)點(diǎn)集

M={(x,y)∣∣x+y+l∣+∣x+y-l∣>2,xeR,y€尺},N={(x,y)∣∣x-a∣+∣y—l∣≤l,xeR,yeR},若

MCN=0,則實(shí)數(shù)。的取值集合是.

【答案】{—1}

【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可知M表示到直線χ+y+i=0與x+y-1=0的距離之和大于√Σ的

所有點(diǎn)的集合，又兩平行線間距離為血，可得可行域；N是以(a,l)為中心，√∑為邊長的正方形及

其內(nèi)部的點(diǎn)集，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定。的取值.

【解析】由IX+y+"+∣χ+y-ι∣>2得：'x~Lk％~->V2,

則M表示到直線x+y+l=O與x+y-l=O的距離之和大于√2的所有點(diǎn)的集合；

直線χ+y+l=O與χ+y-l=0之間的距離d=√∑,

則集合M=1(x,)，)『+)']>，],

1[x÷γ+l<O

則其表示區(qū)域如陰影部分所示(不包含χ+y+ι=0與χ+y-i=0上的點(diǎn))；

集合N是以(α,l)為中心，母為邊長的正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)集,

若MCN=0,則M,N位置關(guān)系需如圖所示，

由圖形可知：當(dāng)且僅當(dāng)α=T時(shí)，MCN=0,

實(shí)數(shù)。的取值集合為{T}?

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查集合與不等式的綜合應(yīng)用問題，解題基本思路是能夠確定集合所表示

的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域圖形，進(jìn)而采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行分析求解.

5.(2023春?上海?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)設(shè)集合S,T,SaNATuNRS］中，至少有兩個(gè)元素，且S,T

滿足：①對于任意x,yeS,若XXy,都有孫eT；②對于任意x,yeT,若x<N,則若S有4

X

個(gè)元素，則SlT有個(gè)元素.

【答案】7

【分析】由題可知S有4個(gè)元素，根據(jù)集合的新定義，設(shè)集合S={p∣,P2,%P4}，且Pι<P2<P3<P?l,

px,p1,py,p^N',分類討論P(yáng)l=I和P∣≥2兩種情況，并結(jié)合題意和并集的運(yùn)算求出ST,進(jìn)而可

得出答案.

【解析】解：由題可知，SJNXTjNKS有4個(gè)元素，

若取S={Z4,8,16},則7={8,16,32,64,128},此時(shí)ST={2,4,8,16,32,64,128},包含7個(gè)元素,

具體如下：

設(shè)集合S={p∣,P2,如P4}，且P∣<P2<P3<P?),P∣,P2gP4eN",

則p∕2<P2P4,且P∣P2,P2P4wT，則勺eS，

P?

同理Ae5Λe5AeSΛesAβ5,

P2P3PlPlPl

若Pi=I,則0≥2,則且<。3,故乙=P2,所以P3=pJ,

PiP2

又PH啜U故去作f所以…工

故S={1,P2”,P?3},此時(shí)2、€7,P2￡T，故ES,矛盾，舍去;

若P1≥2,則凸，故必=P2，'I=P1,所以P2=P∣2,P3=p：,

P?P?P?P?

故KL=4=p∣,所以p=pj,

XP4>—>—>—>1,il

PxP2P3PiP?

故S={p∣,p∣2,pj,pj},此時(shí){p∣3,p∣4,pj,pj,pj}￡τ,

若q∈T,則4eS,故4=Pι',i=l,2,3,4,故4=pJ3,j=[,2,3,4,

P?P?

即ge{p∣3,p∣4,p∣s,p∣6,p∣7},故{p：,p∣4,*p「,p「}=T,

此時(shí)ST={pi，p：,p：,p：,p；,p：,p；},即ST中有7個(gè)元素.

故答案為：7.

6.(2017?上海浦東新?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合A={(x,y)∣y=f+2?χ+ι},B={(x,y)∣y=2"(x+6)},

其中。<0力<0,且ACB是單元素集合，則集合P={(χ,y)∣(χ-4+(y-份2≤1}對應(yīng)的圖形的面積

為.

