2023年吉林省金太陽高考數(shù)學聯(lián)考試卷(4月份)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={x∣2—%<1},B={x∣∣x-1|<3},則4C8=()

A.{x∣—2<%<1}B.{x∣x<4}

C.{x∣l<%<4)D.{x∣x>—2}

2.已知復數(shù)z=α+bi(α,beR),且含=1+23貝IJab=()

A.—9B.9C.—3D.3

3.已知拋物線C：M=2Py(P>0)的焦點為F,M(rn,2)在拋物線C上，且IMFl=4,則P=()

A.2B.4C.8D.12

03

4.?α=log030.4,b=1.2?,c=log2,ι0.9,則()

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

w

5.已知{an}是等比數(shù)列，則"a4+α7=27(%+α4)是“數(shù)歹∣J{azι}的公比為3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.如圖,在正三棱柱4BC中,441=

E是AlB的中點，則(AO+DE)2的最小值是(

A.6-√"7

B.2√^7

C.3+√7

D.5+√7

7.已知函數(shù)/(x)滿足f(l-X)=f(5+x),且f(x+1)是偶函數(shù)，當l≤x≤3時，f(X)=

3

+

2x4-則f(log236)=()

A.IB.3C.≡D.≡

284

8.已知雙曲線C：鳥一馬=1(。＞0,匕＞0)的左焦點為尸(一e0),點M在雙曲線C的右支上,

Λ(0,h),若△?!MF周長的最小值是2c+4α,則雙曲線C的離心率是()

A.≤I±1B.＜3+1C.5D.5

22

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.某商場開業(yè)期間舉辦抽獎活動，已知抽獎箱中有30張獎券，其中有5張寫有“中獎”字樣

.假設抽完的獎券不放回，甲抽完之后乙再抽，記4表示甲中獎，8表示乙中獎，則()

A.P(AB)=?B.P(B)=盤C.P(∕l∣β)=?D.P{B?A)=?

10.已知圓。：x2+y2=9,過點4(2,0)的直線/與圓。交于M,N兩點，則()

A.存在直線，，使得IMNl=4B.使IMM的長為整數(shù)的直線(有3條

C.存在直線I,使得AMON的面積為5D.使AMON的面積為4的直線I有2條

11.正三棱錐P-ABC的底面邊長為3,高為/石，則下列結論正確的是()

A.AB1PC

B.三棱錐P-ABC的表面積為9

C.三棱錐P—ABC的外接球的表面積為27τr

D.三棱錐P-ABC的內切球的表面積為當

{2X—RX>0

3-n，函數(shù)g(x)=∕(∕(x))-m恰有3個零點，則下列說

X—DX-TI1XSU

法正確的是()

A./Q)有2個零點

B.若m=3,則g(x)有4個零點

C.若g(x)只有1個零點，則m的取值范圍是(—8,-3)U(3,+8)

D.若g(x)恰有5個零點，則m的取值范圍是［一1,1)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.幸福指數(shù)是衡量人們對自身生存和發(fā)展狀況的感受和體驗，即人們的幸福感的一種指數(shù)

.某機構從某社區(qū)隨機調查了10人，得到他們的幸福指數(shù)(滿分：10分)分別是7.6,8.5,7.8,

9.2,8.1,9,7.9,9.5,8.3,8.8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.

14.若0<α<4,則2+目的值可以是.

15.“趙爽弦圖”是中國古代數(shù)學的圖騰，它是由四個全等的直C

角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如圖，某人類比∕∣?

“趙爽弦圖”，用3個全等的三角形和一個小的等邊三邊形拼成一/Λ×s?

個較大的等邊三角形.D、E,F分別是BE,CFMO的中點，若AB=7,

則而?JE=?A

16.己知函數(shù)/(x)=2cos(3x+s)(3∈N+,∣9∣<9滿足/(勺=0,/■(等)=2,且/'(x)在

NDIZ

(OA)上單調，若關于X的方程/(x)=l?[m,n](m<n)上有2023個零點，則n-m的最小值是

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

某雜志社對投稿的稿件要進行評審，評審的程序如下：先由兩位專家進行初審.若兩位專家的

初審都通過，則予以錄用；若兩位專家的初審都不通過，則不予錄用；若恰能通過一位專家

的初審，則再由另外的兩位專家進行復審，若兩位專家的復審都通過，則予以錄用，否則不

錄用，假設投稿的稿件能通過各位專家初審的概率均為：，復審的稿件能通過各位專家復審的

概率均為今且每位專家的評審結果相互獨立.

