2024年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圓的綜合高頻壓軸題匯編

1.如圖，。。是RtAABC的外接圓，ZABC=90o,。為圓上一點(diǎn)，且8,。兩點(diǎn)位于

AC異側(cè),連接BD,交AC于E,WF為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AF,使得∕D4F=ZABD.

（1）求證：A尸為。。的切線；

（2）當(dāng)點(diǎn)。為E尸的中點(diǎn)時(shí)，求證：AD2=AO?AE;

（3）在（2）的條件下，若sin∕B4C=g,AF=2√6,求BF的長(zhǎng).

4

2.如圖，在YABeO中，ΛB=5,tanA=-,過點(diǎn)B作鹿，4）于點(diǎn)E,過8,D9E三

（圖1）（備用圖）

（1）求證：EF=MN-

（2）當(dāng).3PE是等腰三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng).

（3）連結(jié)3。，MN,當(dāng)3。平分-ADC時(shí)，求一8MV與CDE面積的比值.

3.如圖，在Rl.ASC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,在邊BC,AC上分別取點(diǎn)P,

D,使得24=尸￡>,過點(diǎn)P,A,。的，。交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連結(jié)￡P(guān),FD.

(1)求證：ACFD=ABEP.

(2)當(dāng)圓心。落在AC上時(shí)，求。的半徑長(zhǎng).

(3)當(dāng)EO與qPE4的一邊相等時(shí)，求出所有滿足條件的AE的長(zhǎng).

4.如圖，O為圓心，AB為直徑，ODLAC于E,連CO.

(1)?ZBAC=ZACD,則NA=°；

OF

(2)連BE,若CDl/BE,求——的值.

OA

(3)在(2)的前提下，將./U3E繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180"得到一PBQ,判斷直線PQ與

圓0的位置關(guān)系.

5.如圖在。中，AB是直徑，弧8。=弧BE,點(diǎn)C在弧AE上.

(1)如圖1,求證NC=2ZA;

(2)如圖2,若CZ)過點(diǎn)0,連接DB,并延長(zhǎng)與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,求證：CD=CM-.

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)G在AO上，連接GCGE,GE與Cz)相交于點(diǎn)K,

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若34CDE+2NGED=210。,GO=2BF,EK=3√∑,求4GKC的面積.

6.如圖1,圓。的兩條弦AC、BD交于點(diǎn)E,兩條弦所成的銳角或者直角記為Na.

(1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過畫圖和測(cè)量得到以卜近似數(shù)據(jù)：

AB的度數(shù)30.2°40.4°50.0°61.6°

CO的度數(shù)55.7°60.4°80.2°100.3。

Za43.0°50.2°65.0°81.0°

猜想：A8、CD、Na的度數(shù)之間的等量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖2,若圓半徑為1,AClBD,求AB2+?！返闹?

(3)如圖3,若Na=60。，AB=2,CD=?,將AB以圓心為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直至

點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，同時(shí)8落在圓。上的G點(diǎn)，連接CG.求弦CG的長(zhǎng).

7.在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,沿AE將4ABE翻折得△AGE,

連接。G,作AAGO的外接。。，OO交AE于點(diǎn)F,連接FG、FD.

(1)求證/AGO=/EFG；

(2)求證AAOFs∕?EGF;

(3)若4B=3,BE=I,求。。的半徑.

8.如圖，平面上存在點(diǎn)尸、點(diǎn)M與線段AB.若線段AB上存在一點(diǎn)。，使得點(diǎn)M在以

P。為直徑的圓上，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)尸與線段A8的共圓點(diǎn).

已知點(diǎn)P(0,1),點(diǎn)A(-2,-1),點(diǎn)8(2,-?).

(1)在點(diǎn)。(0,0),C(-2,1),D(3,0)中，可以成為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)

的是;

(2)點(diǎn)K為X軸上一點(diǎn)，若點(diǎn)K為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)K橫坐標(biāo)XK的

取值范圍；

(3)已知點(diǎn)M(m,-1),若直線y=gx+3上存在點(diǎn)P與線段AM的共圓點(diǎn)，請(qǐng)直接

寫出〃?的取值范圍.

9.已知矩形438,Aβ=10,4)=8,G為邊。C上任意一點(diǎn)，連結(jié)AG,BG,以AG

為直徑作P分別交BG,A8于點(diǎn)E,H,連結(jié)AE,DE.

(1)若點(diǎn)E為G4的中點(diǎn)，證明：AG=AB.

(2)若AADE為等腰三角形時(shí)，求。G的長(zhǎng).

(3)作點(diǎn)C關(guān)于直線BG的對(duì)稱點(diǎn)C'.

①當(dāng)點(diǎn)C'落在線段AG上時(shí)，設(shè)線段AG,DE交于點(diǎn)、F,求A4O尸與A4E尸的面積之

比.