［答案］24

【解析】先根據(jù)ACB是一個(gè)單元素集合,得到直線和拋物線相切,得到/+〃=i,結(jié)合圖象得到集合

對應(yīng)圖形的面積為半徑為1小圓的面積與半徑為2大圓的面積的!的和,問題得以解決.

4

【解析】解:集合A={(x,y)?y=x2+2hx+?］,B={(x,y)?y=2α(x+?)},且ACB是一個(gè)單元素集合，

直線和拋物線相切，

由√i+2"+l=2”(x+6),SP√+2(?-a)x+l-2a?=0,有相等的實(shí)根，

所以A=4(6-a)2-4(l-2o?)=0,即ɑ?+加=1,

a<0,b<0,P^{(x,y)l(x-α)2+(y-?)2≤1},

???圓心在以原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓上的一部分(第三象限)，如圖所示，

集合戶對應(yīng)圖形的面積=半徑為1小圓的面積+半徑為2大圓的面積的J,

即4+4=2%.

故答案為：2萬.

【點(diǎn)睛】本題考查由對集合的理解，考查一次函數(shù)與二次函數(shù)相交的關(guān)系，屬于中檔題.

XH---X>0,、

7.(2020.上海松江.統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=%(aeR且。為常數(shù))和g(x)=k

∣log2(-x)∣XCO

(ZeR且%為常數(shù))，有以下命題:①當(dāng)女<0時(shí)，函數(shù)F(X)=AX)-g(x)沒有零點(diǎn)；②當(dāng)x<0時(shí)，

若∕7(x)=∕2(χ)+∕7./(X)+c恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)不當(dāng)，鼻，則XifW=T;③對任意的4>0,總存

在實(shí)數(shù)。，使得F(X)=f(x)-g(x)有?4個(gè)不同的零點(diǎn)王<W<三<匕，且IXJl赴l(fā),l“JW成等比數(shù)

列.其中的真命題是(寫出所有真命題的序號)

【答案】②

【分析】①根據(jù)題意，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)換為對應(yīng)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分別判斷x<0，

X>0兩種情況下，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，即可判斷出結(jié)果；

②根據(jù)題意，先令f=∕(χ),畫出函數(shù)丫=|1。氏(-刈的圖像，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)圖像，判斷

方程產(chǎn)+6+c=0根的分布情況，以及方程/=/(X)根的個(gè)數(shù)情況，即可判斷出結(jié)果；

③根據(jù)題意，只需判斷出x>0時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定是2個(gè)，即可得出結(jié)果.

_X+—x>0..

【解析】①因?yàn)閒(χ)=X，g(χ)=3由尸(X)=/(χ)-g(χ)=0得，函數(shù)尸(X)的零點(diǎn),

∣log2(-x)∣x<0

即是函數(shù)/(X)圖像與直線g(x)=k交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

當(dāng)x<0時(shí)，/(X)=Mg式―x)∣≥()恒成立，因?yàn)樯?lt;0,所以x<0時(shí)，函數(shù)尸(X)=AX)-g(x)=O顯然

沒有零點(diǎn)；

當(dāng)x>0時(shí)，由g(x)=&得x+q=Z,即尤2一履+α=o,即f一"=一4,

X

因?yàn)棣?lt;0,所以V一日>0恒成立，若—α>0時(shí)，函數(shù)F(X)=/(x)-g(x)=0可能有零點(diǎn)；若—α<0,

函數(shù)2》)=/。)-8。)=0沒有零點(diǎn)；故①錯(cuò)；

②當(dāng)x<0時(shí)，因?yàn)椤?X)=尸(x)+6∕(x)+c恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，令r=f(x),則關(guān)于f的方程

產(chǎn)+4+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，記作仆2，不妨令2;

