第6節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

課時(shí)作業(yè)靈活分層，高效提能________________________

［選題明細(xì)表］

知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)

兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布2,4,7,10,12

超幾何分布6,8

正態(tài)分布1,3,5,9,11

概率分布模型的綜合應(yīng)用13,14,15

FAl基礎(chǔ)鞏固練

1.已知隨機(jī)變量ξ?N(2,。2),若P(2<&<3)=0.3,則P(gWI)等于

(D)

A.0.6B.0.5C.0.3D.0.2

解析：由隨機(jī)變量ξ~N(2,。2)及正態(tài)分布的對(duì)稱性，P(1〈ξ〈2)=

P(2<ξ<3)=0.3,所以P(&<1)=0.5-P(l<ξ<2)=0.5-0.3=0.2.

2.(2022?浙江稽陽(yáng)高三聯(lián)考)設(shè)X為隨機(jī)變量,X-B(6,p),若隨機(jī)變

量X的期望為4,則P(X21)等于(D)

A?而1?c?D,南

解析：由X?B(6,p)及其期望為4可知6p=4,解得p=∣,所以P(XNI)=

Iy(I一|)6=翳

3.某市有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的汽車零件,零件的尺寸分別

記為X,Y,已知X,Y均服從正態(tài)分布,X~N(μ?,σ-f),Y~N(μ2,母)，其

正態(tài)分布密度曲線如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(C)

A.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值大于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值

B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值

C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性

D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性

解析:由X~N(μ?,σ-f),Y~N(μ2,解),

結(jié)合圖象，可得μ尸P2,。K。2,

即甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，

甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性.

4.(2022?吉林長(zhǎng)春模擬)已知隨機(jī)變量X?B(4,，，下列表達(dá)式正確

的是(C)

A.P(X=2)=&B.E(3X+1)=4

81

C.D(3X+1)=8D.D(X)=-

9

解析:因?yàn)閄?B(4,》，所以E(X)=4X；W，D(X)=4X；X(l-?4

因此E(3X+1)=3E(X)+1=3×^+1=5,D(3X+1)=32D(X)=9×?

因此選項(xiàng)B,D不正確,選項(xiàng)C正確,又因?yàn)镻(X=2)=C犯)2(1-∣)-?,

所以選項(xiàng)A不正確.

5.(2022?山東濟(jì)南高三檢測(cè))已知某校有1200名同學(xué)參加某次模擬

考試,其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(IO0,225),從中任取3

名同學(xué),至少有2人的數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)100分的概率為(A)

解析：因?yàn)閿?shù)學(xué)考試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(IOO,225),所以

P(X>100)=∣,所以從中任取3名同學(xué),至少有2人的數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)100

2/1\2131\

3(-1-3-7

分的概率為P=CX2722

6.(多選題)一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球,其中有6個(gè)

黑球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取4個(gè)球,記隨機(jī)變量X為取出白球的個(gè)數(shù),

隨機(jī)變量Y為取出黑球的個(gè)數(shù),若取出一個(gè)白球得2分,取出一個(gè)黑球

得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分,則下列結(jié)論正確的是

(BD)

A.P(X=1)=∣B.X+Y=4

C.E(X)>E(Y)D.E(Z)=γ

解析：由題意可知,X,Y均服從超幾何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,故B正

(-kr?4~kr,lr?3Q

確，P(X=k)=筆J(k=0,1,2,3,4),P(X=I)=警=?,故A錯(cuò)誤;E(X)=4X

CloClO21

得三,E(Y)=4-E(X)=pE(X)<E(Y),故C錯(cuò)誤;E(Z)=2E(X)+E(Y)=g,故

D正確.

