2023年高考數(shù)學(xué)考前押題：計(jì)數(shù)原理

選擇題（共8小題）

1.（2023?廣東一模）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡

片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有（）

A.96種B.64種C.32種D.16種

2.（2023?萬安縣校級(jí)一模）安排5名學(xué)生去3個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，且每人只去一個(gè)社區(qū)，

要求每個(gè)社區(qū)至少有一名學(xué)生進(jìn)行志愿服務(wù)，則同學(xué)甲單獨(dú)去一個(gè)社區(qū)不同的安排方式

有（）

A.100種B.60種C.42種D.25種

3.（2022秋?龍巖期末）為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某校計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐中開設(shè)“禮”、

“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每天開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)6天，則（）

A.從六門課程中選兩門的不同選法共有30種

B.課程“書”不排在第三天的不同排法共有720種

C.課程“禮”、“數(shù)”排在不相鄰兩天的不同排法共有288種

D.課程“樂”、“射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有576種

4.（2022秋?潮州期末）若（x+l）5=ao+?u+a2x2+i∕3x3+α4x4+a5x5,則4ι+242+343+4α4+5α5

=（）

A.4B.8C.80D.3125

5?（2023春?忻州月考）如圖，一圓形信號(hào)燈分成A,B,C,。四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不

同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的

顏色，則不同的信號(hào)總數(shù)為（）

6.（2023春?湖北月考）新高考數(shù)學(xué)中的不定項(xiàng)選擇題有4個(gè)不同選項(xiàng)，其錯(cuò)誤選項(xiàng)可能有

O個(gè)、1個(gè)或2個(gè)，這種題型很好地凸顯了“強(qiáng)調(diào)在深刻理解基礎(chǔ)之上的融會(huì)貫通、靈活

運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三”的教考銜接要求.若某道數(shù)學(xué)不定項(xiàng)

選擇題存在錯(cuò)誤選項(xiàng)，且錯(cuò)誤選項(xiàng)不能相鄰，則符合要求的4個(gè)不同選項(xiàng)的排列方式共

有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

7.（2022秋?遼陽期末）某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，該崗位共有四

名工作人員可以排夜班，已知同一個(gè)人不能連續(xù)安排三天夜班，則這五天排夜班方式的

種數(shù)為（）

A.800B.842C.864D.888

8.（2023?畢節(jié)市模擬）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.安

排甲、乙、丙、丁4名航天員到空間站開展工作，每個(gè)艙至少安排1人，若甲、乙兩人

不能在同一個(gè)艙開展工作，則不同的安排方案共有（）

夢(mèng)天

A.36種B.18種C.24種D.30種

多選題（共4小題）

（多選）9.（2023春?北培區(qū)校級(jí)月考）下列選項(xiàng)中，正確的有（）

A.6本不同的書排成一排，A、8兩本書之間恰有兩本書的排法有144種

B.三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最長(zhǎng)邊為4的三角形有7個(gè)

C.用0~8這9個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為252個(gè)

D.,1+,2+,3+...+,18=,18

u4c5l,6u21c22

（多選）10.（2022秋?慶陽期末）用0,1,2,4,6,7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則（)

A.個(gè)位是0的四位數(shù)共有60個(gè)

B.2與4相鄰的四位數(shù)共有60個(gè)

C.不含6的四位數(shù)共有100個(gè)

D.比6701大的四位數(shù)共有71個(gè)

（多選）11.（2023春?如皋市校級(jí)月考）在（√i-J-）"（〃》3,n∈N*）的展開式中，

2,

第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列，則下列說法正確的有（）

A.展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為128

B.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)

C.展開式中存在有理項(xiàng)

D.展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大值為2L

4

（多選）12.（2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）下列選項(xiàng)正確的是（）

A.有7個(gè)不同的球，取5個(gè)放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子恰好放1個(gè)，則不同的存

放方式有2520種

B.有7個(gè)不同的球，全部放入5個(gè)相同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則不同的存放

方式有140種

C.有7個(gè)相同的球，取5個(gè)放入3個(gè)不同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式

有18種

D.有7個(gè)相同的球，全部放入3個(gè)相同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式有

8種

≡.填空題（共5小題）

13.（2023?樂山模擬）已知Cr+α）（χ-2）5的展開式中含N項(xiàng)的系數(shù)為-60,則α=.