(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；

(2)記X表示投到該雜志的3篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望.

18.(本小題12.0分)

在△4BC中，角A,B,C的對邊分別為Q,b,C1已知bsiτιB—cs譏C=Q.

(1)證明：B-C=7^

(2)若4=%a=2√-3.求AABC的面積.

19.(本小題12.0分)

在①2Sjl=(n+l)αn>@(n-I)Sjt=(n+l)Sn-1(π≥2)這兩個條件中任選一個，補充在下

面問題中，并作答.

問題：設數(shù)列｛an｝的前n項和為九，α1=1,且.

(1)求｛arι｝的通項公式；

(2)若b=懸+聯(lián)，求數(shù)列｛bn｝的前n項和

TlIJLUJI

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

20.(本小題12.0分)

-

如圖，在三棱柱BC-AIBICI中，所有棱長均為2,且BlC=√6,?ABB1=60°,西=3前.

(1)證明：平面ABC_L平面ABBI

(2)求平面ACD與平面&&C夾角的余弦值.

21.(本小題12.0分)

橢圓E的中心為坐標原點，坐標軸為對稱軸，左、右頂點分別為A(-2,0),B(2,0),點(LC)

在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程.

(2)過點(-LO)的直線2與橢圓E交于P,Q兩點(異于點4,B),記直線AP與直線BQ交于點M,

試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由.

22.(本小題12.0分)

己知函數(shù)f(x)=ex+mx3-nx2—x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),且曲線y=/(尤)在X=1處的

切線方程為y=-%.

(I)求實數(shù)m,n的值；

(2)證明：對任意的XeR,f(x)≥3/-5/+1恒成立.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：由題意可得4={x∣x>1},β={x∣-2<X<4},

則4QB={x∣l<X<4}.

故選：C.

分別化簡集合4,B,由集合的交集運算即可得出結論.

本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：由題意可得(α+bi)i=(l+2i)(l+i),則—b+αi=-l+3i,

從而α=3,6=1,故αb=3.

故選：D.

由題意可得(α+bi)i=(l+2i)(l+i),化簡后利用復數(shù)相等即可解得α=3,b=1,從而可解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：由拋物線的定義可知，IMFl=2+§=4,

解得P=4.

故選：B.

根據(jù)拋物線的定義可得2+∣=4,即可求解.

本題考查了拋物線的標準方程及其應用，考查了數(shù)形結合的思想方法，考查了計算能力，屬于基

礎題.

4.【答案】D

【解析】解：因為O<0.3<1,所以y=IogtuX為減函數(shù)，

所以IOgo.3l<log030.4<log030.3,即0<α<1.

因為1.2>1,所以y=1.2乂為增函數(shù)，

所以1.2tχ3>1.2。，即b>l.

因為2.1>1,所以y=logzι%為增函數(shù)，

所以Iog2.ι0?9<log2,ιl>即C<0,

所以b>a>c.

故選：D.

α用對數(shù)函數(shù)的單調性和0,1比較，b用指數(shù)函數(shù)的單調性和1比較，C用對數(shù)函數(shù)的單調性和0比

較，即可判斷大小關系.

本題考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：設等比數(shù)列｛αn｝的公比為q,

a4+a7=27(α1+a4),

3

則(%+a4)q=27(α1+α4),即0?+α4=。或或=27,

33

故β?+a4=a1+a1q=a1(l+q)=0,

故q=-I或q=3,

所以'％4+a7=27(%+aQ”是“數(shù)列｛a>l｝的公比為3”的必要不充分條件.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結合等比數(shù)列的性質，以及充分條件、必要條件的定義，即可求解.

