1.2.2直線的兩點(diǎn)式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并掌握直線方程的兩點(diǎn)式.2.能用直線的兩點(diǎn)式方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

1|直線的兩點(diǎn)式方程名稱兩點(diǎn)式已知條件直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)圖形

方程形式①

=

適用條件直線不垂直于x軸和y軸2|直線的截距式方程名稱截距式已知條件直線在x,y軸上的截距分別為a,b,且a≠0,b≠0圖形

方程形式②

+

=1

適用條件直線不垂直于x軸和y軸,且不過原點(diǎn)

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn),則直線一定存在兩點(diǎn)式方程.

(

?)提示:直線的兩點(diǎn)式方程是

=

,只有當(dāng)x1≠x2,且y1≠y2時(shí),兩點(diǎn)式方程才存在.P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)兩點(diǎn)的直線的方程是

=

,也可以是

=

.

(√)

=

和方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示的直線完全相同.

(

?)提示:兩個(gè)方程表示的直線不一定相同,方程

=

表示不垂直于坐標(biāo)軸的直線,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示經(jīng)過任意兩點(diǎn)的直線,此時(shí)只要直線上的

兩點(diǎn)不重合,直線都可以用(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示.4.能用兩點(diǎn)式方程表示的直線也可用點(diǎn)斜式方程表示.

(√)提示:能用兩點(diǎn)式方程表示的直線必不垂直于坐標(biāo)軸,從而斜率一定存在,即可用

點(diǎn)斜式方程表示.

+

=1表示.(

?)提示:經(jīng)過原點(diǎn)和垂直于坐標(biāo)軸的直線都不可以用截距式表示.

1|直線的兩點(diǎn)式方程

運(yùn)用直線的兩點(diǎn)式方程時(shí)的注意事項(xiàng)(1)已知直線上的兩點(diǎn),首先判斷直線是否垂直于坐標(biāo)軸.若直線垂直于坐標(biāo)軸,則

直接寫出方程;若直線不垂直于坐標(biāo)軸,則可根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線的方程.(2)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí),一定要注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系.(3)對于兩點(diǎn)式中的兩點(diǎn),只要是直線上的兩個(gè)不同點(diǎn)即可,兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)

點(diǎn)的順序無關(guān).

如圖,某地長途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李,如果超過規(guī)

定,則需要購買行李票,行李票費(fèi)用y(元)與行李質(zhì)量x(千克)的關(guān)系用直線AB的方

程表示.(1)求直線AB的方程;(2)問旅客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李?思路點(diǎn)撥(1)根據(jù)圖象上的兩點(diǎn),用方程的兩點(diǎn)式求直線AB的方程;(2)令y=0,解得x的值,即為旅客可免費(fèi)攜帶行李的最大質(zhì)量.解析

(1)直線AB過A(60,6),B(80,10)兩點(diǎn),由直線的兩點(diǎn)式方程,得

=

,即x-5yAB的方程是x-5y-30=0.(2)令y=0,解得x=30,即旅客最多可免費(fèi)攜帶30千克的行李.解題模板此類問題的求解關(guān)鍵是根據(jù)圖象特征,利用直線上的點(diǎn)探求直線的方程,再

根據(jù)方程解決實(shí)際問題.2|直線的截距式方程

運(yùn)用直線的截距式方程時(shí)的注意事項(xiàng)(1)方程

+

=1中,要求a,b同時(shí)存在,且a≠0,b≠0,即兩個(gè)截距同時(shí)存在且都不為0,因此它不能表示過坐標(biāo)原點(diǎn)和垂直于x軸、y軸的直線.(2)若題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一

坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m>0)”等條件時(shí),可采用截距式求直

線的方程,但一定要注意考慮“零截距”的情況.已知直線l過點(diǎn)P(3,2).(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù),求直線l的方程;(2)若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),求△ABO面積的最小值及此

時(shí)直線l的方程.思路點(diǎn)撥已知直線過一定點(diǎn),且給出了直線在坐標(biāo)軸上截距的限定條件,因此可選擇直線

的截距式方程來解決問題.解析

(1)①當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí),直線l的方程為y=

x,即2x-3y=0;②當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí),可設(shè)直線l的方程為

+

=1,即x-y=a,又∵直線l過點(diǎn)P(3,2),∴3-2=a,解得a=1,∴l(xiāng)的方程為x-y-1=0.綜上所述,直線l的方程是2x-3y=0或x-y-1=0.(2)設(shè)A(a,0)、B(0,b)(a>0,b>0),則直線l的方程為

+

=1.∵直線l過點(diǎn)P(3,2),∴

+

=1.由a>0,b>0,得1=

+

≥2

,因此ab≥24,當(dāng)且僅當(dāng)

=

=

,即a=6,b=4時(shí)取等號.∴S△ABO