14.（2023?河南模擬）在（l+2x）4（l-χ）5的展開式中，按X的升曙排列的第三項(xiàng)為.

15.（2023?常德模擬）在學(xué)雷鋒志愿活動(dòng)中，安排4名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成

一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方式共有種.

16.（2023春?璧山區(qū)校級(jí)月考）用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的

三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）.

17.（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）8個(gè)完全相同的球放入編號(hào)1,2,3的三個(gè)空盒中，要求

放入后3個(gè)盒子不空且數(shù)量均不同，則有種放法.

四.解答題（共5小題）

18.(2023春?城區(qū)校級(jí)月考)現(xiàn)有8個(gè)人(5男3女)站成一排.

(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？

(2)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？

19.(2022秋?慶陽期末)已知(4+x)(7-2x)6=acι+a1X+???+a7χ7?在以下A,B,C

三問中任選兩問作答，若三問都分別作答，則按前兩問作答計(jì)分，作答時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷

上標(biāo)明所選兩問的題號(hào).

(A)求45:

(B)求k>g5(a0+aι+-+a7);

27

(C)設(shè)機(jī)=76,證明：4a1+4a2+-+4a7=8-4m?

20.(2023春?武清區(qū)月考)在二項(xiàng)式(五一2)11的展開式中，

X

(1)若〃=6,求展開式中的有理項(xiàng)；

(2)若第4項(xiàng)的系數(shù)與第6項(xiàng)的系數(shù)比為5：6,求二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的系數(shù)之和.

21.(2023春?山東月考)已知(舊+3χ2)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)和大992.

(1)求展開式中的有理項(xiàng)；

(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

22.(2022秋?上饒期末)求下列問題的排列數(shù)：

(1)3名男生和3名女生排成一排，男生甲和女生乙不能相鄰；

(2)3名男生和3名女生排成一排，男生甲不能排排頭，女生乙不能排排尾.

2023年高考數(shù)學(xué)考前押題：計(jì)數(shù)原理

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.（2023?廣東一模）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡

片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有（）

A.96種B.64種C.32種D.16種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法數(shù)，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，

第一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5"，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1,4或2,

3中的一組，共有2A2=4種排法；

第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有A；A；=8種排法；

第三步，排數(shù)字5和6,共有Ag=2種排法；

由分步計(jì)數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為4X8X2=64.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?萬安縣校級(jí)一模）安排5名學(xué)生去3個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，且每人只去一個(gè)社區(qū),

要求每個(gè)社區(qū)至少有一名學(xué)生進(jìn)行志愿服務(wù)，則同學(xué)甲單獨(dú)去一個(gè)社區(qū)不同的安排方式

有（）

A.100種B.60種C.42種D.25種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】給三個(gè)社區(qū)編號(hào)分別為1,2,3,則甲可有3種安排方法，剩下的兩個(gè)再進(jìn)行分

步計(jì)數(shù)，從而求得所有安排方式的總數(shù).

【解答】解：甲可有3種安排方法，

不妨設(shè)甲安排第1社區(qū)，

則：①第2社區(qū)可安排1個(gè)、第3社區(qū)安排3個(gè)，不同的安排方式有c：cg=4種；

②第2社區(qū)安排2個(gè)、第3社區(qū)安排2個(gè)，不同的安排方式有CjCg=6利”

③第2社區(qū)安排3個(gè)，第3社區(qū)安排1個(gè)，不同的安排方式有=4種；

故所有安排總數(shù)為3X（4+6+4）=42種.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類與分步計(jì)數(shù)原理、組合數(shù)的計(jì)算，考查分類討論思想，考查邏輯

推理能力和運(yùn)算求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.（2022秋?龍巖期末）為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某校計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐中開設(shè)“禮”、

“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每天開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)6天，則（）

A.從六門課程中選兩門的不同選法共有30種

B.課程“書”不排在第三天的不同排法共有720種

C.課程“禮”、“數(shù)”排在不相鄰兩天的不同排法共有288種

D.課程“樂”、“射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有576種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)給定條件利用排列、組合知識(shí)，逐項(xiàng)分析計(jì)算判斷作答.