7.(多選題)袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取

球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則下

列結(jié)論正確的是(ACD)

A.X?B(4,|)

B.P(X=2)=—

81

C.X的數(shù)學(xué)期望E(X)]

D.X的方差D(X)=S

9

解析:從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,則每次取球互不影響，并且每

次取到的黑球概率相等,又取到黑球記1分,取4次球的總分?jǐn)?shù)，即為

取到黑球的個(gè)數(shù),所以隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X?B(4,|),故A正確;

X=2,記其概率為P(X=2)=田X(|)2X(1)故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閄?B(4,|),所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4X∣號(hào),故C正確；

因?yàn)閄-B(4,9,所以X的方差為D(X)=4xj><9∣,故D正確.

8.(2022?天津高三階段練習(xí))袋中裝有4個(gè)紅球和4個(gè)黑球,從袋中

任取4個(gè)球,取到1個(gè)紅球得3分,取到1個(gè)黑球得1分,設(shè)得分為隨

機(jī)變量&,則m≥8的概率為.

解析：ξN8的事件是&=8,ξ=10,&=12的三個(gè)互斥事件的和，

ξ=8的事件是取出2個(gè)紅球、2個(gè)黑球的事件,P(ξ=8)=萼或，

ξ=10的事件是取出3個(gè)紅球、1個(gè)黑球的事件,P(&=IO)=粵二，

V<p??

ξ=12的事件是取出4個(gè)紅球的事件,P(ξ=⑵

7°

因止匕,P(128)=P(g=8)+P([=10)+P(g=12)

答案嚼

9.高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試,是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校

積極開展體育活動(dòng),保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施.某地區(qū)2022年初

中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、

1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試,三項(xiàng)考試滿分為50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲

實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時(shí)要掌握全

年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,得到

如圖頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：

頻率/組距

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)[155,165)[165,175)

得分1617

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)[175,185)[185,+∞)

得分1920

⑴現(xiàn)從樣本的IOO名學(xué)生中，任意選取2人,求兩人得分之和不大于

33分的概率；

⑵若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布N（u,。2）,

用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差

s2-169（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn),該校初三年級(jí)學(xué)生

經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練,正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步,假

設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增

加10個(gè),現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：

（i）預(yù)估全年級(jí)恰好有2OOO名學(xué)生時(shí),正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以

上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）

(ii)若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳

195個(gè)以上的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望.附:若隨機(jī)變

量X服從正態(tài)分布N(μ,。2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(H-3。WXWU+3。)-0.9973.

解:(1)兩人得分之和不大于33分,即兩人得分均為16分,或兩人中

1人16分、1人17分，由題意知樣本的100名學(xué)生中，得分在［155,165)

的有100X0.006X10=6(人)，在［165,175)的有100X0.012X10=

12(人).

則其概率為P=c”邁急.

ClOO?65。

(2)x=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200X0.10+

210X0.08=185,

又。2=S2-169,。=13,所以正式測(cè)試時(shí)，μ=195,

O=13,所以μ-σ=182.

(i)所以P(X>182)仁1-r°字27為0.8414,

所以0.8414×2OOOQl683(人).

(ii)由正態(tài)分布模型,在全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人,每分鐘跳繩個(gè)

數(shù)195以上的概率為0.5,

即&?B(3,0.5),

所以P(&=O)=Cg(1-0.5)3=0.125,

P(ξ=I)=C扣.5X(1-0.5)=0.375,

P(ξ=2)=C∣0.52×(1-0.5)=0.375,

P(ξ=3)=C∣0.53=0.125.

所以ξ的分布列為

ξ0123

P0.1250.3750.3750.125

E(ξ)=3×0.5=1.5.