本題主要考查等比數(shù)列的性質，以及充分條件、必要條件的定義，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：如圖，將平面AmC與平面44C翻折到同一平面上，連接AE,記4E∏&C=F,

由題意可知IaIA=AC=BC=2,A1C=A1B=2√-2,所以4朗+AC?=必。?,

所以Λ4ι1AC,^??AA1C=45°,

rn?∕RAr—4廿+4也-2_8+8-4_3

CoSNBAIC-2%B4C_2x25x25一4,

從而SinNB&C=√l-cos2ZβΛχC=?，

_y-

AJrΛΛΓtZΛΛΓ?lCA八V2z3∕~~7?3V2—√14

McosZ-AA1B=CoS(Z√14ιC+乙BAiC)=?(-———)=-------------，

因為E是的中點，所以4E=√^N,

2

由余弦定理可得NE?=4業(yè)+/I1F-2AA1-A1ECOSLBA1A=4+2-2x2XqXF=

O

3+C，

因為。在4C上，所以4D+DE≥4E,當4、E、0三點共線時，等號成立，

則OW+DE)2≥3+√7,

即(4。+DE)2的最小值為3+√^7.

故選：C.

將平面4Be與平面4通C翻折到同一平面上，連接4E,記AEn&C=F,計算出&E以及CoS乙4&B

的值，分析可知當4、E、D三點共線時，4。+。E取得最大值，再結合余弦定理求解即可.

本題主要考查了正三棱柱的結構特征，考查了余弦定理的應用，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，由/(x+l)是偶函數(shù)，得/Q+l)=r(-x+l),

令x+l=T,則八一t)=∕(t+2).

由/(1一萬)=f(5+x),令l-x=-3則/(T)=f(t+6),

則有/(t+2)=f(t+6),即f(x)=∕(x+4),所以函數(shù)f(%)周期為4.

因為5=log232<log236<log264=6,則有1<log236-4<2,

所以/。。勿36)=f(,log236-4)=f(log21)=21°*+∣=∣+∣=3?

故選：B.

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和對稱性，得到函數(shù)的周期，利用周期和指數(shù)式的運算規(guī)則求函數(shù)值.

本題考查函數(shù)的對稱性和周期性的應用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解:如圖,

設雙曲線C的右焦點為V,連接AF',線段4尸'交雙曲線C于點M',

則MMl+?MF'?≥?AF,?.

由雙曲線的定義可得IM尸I-IMFl=2α,

則∣4Ml+?MF?=?AM?+?MF'?+2a≥?AF'?+2a.

因為4(0,b),所以IaFl=?AF'?=√b2+c2<

則小AMF周長的最小值為2∣√1F'∣+2a=2√b2+c2+2a=2c+4a，

整理得C?—2ac—2a2=0?即e?—2e—2=0,

解得e=V-3+1.

故選:B.

設雙曲線C的右焦點為F',連接AF線段AF'交雙曲線C于點M',由三角形兩邊之和大于第三邊得

?AM?+?MF'?≥?AF'?,再由雙曲線的定義得IMFl-IMF'∣=2a,從而得到MMl+?MF?≥?AF'?+

2a,所以A4MF周長的最小值可表示為2∣4F'∣+2ɑ,結合條件可求出關于α,C的方程，即可解出

離心率.

本題考查雙曲線的幾何性質，數(shù)形結合思想，化歸轉化思想，屬中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,P(SB)=P(A)P(BM)=在x>=1,A正確；

對于B,P(B)=PG4)P(Bl4)+P(4)P(B∣4)=卷=*,B錯誤；

2

對于C,P(AIB)=磊=率=煮C正確；

2

對于D,P(B⑷=需=孥=品。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)題意，由條件概率和古典概型公式依次分析選項，綜合可得答案.

本題考查條件概率的計算，涉及古典概型的計算，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】解：???過點4(2,0)的直線，與圓。交于N兩點，

圓心O到直線Z的距離d的取值范圍為[0,2],

所以最短弦長為2/32—d2=2/耳最長弦長為6,且最長弦與最短弦有唯一性，故A錯誤，B

正確.

?MoN的面積S=???MN?■d=√9-d2?d=√(9-d2)?d2,d∈(0,2],令t=d?,t6(0,4].

則S=,(9—t)t=、?→2+%=J_?_72+?,t∈(0,4],顯然S隨t的增大而增大，

故StnaX=2/虧＜小故選項C錯誤.