【解答】解：對(duì)于A,從六門課程中選兩門的不同選法有c^=15（種），A選項(xiàng)不正確；

對(duì)于B,除第三天外的5天中任取1天排“書”,再排其他五門體驗(yàn)課程共有5A、600（種），

U

B選項(xiàng)不正確；

對(duì)于C,“禮”、“數(shù)”排在不相鄰兩天，

先排其余四門課程，再用插空法排入“禮”、“數(shù)”，

則不同排法共有靖人職480（種），C選項(xiàng)不正確；

對(duì)于六門課程的全排列有A^=720（種），

“樂”、“射”、“御”排在都相鄰的三天的不同排法有A*：=144（種），

則“樂”、“射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有720-144=576（種），D選

項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2022秋?潮州期末)若(x+1)5=αo+αιx+a2x2,+a3xi+a4x4+a5x5,貝!]αι+242+343+4o4+545

=()

A.4B.8C.80D.3125

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】?jī)蛇吳髮?dǎo)代入X=I即可得到答案.

【解答】解:兩邊同時(shí)求導(dǎo)得5(x+l)"a[+2a2x+3a3χ2+4a4χ3+5a5χ4,

令X=1,

則5X24=G+242+3?3+4α4+5a5=80.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，賦值法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，

屬于基礎(chǔ)題.

5.(2023春?忻州月考)如圖，一圓形信號(hào)燈分成A,B,C,。四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不

同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的

顏色，則不同的信號(hào)總數(shù)為()

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】分類討論；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)涂色問題，按照使用顏色種數(shù)進(jìn)行分類，再結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可得總

的方法數(shù).

【解答】解：若用3種不同的顏色燈帶都使用，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么A,C,要

么B,。相同，有2種方案，則不同的信號(hào)數(shù)為2A9=12;

若只用2種不同的顏色燈帶，則A,C顏色相同，B,。顏色相同，只有1種方案，則不

同的信號(hào)數(shù)為CwAj=6；

則不同的信號(hào)總數(shù)為12+6=18.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2023春?湖北月考）新高考數(shù)學(xué)中的不定項(xiàng)選擇題有4個(gè)不同選項(xiàng)，其錯(cuò)誤選項(xiàng)可能有

0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)，這種題型很好地凸顯了“強(qiáng)調(diào)在深刻理解基礎(chǔ)之上的融會(huì)貫通、靈活

運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三”的教考銜接要求.若某道數(shù)學(xué)不定項(xiàng)

選擇題存在錯(cuò)誤選項(xiàng)，且錯(cuò)誤選項(xiàng)不能相鄰，則符合要求的4個(gè)不同選項(xiàng)的排列方式共

有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】分類討論；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】當(dāng)錯(cuò)誤選項(xiàng)恰有1個(gè)時(shí)，直接全排列即可；當(dāng)錯(cuò)誤選項(xiàng)恰有2個(gè)時(shí)，利用插空

法求解.最后將兩種情況相加即可.

【解答】解：當(dāng)錯(cuò)誤選項(xiàng)恰有1個(gè)時(shí)，4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行排列有A：=24種；

當(dāng)錯(cuò)誤選項(xiàng)恰有2個(gè)時(shí)，先排2個(gè)正確選項(xiàng)，再將2個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)插入到3個(gè)空位中，有

A弘§=12種?

故共有24+12=36種.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2022秋?遼陽期末）某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，該崗位共有四

名工作人員可以排夜班，已知同一個(gè)人不能連續(xù)安排三天夜班，則這五天排夜班方式的

種數(shù)為（）

A.800B.842C.864D.888

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；分類討論；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】采用間接法，先計(jì)算沒有限制條件的種數(shù)，再減去一人連排三天夜班、四天夜

班、五天夜班的種數(shù)即可.

【解答】解：所有可能值班安排共有45種，若連續(xù)安排三天夜班，則連續(xù)的工作有三種

可能，

（1）從四人中選一人連排三天夜班，

若形如▲▲▲口口或▲▲排列：共有2C：C；=24種；

若形如▲▲▲口▲或▲口▲▲▲排列：共有2C：C；=24種；

若形如▲▲▲□（）或上上上?？诨蚩冢ā酢颉帕校汗灿?C：A孑=48種；

若形如口▲▲▲口排列：共有C：C；=12種；

若形如▲□或口▲▲▲€）排列：共有C；A§=24種；

因此，選一人連排三天夜班共有132種.

（2）從四人中選一人連排四天夜班，則連續(xù)的工作日有兩種可能，從四人中選一人連排

四天夜班，

形如▲▲▲▲口或口▲▲▲▲排列，共有2C：C；=24種?