做出函數(shù)y=|log2(r)|的圖像如下：

由圖像可得：當(dāng)f=o時(shí)，y=∣iog2(-χ)∣與y=，有1個(gè)交點(diǎn)：

當(dāng)f>o時(shí)，y=|iog《x)|與y=,有2個(gè)交點(diǎn)；

因?yàn)楹瘮?shù)〃。)=/2(》)+6/(工)+。恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，

則f(x)=%有1個(gè)根,記作4；/(X)=G有2個(gè)根，記作/，W(不妨令馬>三)；

所以只需4=。，，2>。，因此|log2(F)|=0，∣l°g式F)ITIog2(F)I=%

所以%=1;-3=2",-??=2-,≈,因此x∣^X2^J?=T;故②正確；

③由尸(X)=F(X)-g(x)=O,得/(χ)=g(χ);

所以函數(shù)y=∕(χ)與g(χ)=左圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)F(X)=/(χ)-g(χ)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

由②中圖像可知：當(dāng)Qo時(shí)，卜=”力與8(月=%在(-8,0)上有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)

尸(X)=/(x)-g(x)在(-∞,0)上有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)X>O時(shí)，若4≤0,則函數(shù)/(X)=X+?在(0,+e)上單調(diào)遞增，因此函數(shù)y=∕(χ)與g(χ)=A在

(0,+8)上最多只有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)尸(X)=Z'(x)-g(χ)在(0,+∞)上最多只有1個(gè)零點(diǎn)；不滿足存在

實(shí)數(shù)。，使得產(chǎn)(X)=F(X)-g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)；

若α>0,由基本不等式可得：/(X)=X+∕≥2G,即x>0時(shí)，/(幻詞"=26；

若0<心2&,則函數(shù)y=∕(χ)與g(χ)=R在(0,+8)上最多只有1個(gè)交點(diǎn)，也不滿足對任意的%>0,

總存在實(shí)數(shù)。，使得尸(X)=/(力-g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn).故③錯(cuò).

故答案為：②.

【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷命題的真假，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，靈活運(yùn)用數(shù)

形結(jié)合的思想，即可求解，屬于常考題型.

8.(2020?上海?高三專題練習(xí))向量集合5=卜巾=(匕〉),匚'€4,對于任意口,￡￡5,以及任意

/I€(O,I),都有4α+(1-㈤尸eS,則稱S為“C類集”,現(xiàn)有四個(gè)命題：

①若S為“C類集”,則集合M={μa?a∈S√∕∈穴}也是"C類集”；

②若S,T都是“C類集”,則集合M={α+R4eS/€7]也是“C類集”；

③若A，A。都是“C類集”,則A。&也是“C類集”；

④若A，Az都是“C類集”,且交集非空,則ACA2也是“C類集”.

其中正確的命題有(填所有正確命題的序號)

【答案】①②④

【解析】因?yàn)榧蟂=?a?a=(x,y),x,yeR],對于任意a,β≡S,且任意2∈(0,l),都有

∕le+(l-4尸∈S,可以把這個(gè)“C類集”理解成,任意兩個(gè)S中的向量所表示的點(diǎn)的連線段上所表示的

點(diǎn)都在S上,因此可以理解它的圖象成直線,逐項(xiàng)判斷,即可求得答案.

【解析】集合S={端=(XM,x,"R},對于任意α∕wS,

且任意4€(0,1'都有/。+(1—4)廣€5

???可以把這個(gè)“C類集”理解成,任意兩個(gè)S中的向量所表示的點(diǎn)的連線段上所表示的點(diǎn)都在S上,因此

可以理解它的圖象成直線

對于①,M={〃水eS,〃€/?},向量ɑ整體〃倍,還是表示的是直線,故①正確；

對于②,因?yàn)镾,T都是“C類集”,故加:,+他右5武斗還是表示的是直線做②正確；

對于③,因?yàn)锳,A?都是“C類集”,可得A。4是表示兩條直線,故③錯(cuò)誤；

對于④,A，A都是“C類集”,且交集非空,可得ACA2表示一個(gè)點(diǎn)或者兩直線共線時(shí)還是一條直線.

綜上所述,正確的是①②④.