由對稱性知，使AM。N的面積為4的直線(有2條，則。正確.

故選：BD.

由題意可得圓心。到直線/的距離d的取值范圍為[0,2],進而結合每個選項條件計算可得結論.

本題考查直線與圓的位置關系，考查運算求解能力，屬中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：如圖，取棱AB的中點D,連接CD,PD,易證4B1CD,ABLPD,

因為PO,CDU平面Pe0,且PDnCD=。，所以AB_L平面PCD,則4B1PC,故4正確；

作PHJ_平面4BC,垂足為H,貝IJPH=/石，由正三棱錐的性質可知H在CD上，且CH=2OH,

因為48=3,所以CZ)=?.則CH=因為PH=√r6.所以PC=√3+6=3.

則三棱錐2-48。的表面積5=孕%9*4=97_5，故B正確；

設三棱錐P-HBC的外接球的球心為。，半徑為R,則。在PH上，連接。C,

則R2=CH2+OH2=(PH-OH)2,即R2=3+。由=(C-OH)2,解得R?=條

則三棱錐P-HBC外接球的表面積為4萬辟=竽，故C錯誤；

設三棱錐P-HBC的內切球的半徑為，則%TBc=gx?x9x7%=gx9/Ir，解得r=?,

從而三棱錐P-ABC的內切球的表面積為4仃2=：,故Z)正確

故選：BCD.

取棱4B的中點0,連接C。，PD,易證48_LC。，AB1PD,進而逐項判斷即可.

本題考查錐體的性質，考查求空間幾何體的表面積的求法，屬中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：當x≤0時，/(x)=X3—3x+1,

所以尸(X)=3x2—3,

所以當％∈(-8,-1)時,f'(x)>O,f(x)單調遞增,當*6(-1,0)時,/'(*)<0,f(*)單調遞減,

所以y=f(x)的圖象如圖所示：

由圖可知/(x)有2個零點，則A正確;

設t-/(x),則m-/(t),

當τn=3時，m=/(t)的解是“=-1,t2=3,

所以/(x)=t有2個不同實根,

f(x)=%有2個不同實根，則t=∕(x)有4個不同實根，故B正確;

當時，有個不同實根ts

l≤τn<3m=f(t)3t3,t4-

設-

t3S(2,-1),t4∈(-l,0],ts∈[2,3).

f(x)=t3有2個不同實根，/(x)=有2個不同實根，/(x)=上有3個不同實根,

則t=f(x)有7個不同實根；

當一l≤m<l時，τn=f(t)有2個不同實根%，t7，

設t6W2,—1),t7∈[1,2)>

/(x)=t6有2個不同實根，/(x)=勺有3個不同實根，

則t=∕(x)有5個不同實根；

當一3<小<-1時，Tn=/(t)有2個不同實根t?,tg，

設tgε(-3,—2),tg∈(0,1),

/(x)=t8有2個不同實根，/(%)=J有2個不同實根，

則t=f(X)有4個不同實根；

當m≤-3時，m=/(t)有且只有1個實根口0，

當心>一3時,則t=/Q)有2個不同實根;

當tιo≤-3時，t=∕(x)只有1個實根；

當m>3時,m=>t)有且只有1個實根tn，且tn>3,則t=f(x)

只有1個實根.故C錯誤，O正確.

故選：ABD.

利用導數(shù)，確定當當X≤0時函數(shù)的單調性，并作出函數(shù)的圖象，結合圖象分m=3、l≤m<3?

—1≤m<1,—3<m<-1、m≤—3及m>3討論即可得答案.

本題考查了函數(shù)的零點、導數(shù)的綜合運用、轉化思想及數(shù)形結合思想，屬于中檔題.

13.【答案】8.4

【解析】

【分析】

本題主要考查中位數(shù)的求法，屬于基礎題.

利用中位數(shù)的求法，依次排序計算即可.

【解答】

解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為7.6,7.8,7.9,8.1,8,3,8,5,8.8,9,9.2,9.5,則這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是彎至=8.4.

故答案為：8.4.