②在點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)C’落在四邊形AoGE內(nèi)時(shí)(不包括邊界)，則。G的范圍是

(直接寫出答案).

10.如圖，在。。中，AB是。。的直徑，3〃AB,

(1)如圖1,證明：AC==BD,

(2)如圖2,連接Co并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,OPYAD,垂足為P,證明：BE=2OP-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。。，點(diǎn)F為。O延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∕AFO+NABE

=180。，過點(diǎn)8作BGLOO,垂足為G,點(diǎn)N為片E上一點(diǎn)，AMLEN,垂足為若

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GF=4,OP=,AM=2NE,求AM的長(zhǎng).

11.如圖，RWLSC的內(nèi)切圓：。與AB,3C,C4分別相切于點(diǎn)。，E,F,且NAcS=90。,

A8=5,BC=3,點(diǎn)P在射線AC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作P4,A8,垂足為H.

(1)直接寫出線段AC,AQ及。半徑的長(zhǎng)：

(2)設(shè)PH=X,PC=y.求>關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式:

⑶當(dāng)PH與，。相切時(shí)，求相應(yīng)的〉值.

<3用圖>

12.已知四邊形ABCD內(nèi)接于。，對(duì)角線AC/5。于E,連接OC交8。于點(diǎn)P.

圖1

(1)如圖1,求證：ZACB=ZOCDi

(2)如圖2,作Z)FjLAB于F,交AC于H,連接B,求證:BH=BC；

(3)在(2)的條件下，連接EF,若3C∕∕AD,BE:DE=I:3,AF=匹,EF=誣

55

求OC長(zhǎng).

13.如圖,A(-5,0),B(-3,0)點(diǎn)C在y的正半軸上，ZCB0=45o,CD√AB.ZCDA

=90。，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿X軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

秒.

(1)當(dāng)時(shí)t=l,求PC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)NBCP=I5。時(shí)，求t的值；

(3)以線段PC為直徑的。Q隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)OQ與四邊形ABCD的邊(或

邊所在的直線)相切時(shí)，求t的值.

14.如圖1：在RsABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，試探

索AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.小明同學(xué)的思路是這樣的：

將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段AE,連接EC,DE.繼續(xù)推理就可以使

問題得到解決.

(1)請(qǐng)根據(jù)小明的思路，試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論；

(2)如圖2,在RtAABC中，AB=AC,D為AABC外的一點(diǎn)，且/ADC=45。，線段

AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系又是如何的，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,已知AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D是。O上的點(diǎn)，且NADC=45。.

①若AD=6,BD=8,求弦CD的長(zhǎng)為；

15.如圖1,AB為。O的直徑，AC與。O相切于點(diǎn)A,BC與。O交于點(diǎn)D,點(diǎn)F是

直徑AB下方半圓上一點(diǎn)(不與A,B重合)，連接DF,交AB于點(diǎn)E,

(1)求證：ZC=ZFi

(2)如圖2,若DF=DB,連接AF.

①求證：ZFAE=2ZAFE;

②作BH,FD于點(diǎn)G,與AF交于點(diǎn)H.若AH=2HF,CD=I,求BG的長(zhǎng).

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16.如圖，已知點(diǎn)。在O的直徑AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C為：O上，過。作皮>_LAL>,與

AC的延長(zhǎng)線相交于E,CD為。的切線，Aβ=2,AE=3.

(2)求BO的長(zhǎng)；

(3)若/ACB的平分線與。交于點(diǎn)F,尸為二ABC的內(nèi)心，求PF的長(zhǎng).

17.如圖，RtAABC中，ZABC=90o,ZA=30o,Ae的垂直平分線交4C邊于點(diǎn)

交43邊于點(diǎn)0,以點(diǎn)。為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑作圓，與AB邊交于點(diǎn)E.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若點(diǎn)P為G)O上的動(dòng)點(diǎn)(含點(diǎn)E,B),連接3。、BP,DP.

①當(dāng)點(diǎn)尸只在BE左側(cè)半圓上時(shí)，如果BC〃￡?P,求NBDP的度數(shù)；

②若。是BP的中點(diǎn)，當(dāng)BE=4時(shí)，直接寫出CQ長(zhǎng)度的最小值.

18.四邊形ABC。內(nèi)接于。0,連接AC、BD,2ZBDC+ZADB=180°.

EE

TT

mJ

圖1圖:圖3

(1)如圖1,求證：AC=BCi

(2)如圖2,E為OO上一點(diǎn)，弁E=BE，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，OE與BF相交于點(diǎn)7,

連接AT,若/BFC=ZBDC+ZABD,求證：AT平分/D48；

(3)在(2)的條件下，DT=TE,AO==8,BD=12,求。E的長(zhǎng).

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參考答案：

1.（I）見解析；（2）見解析；（3）BF=8.

【分析】（1）欲證明什?是。的切線，只要證明NE4E=90。即可.