故答案為:①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的新定義,解題關(guān)鍵是要充分理解新定義,結(jié)合向量和集合知識求解,考查了

分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.

9.(2016秋?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)A、B、C是集合，稱(48,C)為有

序三元組，如果集合A、B、C滿足IAlB?=?BCI=ICA?=l,且ABC=0,則稱有序三

元組(A,B,C)為最小相交(其中ISl表示集合S中的元素個(gè)數(shù))，如集合4={1,2},8={2,3},C={3,l}

就是最小相交有序三元組，則由集合{1,2,3,4,5,6}的子集構(gòu)成的最小相交有序三元組的個(gè)數(shù)是

【答案】7680

【分析】令S={l,2,3,4,5,6},由題意知,必存在兩兩不同的X,y,z∈S,使得N∏8={x},B∩C={y},

CΠA={z},而要確定X,y,Z共有6x5x4種方法；對S中剩下的3個(gè)元素，每個(gè)元素有4種分配方

式，即可得到最小相交的有序三元組(A,B,O的個(gè)數(shù).

【解析】令S={l,2,3,4,5,6},如果(A,B,C)是由S的子集構(gòu)成的最小相交的有序三元組,

則存在兩兩不同的尤，y,z∈5,使得4ΠB={x},8ΠC={y},CnA={z},(如圖)，要確定x,y,z

共有6×5×4種方法；

對S中剩下的3個(gè)元素，每個(gè)元素有4種分配方式，即它屬于集合4,B,C中的某一個(gè)或不屬于任

何一個(gè)，則有43種確定方法.

所以最小相交的有序三元組(A,B,C)的個(gè)數(shù)6x5x4x43=7680.

故答案為：7680

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的新定義，在新定義下計(jì)算集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，屬于中檔題.

10.(2018秋?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試)在直角坐標(biāo)平面Xoy中,已知兩定點(diǎn)

耳(-2,0)與6(2,0)位于動直線l-.ax+by+c=0的同側(cè),設(shè)集合P={/1點(diǎn)Fl與點(diǎn)F2到直線/的距離之差

等于2},Q={(x,y)∣∕+y2≤4,χ,yeR},記S={(χ,y)∣(χ,y)任/,/∈P},T={(χ,y)∣(χ,y)eQS},則由T

中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是________

【答案】4國專

【分析】根據(jù)條件確定集合尸對應(yīng)的軌跡,利用集合T的定義,確定T對應(yīng)圖形,即可求得T中的所有點(diǎn)

組成的圖形的面積.

【解析】兩定點(diǎn)片(-2,0)與8(2,0)位于動直線/:αx+緲+c=0的同側(cè),如圖：

過月(-2,0)與工(2,0)分別作/直線的垂線,垂足分別為民。

由題意得百B-6C=2,即EA=2

在Rt^中E乙=4,

CosZAFtF2??可得NA耳心=60"

集合P對應(yīng)的軌跡為線段A8的上方部分,。對應(yīng)的區(qū)域?yàn)榘霃綖?的單位圓內(nèi)部

根據(jù)T的定義可知,T中的所有點(diǎn)組成的圖形為圖形陰影部分

???陰影部分的面積為：2(如2"x2x4xsin6θ)=4G+與

故答案為:46+—?.

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的新定義的理解,解題關(guān)鍵是能夠通過已知條件畫出陰影面積的幾何圖像，

數(shù)學(xué)結(jié)合,考查了分析能力和計(jì)算能力.

11.(2021秋?上海虹口?高三上外附中?？茧A段練習(xí))若使集合A=H(米-公-8)(x-l)>0,xeZ}中

的元素個(gè)數(shù)最少，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【答案】IT-21

【分析】根據(jù)題意對上的值進(jìn)行討論，求出對應(yīng)的集合A,再分析集合A中元素的個(gè)數(shù)，從而得出

元素最少的情況，

【解析】由題知：

①當(dāng)無=O時(shí)，A=(X∣-8(X-1))0,X∈Z}={Λ?∣Λ-<1,XEZ},

此時(shí)集合A中的元素個(gè)數(shù)為無限個(gè)，故舍去.