14.【答案】6(答案不唯一，只要大于等于今

【解析】解：Q+4-Q=4,O<α<4,

M∣∣281.、i/218、1「2(4—。)8Q-1.八、9

則z+石=與rα+z(4-a)］。+而)=彳［—^—+k+1°ZΛ］1≥7(2X4+410)=N

當且僅當迎I=獸，即a=。時，等號成立，

a4-a3

故2+U-的值可以是6.

a4-a

故答案為：6(答案不唯一，只要大于等于今.

根據(jù)已知條件，結合基本不等式的公式，即可求解.

本題主要考查基本不等式的公式，屬于基礎題.

15.【答案】一14

【解析】因為AEDF是正三角形，所以NEZM=60。，則NaZ)B=I20。，

因為D,F分別是BE,AO的中點，且△力BD和ABCE全等，

所以28D=BE=AD,設BD=%,則4。=2%,因為ZB=7,

所以COSz?A08="F',J，=COSl20。=—

2×x×2x2

解得X=√^7.所以力。=BE=2x=2，7,

由圖可知而與屁的夾角為120。，

所以近?BE=2<7X2√-7XCoSl.20。=-14.

故答案為：—14.

由圖可知280=40,且乙40B=I20。，利用余弦定理可求出40,再利用向量的數(shù)量積公式即可

輕松求解.

本題主要考查向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形，屬于基礎題.

16.【答案】1011π

【解析】解:因為照)=Oj登)=2,整理得者-≡=?+?)??(fc1∈Z),解得3=駕上(k1∈

Z)?

由于f(x)在(OA)上單調，所以JxqN所以3≤3?

?ZCι)o

根據(jù)ω=竺歲(燈∈Z)且3∈N+，

所以3=2.根據(jù)/(詈)=2,故2cos(2X*+φ)=2,解得"=kπ一等(AWZ).

因為|初<1,故當k=2時，解得0屋，

故/(x)=2cos(2x+1).

由f(X)=1>得cos(2x+ξ)=p則2%+0=2kττ+，或2%+3=2kn—j,(fc∈Z),

解得X=kπ+"或X=卜兀一：(/CeZ),

故/Q)的相鄰兩個零點之間的距離是?或等.

J.5

要使九一772最小，則m,Tl都是/(%)=1的解，

則n-m≥IOll×y=1011π.

故答案為：1011π.

首先利用余弦函數(shù)的性質求出函數(shù)的解析式，進一步利用函數(shù)的性質求出n-m的最小值.

本題考查的知識要點：余弦函數(shù)的性質，函數(shù)的解析式的求法，主要考查學生的理解能力和計算

能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題意可得投到該雜志的1篇稿件初審直接被錄用的概率Pl=(?)2=?,

投到該雜志的1篇稿件初審沒有被錄用，復審被錄用的概率P2=?×∣×∣×φ2

故投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率P=p1+p2=l+1=l

?z999

(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,且X?B(3,|),

734327294S

σ以3σX2

==X?=P=1l=XXlX==

5------

∕(-729y99y729

P(X=2)=Cf×(∣r×^?=?,P(X=3)=C∣×φ3=?

則X的分布列為:

X0123

34398288

Γp

729243243729

o7

故E(X)=3XK.

【解析】(1)根據(jù)獨立性分別求得投到該雜志的1篇稿件初審直接被錄用的概率Pi，投到該雜志的1

篇稿件初審沒有被錄用，復審被錄用的概率B，即可求解；

(2)由題意可知X?B(3,∣),從而可求X的分布列及期望.

本題考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題.

18.【答案】(1)證明：因為bsinB—csinC=a,所以SiMB—sin2C=sinA,

所以SiTIBS譏(4+C)—sinCsin(^A+8)=SiTL4,

所以SmB(Si九ACOSC+CosAsinC)—sinC(sinAcosB+cosAsinB)=sinA,

^sinBsinAcosC—SinCsinAcosB=SinA9

因為在C中4、B、C∈(0,7r),所以Si九4≠0,

^sinBcosC-SinCcosB=1,

故Sin(B—C)=1,即B—C=p

(2)解：由(1)可知B-C=*

因為4=?，所以B+C=?.則B=言，C=?,

??IZ

由正弦定理可知—7==--7=4.則b=4sinB.c=4sinC,

StnAStnBStnC

故4ABC的面積S=^bcsinA=4?∕~3sinBsinC=4>J_3cosCsinC=2s∕-3sin2C=√-3.