（2）證明A4DO√?Aa,可得結(jié)論.

（3）過點(diǎn)B作B/_LEC于人由題意SinNBAC=生=L可以假設(shè)8C=α,AC=3a,證

AC3

（~,J11-------------?6

明NCK/=NBAC,可得SinNCR∕=sinNBAC=T=-,推出C/=：a,BJ=y∣BC2-CJ2=^a,

BC333

12

再證明NCeB=NCBE,推出CE=CB="，推出E/=EC-C/=α-ga=?∣α,AE=AC-EC=Ia,

ApAfTL

由版〃β/,推出蕓=告，可得“=G,利用勾股定理求出EF,BE,可得結(jié)論.

BJEJ

【解析】（1）證明：連接8?

AC是直徑，

.?.ZADC=90o,

.?.NOAC+ZACD=90。，

ZABD=ZACDfZDAF=ZABC9

..ZDAF=ZACDf

.?.ZZMF+ZZMC=90o,

.?Z∕?C=90°,

??.AF為「O的切線.

(2)證明：ZEAE=90。，DF=DE,

..AD=DE=DF,

../DAE=ZAED,

OA=ODf

:.ZDAO=ZADO9

.?.ZADO=ZAED9

ZOAD=ZDAEf

.?Z^ADO^AAEDf

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ADAO

「?一=一，

AEAD

,'.AD2=AO-AE.

(3)解：如圖，過點(diǎn)8作8/JLEC于人

.AC是直徑，

.?.ZABC=90。，

∕F>AZ~>BC1

SinNBAC==一,

AC3

可以假設(shè)8C=4,AC=3a,

BJ1.AC,

.?.ZA∕B=90o,

.?.Zβ4C÷ZAK/=90o,ZABJ+ZCBJ=90°,

."CBJ=ZBAC,

CJ1

.?.sinZCBJ=sinZBAC=-=

BC3

.,.CJ——cij

3

22

/.BJ=yjBC-CJ=Ja2_(；〃)2=a,

DA=DE,

.?.ZDAE=ZAED=NCEB,

ZDAE=ZCBE1

:./CEB=/CBE,

.?CE=CB=a,

12

:.EJ=EC—CJ=a—a——a,AE=AC-EC=2a,

33

AFHBJ,

,AFAE

"~BJ~~EJ'

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2√6_2a

λ2-j2^I^，

---a彳。

33

.,.CI=?/?，

：.AE=2y∕3,EJ=空,BJ=芽,

33

:.EF=√AF2+AE2=√(2√6)2+(2√3)2=6,BE=EJ-+BJ-=J(手『+(半產(chǎn)=2，

/.BF=EF+BE=6+2=8.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三

角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問

題，屬于中考?jí)狠S題.

2.(1)證明見解析；⑵4或9或苧(3)SBMN：SCDEq

【分析】(1)由四邊形BEQN內(nèi)接于圓可得NBNC=NBED=90。，再由平行四邊形性質(zhì)可

知NA=NBa),從而可得NABE=NCBN,根據(jù)圓周角與弧的關(guān)系即得結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)BN、DA交于點(diǎn)G,過E點(diǎn)作EHLBP-,可求出EB、EG、EH、BH,再證一砂〃.CPN,

PHPN4

得——=—,再利用tanNNOG=tanA=-,設(shè)OG=5x,NG=4x,DN=3x,分三種情

EHCN3

況討論SBPE是等腰三角形，求出8P,PH,用X表示出PMNC,再根據(jù)比例式列方程求

解即可；

(3)根據(jù)角平分線性質(zhì)可得得BE=BN,再證明YABcD是菱形，利用圖形的面積關(guān)系求出

BMN與CDE面積與菱形面積關(guān)系后即可得出答案.

【解析】解：(1)：四邊形BEEW內(nèi)接于圓，BEYAD-,

：.NBNC=NBED=90。,

：.ZA+ZABE=ZBCD+NCBN,

；在YAfiS中，ZA=NBCD,

：.ZABE=NCBN,

EF=MN:

(2)延長(zhǎng)8N、D4交于點(diǎn)G,過E點(diǎn)作EHLBP；如解圖(2-1)

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G

解圖(2?1)PB=PE

???四邊形BE。N內(nèi)接于圓，

???NfBN+NAr)C=I80。，

又Y在YABC。中，ZA+ZADC=180°,

，ZEBN=ZA9

4

β.*tanΛ=—,AB=5,

3

4

ΛSinA=-,AE=39BE=4,

11?