②當(dāng)氏>0H寸，(Ax-A2-8)(x-l)>0,

kx-k2-S>0^kx-k2-8<0

等價(jià)于：或《

x-l>Ox-l<O

x>k+j<-

即：〈女或〈k.

x>?x<?

因?yàn)閗+^≥2而=4√∑>l

k

所以x>Z+g或χ<l.

k

O

A={x?x>k+-^tx<?,x&Z)

此時(shí)集合A中的元素個(gè)數(shù)為無限個(gè)，故舍去.

③當(dāng)&<0時(shí)，(fcv-?2-8)(x-l)>0,

E+?

等價(jià)于：人或《k

X>]x<?

QQ

因?yàn)槭?'所以k+1<x<L

Q

βpA={x∣?+-<x<l,xeZ}.

k

Q

此時(shí)集合A中的元素個(gè)數(shù)為有限個(gè)，并且的值越大,

K

集合A中的元素就越少.

因?yàn)閆+^∕≤-40',且-6<-4點(diǎn)<-5

κ

O

所以當(dāng)-6≤k+2<-5時(shí)，

k

即：T≤R≤-2時(shí)，集合A中的元素個(gè)數(shù)最少.

故答案為：Hk-2∣

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式解法與應(yīng)用，同時(shí)也考查了分類討論的思想，其中對女的值討論是

本題的關(guān)鍵，屬于難題.

12.（2022?上海?高三專題練習(xí)）下列命題：

fwc+y=-l一

①關(guān)于X、y的二元一次方程組,C0的系數(shù)行列式O=O是該方程組有解的必要非充分

3rwc-my=2m+3

條件；

②已知E、F、G、H是空間四點(diǎn),命題甲:E、F、G、“四點(diǎn)不共面,命題乙:直線EF和GH不相

交,則甲成立是乙成立的充分非必要條件；

③“α<2”是“對任意的實(shí)數(shù)X,∣x+11+∣x-ll≥“恒成立”的充要條件；

④“P=O或P=-4”是“關(guān)于X的方程K=x+P有且僅有一個(gè)實(shí)根”的充要條件；

X

其中,真命題序號是

【答案】②

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷,即可得出答案.

??mx+V=-I

【解析】對于①，系數(shù)行列式。Μ（）,關(guān)于*、y的二元一次方程組。C。有唯一解，

[3mx-my=2機(jī)+3

D=O是該方程組有解的非充分條件

又系數(shù)行列式。=o,2≠o或。尸0

[ιnx+y=-l

關(guān)于x、y的二元一次方程組，，。無解

系數(shù)行列式。=0,Dx=Dy=O

{mx+y=-l

關(guān)于x、y的二元一次方程組。?C。有無窮組解

[3，我-my=2m+3

[mx+y=-1

關(guān)于x、y的二元一次方程組。C。的系數(shù)行列式O=O是該方程組有解的非必要非

?7>mx-my=2m+3

充分條件；

故①不正確；

對于②,已知E、F、G、”是空間四點(diǎn),命題甲：E、F、G、//四點(diǎn)不共面,命題乙:直線EF和G”

不相交.

命題甲可以推出命題乙,甲成立是乙成立的充分條件

又直線EF和GH不相交,當(dāng)EFGH,BPE?F、G、H四點(diǎn)共面，

命題乙不能推出命題中,甲成立是乙成立的非必要條件

甲成立是乙成立的充分非必要條件.

故②正確；

對于③,設(shè)y=∣χ+l∣+∣χT

當(dāng)x21時(shí),y=2x≥2;

當(dāng)一IVX<1時(shí),y=2;

當(dāng)X<-1時(shí),y=-2x>2.