（3）從四人中選一人連排五天夜班，形如▲▲▲▲▲,則只有4種可能.

故滿足題意的排夜班方式的種數(shù)為45-132-24-4=864.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.（2023?畢節(jié)市模擬）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.安

排甲、乙、丙、丁4名航天員到空間站開展工作，每個(gè)艙至少安排1人，若甲、乙兩人

不能在同一個(gè)艙開展工作，則不同的安排方案共有（）

夢(mèng)天

實(shí)蠟艙II

天和

核心艙

問天

實(shí)險(xiǎn)艙I

A.36種B.18種C.24種D.30種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；方程思想：轉(zhuǎn)化思想：綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將甲、乙、丙、丁4名航天員分為3組，要求

甲乙不在同一組，②將分好的三組全排列，安排到3個(gè)艙工作，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將甲、乙、丙、丁4名航天員分為3組，要求甲乙不在同一組，有C?-1=5種分組

4

方法，

②將分好的三組全排列，安排到3個(gè)艙工作，有/^=6種方法，

則有5X6=30種不同的安排方法.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2023春?北培區(qū)校級(jí)月考）下列選項(xiàng)中，正確的有（）

A.6本不同的書排成一排，A、B兩本書之間恰有兩本書的排法有144種

B.三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最長(zhǎng)邊為4的三角形有7個(gè)

C.用0~8這9個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為252個(gè)

D-以+3+或+…+嘮=嘮

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由排列組合結(jié)合兩個(gè)計(jì)算原理可判斷A8C,由組合數(shù)的性質(zhì)可判斷D

【解答】解：對(duì)于4,采用捆綁法，A、8兩本書的排法共有2種，從4本選兩本放4、

B中間有A彳種,

則總共有2?A：A,=144種，A正確；

對(duì)于8,第二邊為4,有4個(gè)，第二邊為3,有2個(gè)，共計(jì)6個(gè)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,①末尾為0,則有c；.c；=56個(gè)，②末尾不為。，則有C：?C,=196個(gè)，共

計(jì)56+196=252個(gè)，C正確；

對(duì)于D

C：+喘+3…+嘮=c%熄+cM?+<?=c%c/月+cM?+c）l=%-l=噎-1

,O錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）10.（2022秋?慶陽期末）用0,1,2,4,6,7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則（）

A.個(gè)位是0的四位數(shù)共有60個(gè)

B.2與4相鄰的四位數(shù)共有60個(gè)

C.不含6的四位數(shù)共有100個(gè)

D.比6701大的四位數(shù)共有71個(gè)

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】對(duì)于4特殊元素法，先排零；對(duì)于B捆綁法，分零是否被選到兩種情況討論；

對(duì)于C在0,1,2,4,7選排，先排首位；對(duì)于C,分別考慮首位為7,前兩位為67.

【解答】解：對(duì)于A,個(gè)位是0的四位數(shù)共有A2=6O個(gè)，A正確；

U

對(duì)于8,若不含0,則2與4相鄰的四位數(shù)有苗A,Ag=36個(gè)；若含°，則2與4相鄰的

四位數(shù)有AgAg=24個(gè)，故2與4相鄰的四位數(shù)共有60個(gè)，8正確；

對(duì)于C,不含6的四位數(shù)共有c：A：=96個(gè)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于ZX比6701大的四位數(shù)共有*+A%l=71個(gè)，。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）11.（2023春?如皋市校級(jí)月考）在（?-T-）”（"23,"6N*）的展開式中，

2加

第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列，則下列說法正確的有（）

A.展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為128

B.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)

C.展開式中存在有理項(xiàng)

D.展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大值為2L

4

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出“，再求出展開式的通項(xiàng)公式，即可解出.