EH=BE.sinB=y,BH=BE?cosB=—f

EG=BE?tanB=—,

3

βG=ΛB.tanA=-,

3

Y在YA5C。中，ABHCD,

：?ZNDG=ZA9

4

tan/NDG=tanA=—,

3

JDG:NG:Z)N=5:4:3,

故設(shè)。G=5x,NG=4χfDN=3x；

?：EHIBN,CDLBN,

：.CDIIEHi

Λ..EPHCPN,

.PHPN

β'EH-C7V,

當(dāng)LB正是等腰三角形時(shí)，有三種情況：

I.當(dāng)PB=PE時(shí)，如解圖(2-1)

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則：BP=—÷cosZEBP=—

23

PN=BG—NG—PB------4x------=-----4x,

3333

CN=5-3x,

14104

------4x

.H_33

，解得:Xf

165-3X~5

5

.?.AD=AG-DG=3+--5×~=--

353

ILPB=BE=4,如解圖(2-1)

解圖Q?2)PB=BE

12Q

則P"=P3-34=4-M=不，

2()Q

PN=BG-NG-PB=——4x-4=一一4x,

33

CN=5-3x,

88

———4ZIx

????=7-r-解得：χ=B

1。5-3x15

T

AO=4G-OG=3+3-5X'=8;

315

ILPE=BE=4,如解圖(2-3),

第13頁(yè)共51頁(yè)

解圖(2?3)PE=BE

?：EPlBN,

：.PH=BH=-fBP=y,

202428

PN=BG+NG-PB=-+4x——=—+4x,

3515

CN=5+3與

1228

--------4犬411?

λ??'解得…=禧

5

?s八八

??AD—A.G+DG=3?H,--?-e-F5<×1l?=—96；

31057

綜上所述：Ao的長(zhǎng)為號(hào)或9或爭(zhēng)

(3)當(dāng)BD平分NAZ)C時(shí)，

解圖(3)

VBElAD,BNICD,

：.BE=BN,

又「NA=NBOV,

：?ABE=CBN(AAS),

：.AB=BC=5,AE=CN=3,

???丫?。。是菱形；

.β.DE=DN=2,ZCBD=ZCDB

第14頁(yè)共51頁(yè)

又,/四邊形BDNM內(nèi)接于圓，

ΛZCNM=ZCBDfNCMN=/CDB,

：.ZCNM=ZCMN,

：?CM=CN=3,

：.BN=2,

?CNBM?E￡

SBMN=33菱形.co?ɑp*~βɑ^，?CDE=2菱形ABCD二^

1323121

9

.?.SBMN=2S箜形ABCD1色二石S裁形ABCDSCDE=]S菱形八及，/)?~=~S菱形ABa)，

313

q?S_?,q-

°BMN?°,CDE_=25菱形ABCD?5菱形ABCD5

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合強(qiáng)、難度大，是幾何壓軸題，綜合考查了圓的有關(guān)知識(shí)，平行四邊形及菱

形性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

解直角三角形等知識(shí)，熟練運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)、對(duì)等腰三角形進(jìn)行分類討論，通過添加恰當(dāng)

輔助線解三角形都是本題的關(guān)鍵.

3.(1)見解析；(2)；(3)三或

【分析】(1)由Q4=PD推出NPE4=N∕YD,再根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)證明；

(2)當(dāng)圓心。落在AC上時(shí)，可得NAPO=90。，根據(jù)%=P￡＞得到POJ_AP,設(shè)半徑長(zhǎng)為

〃，根據(jù)tanC=73=元^,即可求出「；

(3)/是Pz)上一點(diǎn)，故FD≠PD,當(dāng)Fo與人煙的一邊相等時(shí)，只有兩種情況討論：①

FD=AEV^,證明AP垂直平分BF和∕FDC=90。即可計(jì)算，②=PE時(shí)，證明四邊形OPBE

是菱形即可求出AE長(zhǎng).

【解析】解：(1)：PA=PD,

,?PDA=PAD?

：?ZPEA=ZPFD,

oo

VZPEA+ZBEP=ISO1ZPFD+ZCFD=ISOf

：.ZBEP=ZCFD.

(2)圓心。落在AC上時(shí)，AO=OD9如解(2)圖,

〈A。為直徑，

ΛZAPD=90o,

?：PA=PD,

：?POlAD9

第15頁(yè)共51頁(yè)

?6DjC

解(2)圖

解(2)圖

設(shè)半徑長(zhǎng)為，，即Po=r,OC=4-r,

LanC=&=空，

ACOC

”=工，

44-r

12

.?.0的半徑長(zhǎng)r=∕?