匚上＜綜合運(yùn)用練

10.已知X?B(n,p),若4P(X=2)=3P(X=3),則P的最大值為(B)

5432

A：B.-C.-D.-

6543

解析：由題意可知n23,

因?yàn)?P(X=2)=3P(X=3),

所以4鬣p“l(fā)-p)x2=3C汕"1一p)tΛ

整理得4(l-p)=(n-2)p,

即P=A,又n∈N*,且n》3,所以pW5

n+25

11.(2021?新高考∏卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,

。)下列結(jié)論中不正確的是(D)

A.。越小,該物理量在一次測(cè)量中在⑼9,10.1)的概率越大

B.。越小,該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.。越小,該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小,該物理量在一次測(cè)量中落在⑼9,10.2)與落在(10,10.3)

的概率相等

解析:對(duì)于A,。2為數(shù)據(jù)的方差,所以。越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,

所以測(cè)量結(jié)果落在⑼9,10.1)內(nèi)的概率越大,故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量在一次測(cè)量大于

10的概率為0.5,故B正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量在一次測(cè)量結(jié)果

大于10.Ol的概率與小于9.99的概率相等,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹吭谝淮螠y(cè)量中結(jié)果落在⑼9,10.0)的概率與落

在(10.2,10.3)的概率不同,所以在一次測(cè)量中結(jié)果落在(9.9,10.2)

的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯(cuò)誤.

12.(2022?山東濰坊模擬)Poisson分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概

率分布,其概率分布列為P(X=k)=e'(k=0,1,2,…)，其中e為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù)，入是Poisson分布的均值.當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大(n≥20)而

P很小(p≤0.05)時(shí)",Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的近似.假設(shè)每個(gè)

大腸桿菌基因組含有10000個(gè)核昔酸對(duì),采用0.05J/n?紫外線照射

大腸桿菌時(shí),每個(gè)核甘酸對(duì)產(chǎn)生喀咤二體的概率均為0.0003,已知該

菌株基因組有一個(gè)喀咤二體就致死,則致死率是(A)

A.l-e`3B.e3C.l-?e-3D.l-4e^3

解析:n=10000≥20,p=0.0003≤0.05,此時(shí)Poisson分布滿足二項(xiàng)分

布的近似的條件，此時(shí)人=10000X0.0003=3,故不致死的概率為

Q0

P(X=O)?e^-e3,致死的概率為l-p(X=O)=l-eΛ

13.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,采用“5局3勝制”，即先勝3局為

勝方，比賽結(jié)束.已知甲每局獲勝的概率均為0.6,則甲開局獲勝并且

最終以3：1取勝的概率為.

解析:據(jù)題意可知甲開局獲勝并且最終以3：1取勝的情況為開局和

第四局甲贏，中間兩局贏一局輸一局，故所求概率為0.6×Ci×0.6×

(1-0.6)×0.6=2X0.63×(1-0.6)=0.1728.

答案:0.1728

14.已知一個(gè)袋子中裝有1個(gè)紅球,3個(gè)綠球，1個(gè)黃球.從袋中隨機(jī)取

球,每次取3個(gè),則取出的3個(gè)球顏色各不相同的概率為,記

取出的球顏色種數(shù)為ξ,則E(ξ)=.

解析：由題意,共有5個(gè)球,從中取出3個(gè)球,則有Cg=IO種不同的取

法.

取出的3個(gè)球顏色各不相同，則紅球、綠球、黃球各取1個(gè),有瑪=3

種不同的取法，

所以取出的3個(gè)球顏色各不相同的概率為W

IO

取出的球顏色種數(shù)ξ的可能取值為1,2,3,

P(ξ=3)?P(ξ=D?

p(ξ=2)-C63

IO105'

所以ξ的分布列為

ξ123

133

P

10510

所以E(P=IXq+2X]+3X^=S

答案號(hào)T

應(yīng)用創(chuàng)新練

15.(2022?重慶一模)2020年8月，教育部發(fā)布《關(guān)于深化體教融合，

促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》.某校積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，組織全校學(xué)生

加強(qiáng)實(shí)心球項(xiàng)目訓(xùn)練.規(guī)定該校男生投擲實(shí)心球6.9m達(dá)標(biāo)，女生投擲

實(shí)心球6.2m達(dá)標(biāo),并擬定投擲實(shí)心球的考試方案為每生可以投擲3

次,一旦達(dá)標(biāo)無(wú)需再投.從該校任選5