【解答】解：???第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列，.??cl+c3=2c2,

n.VnUn

rt

.?."+=2χn(nT),A?2,9Π+14=0,Vn>3,Λn=7,

62

7

A,令1=1,則(11))=」1一，JA錯(cuò)誤，

12，128

k

8,(?-7展開式的通項(xiàng)公式為TM=ck(F)7-k?(―J—)=

2Vx2Vx

k14-3k

C?(*χk,

令更選=0,則A=J支，?.N∈Z,.?/不存在，.?.展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)，.?.B錯(cuò)誤，

43

C,當(dāng)k=2,6時(shí)，逖為整數(shù)，二展開式中第3項(xiàng)，第7項(xiàng)為有理項(xiàng)，.?.C正確，

4

D,展開式中第1,3,5,7項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，其余項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，

?.?第1項(xiàng)的系數(shù)為C；(K)°=1,第3項(xiàng)的系數(shù)為C；(-/)2=普，第5項(xiàng)的系數(shù)為

C?(-?)4=空，第7項(xiàng)的系數(shù)為Cg(-工)6=工，

?216*264

.?.展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大值為2L,。正確.

4

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的求法及運(yùn)用，屬于中檔

題.

(多選)12.(2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬)下列選項(xiàng)正確的是()

A.有7個(gè)不同的球，取5個(gè)放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子恰好放1個(gè)，則不同的存

放方式有2520種

B.有7個(gè)不同的球，全部放入5個(gè)相同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則不同的存放

方式有140種

C.有7個(gè)相同的球，取5個(gè)放入3個(gè)不同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式

有18種

D.有7個(gè)相同的球，全部放入3個(gè)相同的盒子中，允許有盒子空，則不同的存放方式有

8種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；方程思想：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式分析AB正確，列舉分析可得C錯(cuò)誤，。正確，即可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,有7個(gè)不同的球，取5個(gè)放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子恰好放1個(gè)，是排

列問題，有=2520種不同的放法，A正確；

對(duì)于B,先將7個(gè)球分為5組，有3-1-I-I-I和2-2-1-1-1兩種分組方法，則

CyCc

有cm+—?2=140種分組方法，8正確；

A2

對(duì)于C,用擋板法分析：將7個(gè)相同的球，取5個(gè)放入3個(gè)不同的盒子中，有C:=21

種不同的放法，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,分3種情況討論：①全部放入1個(gè)盒子中，有1種放法，②放入兩個(gè)盒子中，

有6-1、5-2、4-3,共3種放法，③放入3個(gè)盒子里，有1-1-5、1-2-4、1-3-

3、2-2-3,共4種放法，則有1+3+4=8種放法，。正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意排列與組合的定義，屬于基礎(chǔ)題.

≡.填空題(共5小題)

13.(2023?樂山模擬)已知(X+a)(χ-2)5的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為-60,則α=?.

一2一

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出(X-2)5的展開式通項(xiàng)，然后利用含小項(xiàng)的系數(shù)為-60列方程求解.

【解答】解：(x+d)(.X-2)5=x(X-2)5+a(x-2)5,

又X(X-2)5的展開式通項(xiàng)為XT=χCcX5^r(-2)r=(-2)rCεX6-r,a(X-2)5

IT?1uD

的展開式通項(xiàng)為aTLr?+1ι=aU%χZU(-2)r=a(-2)0χ5-r,

?(-2)3C∣+a(-2)2C∣=-60'解得aj??

00，

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2023?河南模擬）在（1+2Λ）4（1-X）5的展開式中，按X的升累排列的第三項(xiàng)為:

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式，即可解出.

【解答】解：由題意多項(xiàng)式的展開式中按X的升基排列第三項(xiàng)為含％2的項(xiàng)，

即為Qx哈（-x）2+C%2χXC?（-χ）+C∣（2x）2×Cg=^6χ2?

故答案為：-6X2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2023?常德模擬）在學(xué)雷鋒志愿活動(dòng)中，安排4名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成

一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方式共有240種.

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行：先將5項(xiàng)工作分成4組，再將分好的4組全排列，對(duì)

應(yīng)4名志愿者，分別求出每一步的情況數(shù)目，再由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，先將5項(xiàng)工作分成4組，則有2項(xiàng)工作為1組，有c2=10種分

組方法，

將分好的4組全排列，對(duì)應(yīng)4名志愿者，有A：=24種情況，

則有24X10=240種不同的安排方式.

故答案為：240.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2023春?璧山區(qū)校級(jí)月考）用L2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的

三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為36（用數(shù)字作答）.

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】通過分析個(gè)位數(shù)字的可能，再排列十位和千位，即可得答案.

【解答】解：由題意，個(gè)位數(shù)字可能是1,3,5,還剩下四個(gè)數(shù)字排列兩個(gè)位置，

可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3A2=36.