(3)因?yàn)镕是Po上一點(diǎn)，故∕T>≠H),當(dāng)F。與一PEA的一邊相等時(shí)，只有兩種情況①

FD=AE,?FD=PE,

①當(dāng)EO=E4時(shí)，如解(3-1)圖，

E

解(3-1)圖

VFD=EA.PA=PD

'?EA-FD>PA=PD<

:?PE=PF，DPE=APF，

?ZEAP=ZPAF,NBAC=ZAPF=90°

又,：PA=PA,

：.∕?APB=∕?APF(ASA),

第16頁(yè)共51頁(yè)

/.PB=PF,

*/AB=3fAC=4j

3

.*.BC=5,cos8=g,

39

.?.PB=PF=AB?cosB=3×-=—,

55

97

.β.FC=BC—2BP=5-2義乙=一，

55

又???NAPF+NADF=180。，NA尸尸=90。，

ZADF=NFDC=90。,

7321

：.AE=FD=FOsinC=-X-=-;

5525

②當(dāng)FQ=PE時(shí)，如解(3-2)圖，連接ED,0P,延長(zhǎng)OP交A。于H,設(shè)0的半徑

r=OP=OE=5x,

B

解(3-2)圖

??FD=PE，

：?/PDE=/DPF,

：.ED//BC9

：.ZAED=ZB,

V∕?=PD,尸”過圓心，

：.PHLADf

：.PH//AB,

???四邊形OPBE是平行四邊形,

JBE=Po=5x

YNBAC=90。，

.*.ED=2r=IOx,

第17頁(yè)共51頁(yè)

VAE=ED.CoSZAED=10x?-=6x

5

3

.?.AE+BE=5x+6x=3,解得：X=廠，

.,e.a318

1111

711Q

綜上所述：當(dāng)FD與.陶的一邊相等時(shí)，滿足條件的AE的長(zhǎng)為會(huì)或三.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，涉及了解三角形、菱形的判定和性質(zhì)、三角形全等

判定及性質(zhì).解題關(guān)鍵是根據(jù)利用圓周角、弦、弧的關(guān)系轉(zhuǎn)換角的關(guān)系從而利用解三角形求

線段長(zhǎng).

4.(1)30；(2)?;(3)相切，見解析

【分析】⑴連接OC,因?yàn)?，ZBAC=ZACD,OA=OC,/BAC=NOCA,NACD=NOCA,

ZODIAC,AC是△OCD的垂直平分線，所以Co=CD,又OC=OD,所以△OCD是等邊三

角形，由此解答即可；

(2)利用平行四邊形和三角形中位線的性質(zhì)解答即可；

(3)延長(zhǎng)E。交PQ的延長(zhǎng)線于H,PB。由一ABE旋轉(zhuǎn)而來，有對(duì)應(yīng)線段成比例解答即

可.

【解析】解：(1)連接OC,,因?yàn)?，ZBAC=ZACD,OA=OC,

ZBAC=ZOCA,ZACD=ZOCA,

又ODLAC,AC是△OCD的垂直平分線，

所以CO=CD,又OC=OD,所以AOCD是等邊三角形，

所以NoCD=60。，NA=T/OCD=30。.

(2)連接BC

AB是直徑

.?.BCA-AC

ODLAC

.-.ODHBC

.-.DEHBC

又BEUCD

四邊形BCDE為平行四邊形

.-.BC=DE

y.,OElAC

.-.AE=EC

.?.0E為A8C的中位線

第18頁(yè)共51頁(yè)

.-.OD=-BC=-DE

22

設(shè)OE=m

DE=BC=2m

OD=m+2m=3nι

:.OA=OD=3m

OE_/H_1

OA3m3

（3）延長(zhǎng)EO交PQ的延長(zhǎng)線于H

.P8Q由，ABE旋轉(zhuǎn)而來

/.ZP=ZA

..AEHPH

.OHOA

'~OE~~OP

.,.-O-H=-3-m-+-6"?

m3m

.?.O"=3m=半徑R

???圓心O到直線PQ的距離等于半徑R

，尸。與。相切.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形、三角形中位線的性質(zhì)、三角形相似和圓的切線的判定，掌

握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

5.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）地

4

【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，轉(zhuǎn)換相等角求解；

（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，判斷NM=Na）M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解；

（3）根據(jù)題意可知求三角形面積需要底和高，作CQ_LGK于點(diǎn)Q,GK為aGKC的底，CQ

為高，根據(jù).GKO-CKE求出GK,根據(jù)三角函數(shù)分別求出CE、CQ的值即可求解.

【解析】解：（1）連接AE,丁BO=BE,

：?ADAB=AEAB,

：.ZC=ZDAE=2ZDAB（同弧所對(duì)的圓周角相等）；

第19頁(yè)共51頁(yè)