?∣x+l∣+∣x-l∣≥2

α<2能推出任意的實(shí)數(shù)x,∣χ+l∣+∣χ-l∣≥“

又對任意的實(shí)數(shù)x,∣χ+"+∣χ-l∣≥“不能推出α<2

故“4<2”是“對任意的實(shí)數(shù)x,∣χ+l∣+∣χ-l∣≥“恒成立”的充分不必要條件

故③不成立；

對于④,由關(guān)于X的實(shí)系數(shù)方程W=X+P有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,得：V+"X-P=O,

X

由4=p2+4p=0W：P=O或P=-4

當(dāng)P=O時(shí),得X=O,檢驗(yàn)知:X=0不是方程4=x+p的實(shí)根,故此時(shí)方程無解

當(dāng)p=-4時(shí),d-4x+4=0,解得x=2,檢驗(yàn)知:x=2是方程e=x+p的實(shí)根.

X

故此時(shí)關(guān)于X的方程Z=χ+P有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

X

"P=0或P=-4”不能推出“關(guān)于X的方程K=χ+p有且僅有一個(gè)實(shí)根”

X

又關(guān)于X的方程K=x+P有且僅有一個(gè)實(shí)根也不能推出“P=O或P=4'

X

“P=0或。=-4”是，，關(guān)于X的方程P=x+p有且僅有一個(gè)實(shí)根”的既不充分也不必要條件.

X

故④錯(cuò)誤.

故答案為:②.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件與必要條件的判定,其中熟記充分條件和必要條件的判定方法是解

答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔題.

13.(2021.上海浦東新.上海市建平中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知集合M=，H，4},集合M的所有

非空子集依次記為：M1,M2,....M15,設(shè)m∣,m2,…，m∣5分別是上述每一個(gè)子集內(nèi)元素的乘積，

規(guī)定：如果子集中只有一個(gè)元素，乘積即為該元素本身，則m∣+m2+...+mi5=

13

【答案】y

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程構(gòu)造出函數(shù)〃x)=(x-|)(X+￡|(X+1)(X+4),當(dāng)x=l時(shí)，函

數(shù)的值就是所有子集的乘積.

【解析】集合M的所有非空子集的乘積之和為函數(shù)"x)=(x-∣］卜+j(x+l)(x+4)展開式中所有

項(xiàng)數(shù)之和7-1

令％=1,

7'=^l-∣Wl+^×(l+l)×(l+4)=∣×→2×5=y

故答案?.為］13

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是元素與集合關(guān)系的判定，函數(shù)展開式的系數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)求解，注意

轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.

14.(2015秋?上海普陀?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知等比數(shù)列{q,}的首項(xiàng)為g,公比為其前八項(xiàng)

和記為S,又設(shè)紇，鋁］("eN*,"≥2),紇的所有非空子集中的最小元素的和為T,

則S+2T≥2014的最小正整數(shù)”為.

【答案】45

【解析】試題分析：等比數(shù)列{4}的首項(xiàng)為3公比為;,其前"項(xiàng)和記為S,.?.S=1-,當(dāng)〃=2

時(shí),凡的所有非空子集為：j?^,{∣},{∣},.??5=i×2+^=2;當(dāng)〃=3吐

.?.S=∣×4÷→2+∣=4i當(dāng)〃≥4吐當(dāng)最小值為竽時(shí)，每個(gè)元素都有有或無兩種情況，共有

2482

n-1個(gè)元素，共有2小個(gè)非空子集,H=2'九9—1；當(dāng)最小值2〃為—3拳共"-2個(gè)元素，有個(gè)非空子

在C2幾一3

集，S?=-,…，

.?.7'=S,+S,+53+...+S?^??+^^+...+?+?+^+^=^-^,S+2T≥2014,

1-3”222442

+“2-122014,.?.“≥45,故答案為45.

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式；2、集合的子集與子集個(gè)數(shù)問題.

【思路點(diǎn)晴】本題主要考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的前八項(xiàng)和公式，以及集合的子集與子集個(gè)數(shù)問題,

屬于難題.要解答本題，首先等比數(shù)列{4}的前"項(xiàng)和S,然后根據(jù)子集個(gè)數(shù)和化歸思想將“B11的所有

非空子集中的最小元素的和為r‘轉(zhuǎn)化為"2”T個(gè)竽，2”2個(gè)^,?…1個(gè)］(1為最大元素)的

和等于T”,最后再根據(jù)整數(shù)不等式“試根法”可解答本題.