【解析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角結合三角恒等變換化簡得Sin(B-C)=1,可證明；

(2)結合(1)得B=等C=?,利用正弦定理及面積公式計算即可.

本題考查解三角形問題，正弦定理與三角函數(shù)公式的應用，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)若選條件①時.???2Sn=(n+l)ɑrι,

.?.n≥2時,20n=2Sn—2Sn_1=(n+l)αn—πan-1,

化為：V=?

nn—1

n1

???an=n(n=1時也成立).

若選條件②時.

???(幾-I)Sn=(n+l)Sn-1(n≥2),

.Sn_n+lSnT二九S2_3

SFl-In-l'Sn_2n_2,

所有的式子相乘，得到Sn=K#，

故Q71=Sn_SnT=H.

?CLn*九+1n.n+1C.11

(2)由(1)得：?n=?+-=^τ+-=2+--—.

所以rn=(2+1-?)+...+(2+?-?)=2n+1-?.

【解析】(1)選條件①②，直接利用數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列的通項公式；

(2)利用(1)的結論，進一步利用相消法求出數(shù)列的和.

本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于

中檔題.

20.【答案】(I)證明：如圖，取棱AB的中點0,連接OB1，0C,AB1,

由題意可知44當8為菱形，且乙4BBι=60°,則^ABBl為正三角形,

因為。是棱AB的中點，所以。Bi_L4B,

由題意可知△力BC是邊長為2的等邊三角形，則。C?AB>OC=√-3>

因為△4BBl是邊長為2的等邊三角形，所以。Bi=，？，

因為BlC=4，所以OC?+。呢=BlC2,所以OBIIC0,

因為力B,OCU平面ABC,且4BCOC=。，所以OBlJ_平面4BC,

因為OBlU平面4BB14,所以平面ABC1平面43當4「

(2)由(I)可知OB,0C,OBj兩兩垂直，故分別以靈，0B，西的方向為％,y,Z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,—1,0).t(??,θ,θ).D(O,|,?)，Λ1(0,-2,ΛΛ3),BI(0,0,C),

故尼=(√3,l,0),CD=(-√3,∣,^).

A[C=(O,2,-O).R=(0,2,0),

設平面AC。的法向量為H=(Xl,yι,zι),

(n?AC=V-3x1+y1=0

貝IJ———>>—2yj~3'

Ti?CD=—?^3x1÷-yιH-—z?=0

令.=1,得元=(1,--3,5),

設平面&BIC的法向量為訪=Q?,y2,Z2),

2,

則(記?A^C=√^3X2+J2一=°

(m?A1B1=2y2=O

令上=1，得記(1,0,1),

設平面4CD與平面Ie的夾角為仇貝IJCoSe=∣cos(n,7∏)∣=魯署=r^5=

即平面ACD與平面4當。夾角的余弦值為軍.

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【解析】(1)先證明線面垂直，再應用面面垂直判定定理證明面面垂直即可：

(2)應用空間向量法求二面角余弦值，即求解平面ACO的法向量，平面力IBlC的法向量，利用向量

的數(shù)量積求解即得.

本題考查線面垂直，面面垂直判定定理的應用，應用空間向量法求二面角余弦值，是中檔題.

21.【答案】解：(1)設橢圓E的方程為mχ2+ny2-∣ζm>o,n>0),

因為橢圓的左右頂點分別為做一2,0),8(2,0),點(1,1①在橢圓上，

1

m--

所以｛黑解得4

1,

n=8

故橢圓E的方程為［+<=l.

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(2)依題可設直線I的方程為X=Tny-1,P(Xl,yQ,Q(X2,力)，M(Xo/0)，

X=my-1

2

聯(lián)立方程組x2y2_整理得(2Z∏2+l)y-4my-6=0,

彳+W=1

所以月+%=總'y∕2=而為，

所以2τnyιy2=-3(%+為)，

直線AP的方程為y=含。+2),

直線BQ的方程為y=造(X-2),

聯(lián)立方程組P