A

(2)由(1)知：ZC=2ZDABf

*?*BD-BE，

：?ZEDM=ZDAB1

：.NCDE=90o-ZDCM=90o-2ZBDE,

/.ZCDM=ZEDM÷ZCDE=90o-ZEDM,

ΛZM=I80o-ZCDM-ZDCM=90o-ZEDM,

：?AM=/CDM,

：.CD=CM；

(3)YNCDE=90。-2/EDM,3ZCf>E+2ZGED=270o,

J/GED=3/EDM,

作KP_LoE于點(diǎn)P,設(shè)。的半徑為R,∕EDB=a,

則OF=Rsin2α,OF=R?cos2a,GF=EF?tan3a=H?sin2α?,

cos3a

?：GO=2BF,

：.GF-OF=2(R-OF),

?in3<y

.?R?sin22?'-R?cos2a=2R-2R?cos22,

cos3a

將Sin2<z=2sinα8sα，cos2a=l-2sin2a,sin3a=3sina-4sin3a，

cos3a=4cos3<7-3COS6Z,

代入上述方程化簡(jiǎn)得：SiYa=J,

O

..√2,?√7?35√2√14

??sιnα=——，sin2a=——,cosZa=-sin5a=------,cos3oα=------,

444f88

KP=KE?sin3α=3√∑x述=巴

84

PE=KE?cos3a=^-,

4

第20頁(yè)共51頁(yè)

C萬

DP=KP?tan2α=-

4

DF=EF=；(PE+DP)=幣,

DF

R=-------=4,。尸=RCOS2a=3,BF=R-OF=IOG=OF+2BF=5,

sin2α9

CE=2OF=6,

作CQ_LGK于點(diǎn)Q,

GKFPJ

^KE~~PE~3'

GK=近,

CQ=CE.sin(90。-3α)=CE?cos3a=復(fù)?，

S.GKC=-GKCQ=-×y∕2×^^-=^-.

2244

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的運(yùn)算以及三角

形相似，學(xué)會(huì)作輔助線，熟練運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角相等以及三角形相似的性質(zhì)和熟練掌握

三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

6.（1）Nα=g（A8的度數(shù)+0的度數(shù)）（2）4；（3）√7

【分析】（1）連接BC,如圖1,先利用三角形外角性質(zhì)得到Na=NB+NC,再利用圓周角

與它所對(duì)弧的度數(shù)之間的關(guān)系得到=的度數(shù)，NC=；A8的度數(shù)，所以N“=；（A8的

度數(shù)+8的度數(shù)）；

（2）作直徑DF,連接8尸,CF,￡＞尸是直徑，可以推出FS_L,根據(jù)題意可得BFHAC,

再得出AB=CF,最后根據(jù)勾股定理即可；

（3）連接0G、OC,AG,作QHJ_CG于”，GFLCD于F,如圖2,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

第21頁(yè)共51頁(yè)

AB=GD,AB=DG=2,利用由(1)的結(jié)論得到毋G的度數(shù)為12()。，則NCoG=I2()。，利用

圓周角定理計(jì)算出N8G=12(T,則NGDF=60。，于是通過解直角三角形可計(jì)算出CG的長(zhǎng).

【解析】解：(I)Na=；(A5的度數(shù)+α)的度數(shù)).

理由如下：連接BC,如圖1,

Na=ZB+NC,

而NB=gs的度數(shù)，NC=；AB的度數(shù)，

Na=的度數(shù)+CD的度數(shù))；

(2)作直徑。F,連接8尸,CF,

DF是直徑,

:.ZDCF=ZDBF=90°,

..FBA.DB,

又DBLAC,

.?.BF∕∕AC,

連接AfCB,

8尸〃AC及根據(jù)圓的性質(zhì)，

在,AFB,C3F中有，

FB=BF

-ZFAB=NBCF,

NFBA=NBFC

,AFB^CBF(AAS),

.-.AB=CF,

.?.AB=CF,

根據(jù)勾股定理得：

DC2+AB2=DC2+CF2,

=DF-，

=4,

HLAB2+CD2=4；

(3)連接OG、OC,AG,作。H_LCG于/7,GFJ_CD于F,如圖3,

將A8以圓心為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直至點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，同時(shí)B落在圓0上的點(diǎn)G,

?AB=GDfAB=DG=2,

由(1)得4?的度數(shù)+8的度數(shù)=2Na=I20°,

DG的度數(shù)+CD的度數(shù)=2Na=120°,

第22頁(yè)共51頁(yè)

即HG的度數(shù)為120。，

.-.ZCOG=120°,

.?.ZC4G=60o,

而ZCAG+ZCOG=180°,

.?.NCDG=I20。，

.-.ZGDF=6()°,

在∕?..GO尸中，DF=-DG=I,GFMDF=B

在RJCFG中，CG=W;

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦之間的關(guān)系、圓周角定理、垂徑

定理和旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)、三角形全等，解題的關(guān)鍵是合理構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形的

有關(guān)系計(jì)算來解決.

7.(1)見解析；(2)見解析；(3)。。的半徑為:正

【分析】(1)根據(jù)題目圖形可知，本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)應(yīng)用，可利用對(duì)角互補(bǔ)解題；

同時(shí)根據(jù)題干“翻折”信息可推出邊等、角等信息，結(jié)合正方形ABCD邊等性質(zhì)即可解答；

(2)本題需以第一問結(jié)論作為角互換的橋梁，同時(shí)考查正方形ABCD性質(zhì)，利用其平行特

征推出角等，結(jié)合"翻折”圖形性質(zhì)進(jìn)行角的互換，利用“角角”判定三角形相似；

(3)本題考查正方形以及圓的綜合運(yùn)用，借助正方形內(nèi)角90。為媒介考查圓周角定理的運(yùn)

用，同時(shí)需要觀察圖形特點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，結(jié)合勾股定理求解邊長(zhǎng).