15.(2014秋.上海浦東新?高三統(tǒng)考期末)用S表示集合S中的元素的個(gè)數(shù)，設(shè)4B、C為集合,

稱(AB,C)為有序三元組.如果集合4B、C滿足B?=?B1Cj=∣CIH=ι,且

Jl51C-3,則稱有序三元組(A,8,C)為最小相交.由集合{L-.3.4}的子集構(gòu)成的所有有序三

元組中，最小相交的有序三元組的個(gè)數(shù)為.

【答案】96

【解析】試題分析：AB,C三個(gè)集合不可能有一元集，否則不能滿足ACBCC=0,又因?yàn)镾中只

有4個(gè)元素,則4B,C中不可能有兩個(gè)集合都有3個(gè)元素,否則不能滿足∣Ac8∣=怛Cq=ICC=1,

但A8,C中可以三個(gè)集合都含有2個(gè)元素，也可能是一個(gè)集合有3個(gè)元素，其它兩個(gè)集合含有2個(gè)

元素，情形如下：

如三個(gè)集合都含有2個(gè)元素這種情形A={4%}，B={a2,a3},C={%%},這種類型有C：=4種

可能，另外第4個(gè)元素/可任意加入上述4種可能中的每一個(gè)集合，又形成不同的情形，這樣就又

有3x4=12種，于是就共有了4+12=16種情形,在每一種情形(ASC)中，它們的順序可以打亂，

每種可形成8=6個(gè)，因此共有16x6=96個(gè)有序三元組.

考點(diǎn)：集合的交集.

16.(2018秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學(xué)校考期末)已知集合a={∣α.,<2：.….aja=0

或1，7=1,2,,n,(“≥2)},對于UweA“，d(U')表示U和U中相對應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)，若給定

UeA,,則所有的d(UW)和為.

【答案】nT-'

【解析】試題分析：由題意可得集合H={∣Q.α.j??.cJα=O或】，/=1,2，,〃,(心2)}中，

共有2"個(gè)元素，記為K(Z=I23,4,,2")W=(4也也，bn),〃=0的匕共有2"τ個(gè)，。=1的匕共

有2"^'個(gè)，

???>3)=2"TM-Okk-l?+?a2-0∣+∣α2-l∣++∣?-0∣+∣α,,-1∣)=n×2'-'.

故答案為"x2"T.

考點(diǎn)：推理與證明.

17.(2020?上海?高三專題練習(xí))設(shè)集合A={(x,y)∣5≤(x-2)2+y2≤"2,χ,yeR},

B={(x,y)∣2m≤x+y≤2m+l,x,yeR},若AB葩,則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是______________

【答案】；*2+逝］

［解析］由題意，_

解當(dāng)τn≤O時(shí)，如圖1,集合A為一個(gè)圓面(工-2)2+》2《田，圓心為C(2,0),半徑

r?=-m.

集合B是兩平行直線∕ιjx+>=2m,Zza+ty=2m+l組成的帶形區(qū)域.

因?yàn)閳A心。必在直線乙4的上方，妥使AABR0,需且只需

直線，2與圓(x-2)2+y2=Tn2有公共點(diǎn).

即2&—γn,解得二22~^歷，與MVo矛盾.

√22

當(dāng)771=0時(shí)，集合A為一個(gè)點(diǎn)(2,0)，集合B是兩平行直線Z-K

+y≈09l2?x+y=l組成的帶形區(qū)域.此時(shí)AnB=0.(圖1)

當(dāng)m>0時(shí)，如圖2,由A盧0得與≤/,所以wz>］?.

乙乙

集合A為兩個(gè)同心圓G：(￡-2)2+丁=矍C:(Z—2產(chǎn)+?2

=/組成的圓環(huán)面，集合B是兩平行直線/［：%+>=2m,為：了+?