4

故答案為：36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列的應(yīng)用，考查排列數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

17.（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）8個(gè)完全相同的球放入編號(hào)1,2,3的三個(gè)空盒中，要求

放入后3個(gè)盒子不空且數(shù)量均不同，則有12種放法.

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)相同元素，使用隔板法計(jì)算，減去不合題意的放法，可得答案.

【解答】解：將8個(gè)相同的球放進(jìn)三個(gè)不同的盒子，可以等價(jià)于在8個(gè)球中間插兩個(gè)板,

將它分成3份并對(duì)應(yīng)放到三個(gè)不同盒子中，共有C2-21種分法，

要求每個(gè)盒子中球的數(shù)量不相同，考慮存在相同的情況，

首先不可能三個(gè)盒子數(shù)量均相同，只有兩個(gè)盒子數(shù)量相同共3種情況：1+1+6,2+2+4,

3+3+2,

所以有21-C1X3=12種放法.

3

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查隔板法的應(yīng)用，考查組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共5小題）

18.（2023春?城區(qū)校級(jí)月考）現(xiàn)有8個(gè)人（5男3女）站成一排.

（1）女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？

（2）女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）捆綁法求解；

（2）插空法，先排男生，再將女生排在男生之間的空中即可.

【解答】解：（1）將三名女生“捆綁”成一個(gè)元素，連同剩余的5名男生共六個(gè)元素全

排列，然后女生再全排列，

即ASAg=4320種排法；

(2)先排男生，有A^=120種排法，再將女生排在男生之間的空中，共有A：=24種排

法，

共有120X24=2880種排法.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列問題中的捆綁法、插空法的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.(2022秋?慶陽期末)已知(4+x)(7-2x)6=a°+a[X+???+a7χ7?在以下A，B,C

三問中任選兩問作答，若三問都分別作答，則按前兩問作答計(jì)分，作答時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷

上標(biāo)明所選兩問的題號(hào).

(A)求?5;

(B)求logs(o0+ai+"+α7);

27

(C)設(shè)機(jī)=76,證明：4a1+4a2+???+4a7=8-?ι?

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】選A利用二項(xiàng)式展開寫出所有含％5的項(xiàng)即可算出結(jié)果；選8,利用賦值法x=l

時(shí)，可得acι+aι+…+27=5,進(jìn)而求得結(jié)果；選C，分別令X=O,x=4即可得出證明?

524

【解答】解：?A,a≡=4×c!×7×(-2)+c!×7×(-2)=6384≈

DOu

67,lo5

選B令x=l,得a0+a1+???+a7=(4+1)×(7^2)=5則S(αo+m+…+47)=7；

選C證明：

令X=0,得a0=4X76=?Γ

6

令x=4,得ac,+4aι+…+4‘a(chǎn)7=(4+4)X(-1)=8?

故4a1+42a2+-,+4,7=8-4^1/

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.(2023春?武清區(qū)月考)在二項(xiàng)式(起工)11的展開式中，

X

(1)若"=6,求展開式中的有理項(xiàng)；

(2)若第4項(xiàng)的系數(shù)與第6項(xiàng)的系數(shù)比為5：6,求二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的系數(shù)之和.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（I）先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令X的事指數(shù)等于整數(shù)，求得，?的值,

即可求得展開式中的有理項(xiàng).

（2）由題意，先求出〃的值，令再χ=-l,可得要求二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的系數(shù)之和.

【解答】解：（I）二項(xiàng)式（%-2）n的展開式中，若〃=6,則二項(xiàng)式（五一2）n=

XX

Q96

（Vx-—）,

X

6-4r

它的展開式中的通項(xiàng)公式為TrH=CF（-2）r??,

v6x

令r=0,3,6,可得展開式的有理項(xiàng)為Ti=

=-儂，r=6.（-）6.-6=64.

27c2Λ

X,6χ6

??（-2）3c

（2）若第4項(xiàng)的系數(shù)與第6項(xiàng)的系數(shù)比為5：6,即T-------F=立，.?."=7,

?√-2）56

故二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的系數(shù)之和為（1-2）7=-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式的系數(shù)

和常用的方法是賦值法，屬于基礎(chǔ)題.

21.（2023春?山東月考）已知（毛）+3χ2）n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)和大992.

（1）求展開式中的有理項(xiàng)；

（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知求得〃=5.

（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，即可求解；