【解析】(1)證明：???四邊形AFG。是。。的內(nèi)接四邊形，

???ZADG+ZAFG=ISOo,

???ZAFG+ZEFG=180°,

工ZADG=ZEFG9

由正方形ABCD及翻折可得AB=AG=ADt

：.NADG=NAGO,

???ZAGD=NEFG.

第23頁(yè)共51頁(yè)

(2)VZAGD=ZAFDfZAGD=ZEFGf

：.ZAFD=ZEFG9

???四邊形ABCO是正方形，

.?AD∕∕BC.

：.ZDAF=NAEB.

由翻折得乙4E3=NGM,

：.ZDAF=ZGEF9

：.XADFS叢EGF.

(3)解：設(shè)OO與CO交于點(diǎn)“，連接A”、GH,如下圖所示

?/NADH=90。,

,AH是。。的直徑，

o

???ZAGH=90f

由翻折得NAGE=90。，則ZAGE+ZAGH=180°,

???￡G、H三點(diǎn)在一條直線上.

u

：AH=AH,AD=AG9工RsAO?Rt△AGH,：.GH=DHf

設(shè)G"=O"=x,則在Rt△EC”中，CH=3-χ,EH=↑+x,EC=3—1=2,

3

由C7∕2+EC2=EH2,即(3-X)2+22=(1+X)2,解得X=I?,

O?

在RtAAQH中，AD2+DH2=AH2,即32+(1)2=A"2,解得4，=^

【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)極其豐富，且綜合性較高，難度較大，但需注意此類型題目前一問結(jié)論往

往作為后一問已知利用，解題需要循序漸進(jìn)，另外對(duì)于翻折問題，需要立刻推邊等、角等,

繼而尋找等量關(guān)系的替代，對(duì)于圓周角定理的應(yīng)用需要極其熟練，如在圓當(dāng)中看到直角要想

到直徑。

8.(DC；(2)-1-√2<Xk<l-√2≡√2-l<Xk<l+√2;(3)m<3-2√10Sgm≥3+2√10.

第24頁(yè)共51頁(yè)

【分析】(I)由題意可知當(dāng)Q與A重合時(shí)，點(diǎn)C在以AP為直徑的圓上，所以可以成為點(diǎn)

P與線段AB的共圓點(diǎn)的是C；

(2)根據(jù)題意由兩點(diǎn)的距離公式可得AP=BP=2√∑,分別畫以AP和BP為直徑的圓交X

軸于4個(gè)點(diǎn)：KHK2、K3、K4,結(jié)合圖形2可得4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得結(jié)論；

(3)由題意先根據(jù)直線y=gx+3,當(dāng)x=0和y=0計(jì)算與X軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情

況：M在A的左側(cè)和右側(cè)，先計(jì)算圓E與直線y=gx+3相切時(shí)m的值，從而根據(jù)圖形可得

結(jié)論.

【解析】解：(1)如圖1,可以成為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)的是C,

故答案為：C；

(2)：P(0,1),點(diǎn)A(-2,-1),點(diǎn)8(2,-1).

AP=BP=√(-2-0)2+(-I-I)2=2√2，

如圖2,分別以PA、PB為直徑作圓，交X軸于點(diǎn)Ki、K2、K3、K4,

VOP=OG=I,OE√AB,

.?.PE=AE=√∑,

.*.OE=JAG=I,

ΛKι(-1-&,O),k2(1-√2,0),k3(應(yīng)-1,0),k4(l+√2,0),

???點(diǎn)K為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)，

?,?-1-√2≤Xk<l-&或√Σ-l<Xk<l+√2;

(3)分兩種情況：

第25頁(yè)共51頁(yè)

①如圖3,當(dāng)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，Q為線段AM上一動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑的圓E與直線y

ΛON=3,OH=6,

S/EHF="=里-

OHFH6~2

設(shè)EF=a,則FH=2a,EH=√5a,

OE=6-->∕5a,

Rt△()EP中，OP=I,EP=a,

由勾股定理得：EP2=OP2+OE2,

a2=12+(6-√5W)2,

解得：a=3不+2√∑（舍去）或3--2√Σ

22

ΛQG=2OE=2(6-√5a)=-3+2√10，

.?.m≤3-2Tio；

②如圖4,當(dāng)M在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，Q為線段AM上一動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑的圓E與直線y

=gx+3相切于點(diǎn)F,連接EF,則EFLFH,

第26頁(yè)共51頁(yè)

同理得QG=3+2j∏j,

Λm≥3+2√iθ,

綜上，m的取值范圍是m$3-或啥3+2?1.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓和一次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的應(yīng)用，新定義：M為點(diǎn)P與線段

AB的共圓點(diǎn)，圓的切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)犍是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖象法解決問題，

學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)解決取值范圍問題.