==2wι+?l組成的帶形區(qū)域.

圓心C(2,0)必在直線Z2的下方.若圓心C在直線∕∣下方，要

使AnBH0,需且只需直線Ii與。&：(了-2)2+?2=S2有公共

J.oI2—2Tnl/

點(diǎn)、9即0--z∑—LWTn,（圖2）

√2

解得2-√Σ≤M≤2+√Σ.

故2—J∑≤n2≤2+J?.

若圓心C在直線Zl上方，/≤aV2一伍

綜上，-∣?≤τn≤2+慮.

18.(2022春?上海青浦?高三上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))有限集S的全部元素的積稱為該數(shù)

集的“積數(shù)”，例如{2}的“積數(shù)”為2,{2,3}的“積數(shù)”為6,{?，…J}的“積數(shù)”為5，則數(shù)集

M=卜|x=，2≤〃≤2021,〃€N*}的所有非空子集的“積數(shù)，，的和為.

【答案】1010

【分析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對于有限非空數(shù)集A=,,%%!,4},積數(shù)和

S,,=(l+α1)(l+a,)L(l+?)-l,由此即可計(jì)算得到答案.

【解析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對于有限非空數(shù)集4={4,%,6,L,q},積數(shù)和

5〃=(1+4)(1+a2)L(1+?)-1.

當(dāng)〃=1時(shí)，5〃=1+4-1=%=S∣,成立；

假設(shè)〃=Z(Z≥D時(shí)，Sjfc=(l+α1)(l+o2)L(l+?)-l

當(dāng)〃=k+1時(shí)，Sk+i=Sli+?+1+Sk?4+∣=Sk+{Sk÷1)?4+ι

=(1+6Zl)(1+?)L(1+?)—1+(1+<7∣)(1+?)L(1+cιk)?+∣

=(1+q)(1+/)L(1+4)(1+QAl)-I

綜上可得，V∈TV"?S“=(1+q)(l+%)L(1+〃“)—L

則數(shù)集M=WX=:,2≤"≤2021,"eN]的所有非空子集的“積數(shù)”的和為：

],34512022,

1+lι÷lI÷1L1÷-1=-X—X—×L×--------1

2)3八4202?2342021

2022

-1=1010

2

故答案為：1010.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義“積數(shù)”的理解和運(yùn)用，以及“積數(shù)”的和的求法，求證對于有

限非空數(shù)集A={%,g,4,L“},積數(shù)和S,,=(1+4)(1+%)L(1+4,)-1是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的

邏輯推理與運(yùn)算求解能力，屬于難題.

1,XeMF

19.(2021春?上海寶山?高二上海交大附中?？计谀?對任意集合M,定義ZW(X)=0,XeM'己

知集合S、T=X,則對任意的xeX,下列命題中真命題的序號是..(1)若Sq7,則

∕s(χ)+Λ?(χ)+ι

f{x)<f(x).(2)Λ(x)=l-4(x);(3)Λ?U)=Λ(-r)?ΛW(4)f(x)=[■]

sτvs7isr2

(其中符合[0表示不大于。的最大正數(shù))

【答案】(1)(2)(3)(4)

【分析】根據(jù)給定條件對4個(gè)命題逐一分析并判斷作答.

【解析】對于⑴，因SuT，XeS時(shí)，xeT,fs{x)=fτ{x)=?,XeS時(shí)，人(X)=。，而分⑴=?；?/p>

Λ(x)=1,則。(X)≤方(X),⑴正確；

對于(2),XeS時(shí),Xi?xS,則力(X)=I,為S(X)=°，X史S時(shí),XrdXS,即力(X)=O(X)=1,

A(X)+?4s(x)T,從而有A(X)=I-幾S(X)，⑵正確；

對于(3),xeST,則x∈S,xeT,fsr(x)=1,fs(x)=1,fr(x)=1,即夭.?r(x)=力(X)?f?(x),

x￠Sr>T,則為7(x)=O,此時(shí)XeS與XeT至少有一