9.(1)證明見解析；(2)4或5或6；(3)①6：5；03.6<DG<10.

【分析】(1)由AG為：P直徑，可得NAEG=NA￡B=90。，由點(diǎn)E為GH的中點(diǎn)，可得

ZGAE=ZBAE,據(jù)此證明ΔAEG絲ΔAEB(A%),可得AG=AS.

(2)ΔADE為等腰三角形，需要分類討論：?AD^AE,②AE=DE,@AD^DE,綜合

三種情況可得OG的長(zhǎng).

(3)①AADF與AAEF的高相等，面積之比等于底之比；連接PE,證明PE〃C。，再利

用相似三角形性質(zhì)易求得AADF與MEF的面積之比.

②當(dāng)點(diǎn)C落在矩形ABCO對(duì)角線AC上時(shí),通過證明ΔABCSΔBCG,可得CG長(zhǎng)，即可得DG

的最小值，最大值很容易看出為10?

【解析】(1):AG為：P直徑，,ZAEG=/AEB=90。，

；點(diǎn)E為GH的中點(diǎn)，.".ZGAE=ZBAE,

在MEG和ΔAEB中，

'NAEG=NAEB

■AE=AE

NGAE=ZBAE

：.ΔAEG絲ΔAE8(AS4),

.,.AG=AB.

(2)如圖1,ΔADE為等腰三角形，分三種情況：

第27頁(yè)共51頁(yè)

①4)=AE=8時(shí)，

?.βAG為P直徑，???ZAEG=ZAEB=90°，

?'?BE=y∣AB2-AE2=√102-82=6,

Y四邊形ABCD是矩形，

ΛZABC=ZBCD=ZBAD=ZADC=90°fBC=AD=S9CD=AB=IO9

：.ZABE+ZCBG=90o,ZABE+ZBAE=90°,.*./CBG=ZBAE,

在ABCG和ΔAEB中，

NCBG=NBAE

<BC=AE

/BCG=/AEB

：.ABCG也MEB(ASA),

：?CG=BE=6,

：.DG=CD-CG=IO-6=4.

②AE=DE時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EMj_A。于M,

VAE=DE,EMLADf：.ZAEM=ZDEM,ZAME=ZDME=90。,

???ABIICDIIEM,

：?ZBAE=ZAEM=ZDEM=ZEDG,

；?EH=EG，即點(diǎn)E為G”的中點(diǎn)，

???由(1)得AG=AB=10,

JDG=^AG2-AD1=√102-82=6-

③當(dāng)AZ)=QE=8時(shí)，如圖，過點(diǎn)。作OMLAE于M

*：AD=DE9DN±AEf：.ZAND=ZEND=90°9AN=NE,

o

VZDAE+ZBAE=ZADN+ZDAE=909：.ZBAE=ZADN,

..ANAD8AN4

??ΔAZ)7VcoΔβ4Δ^，??-=-----=—,即πr-l---=一，

BEAB10BE5

?：ZABE+NCBG=NCGB+NCBG=90°,：?ZABE=NCGB,

,.?ZAEB=/BCG=90。,

：./SAEB,

第28頁(yè)共51頁(yè)

.BCAE888

??==fHπl(wèi)πJ=ΛCG=5,

CGBE5CG5

*

..DG=CD-CG=?0-5=51

綜上所述，ZX7=4或5或6.

(3)①如圖2,點(diǎn)C與。關(guān)于直線BG對(duì)稱，連接8C,連接莊,

∕CBG=∕CBG,GC=GC,,ZBGCt=ZBGC,

O

：.ZBCG=ZBCG=909

：.BC=AD,ZBCA=ZΛDG=90o

,在ΔABC和AGAD中，

ΛBAC,=λAGD

<ZBC,A=ZADG

BC=AD

：.ΔABCNAGM)(AAS)

2222,

,?AG=AB=10，DQ—y∣i4G—AD=Λ∕1O—8=6

?：AB//CD,：.ZBGC=ZABG=ZAGB,

u

CAELBGi：.BE=EGf

VAP=PG,PEIIABIICD,PE=-AB=5,

2

?C.DFDG6

：?NDFGSAEFP,：.—

EF~EF~5

SNAnFDF6

W—=-=即ΔAD尸與的面積之比為6:5.

SMEFEF5

②如圖3,

圖3

第29頁(yè)共51頁(yè)

當(dāng)點(diǎn)C'落在矩形對(duì)角線AC上時(shí)，

?：ZAEB=ZBEC=ZABC=/BCG=90。,

：.ABAC+ZACB=ZCBG+ZACB=90°,