第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)

的應(yīng)用習(xí)題課Ⅰ微分中值定理Ⅱ洛必達(dá)法那么與泰勒公式Ⅲ導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、微分中值定理

1．羅爾定理2．拉格朗日中值定理3．柯西中值定理在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一使在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),，則至少存在一使則至少存在一使Ⅰ微分中值定理

三、三個(gè)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系

拉格朗日中值定理羅爾定理柯西中值定理二、判別的方法

若，則

一、洛必達(dá)法那么1．洛必達(dá)法那么：

①函數(shù)與都趨向于0(或);

②

與都存在,且;

③

存在(或?yàn)闊o(wú)窮大).那么

設(shè)在

的某一趨向下,函數(shù)與滿足:Ⅱ洛必達(dá)法那么與泰勒公式其它型：

轉(zhuǎn)化為“”型或“”型2．適用類型：未定式基本型：“”型“”型，運(yùn)用洛比達(dá)法則求.1．泰勒公式拉格朗日型余項(xiàng)

佩亞諾型余項(xiàng)

如果函數(shù)在含有一點(diǎn)的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)2．麥克勞林公式拉格朗日型余項(xiàng)

佩亞諾型余項(xiàng)

泰勒公式拉格朗日中值定理3.泰勒公式與中值定理的聯(lián)系n＝04．常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式(佩亞諾型余項(xiàng))一、函數(shù)的極值與單調(diào)性

1．函數(shù)極值的定義2．函數(shù)的駐點(diǎn)

則為的駐點(diǎn)。

在上，若，則單調(diào)增加；

若，則單調(diào)減少；

為極大值.)(),()(),,(000。xfxfxfxUx￡?dⅢ導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判別函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).2．函數(shù)的拐點(diǎn)稱曲線為凹的；

稱曲線為凸的。

二、函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)凹弧與凸弧的分界點(diǎn)。

凹；凸。

1．函數(shù)凹凸性定義函數(shù)在[a,b]上連續(xù)3．函數(shù)凹凸性的判別函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),在(a,b)內(nèi)1．第一充分條件三、函數(shù)極值的充分條件則在處取得極大值；則在處取得極小值；（3）若

時(shí)，的符號(hào)保持不變，則在處沒有極值；（1）若

時(shí)，而

時(shí)，（2）若

時(shí)，而

時(shí)，函數(shù)在處連續(xù),在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)2．第二充分條件（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值；（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值；設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且，，那么

四.求函數(shù)極值的解題方法求的極值為極大值求定義域?yàn)轳v點(diǎn)變號(hào)由正到負(fù)Yes第一充分條件第二充分條件Yes在內(nèi)求的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)為極小值為極值為極值在變號(hào)為極小值為極大值非極值YesNoNoNoNoNo解題方法流程圖

中值定理典型例題

定理的三個(gè)條件?！纠?】若方程有一個(gè)正根,證明方程必有一個(gè)小于的正根.分析如果令，無(wú)法判定,所以不能利用零點(diǎn)定理,考慮利用羅爾定理證明。的左端函數(shù),其次在題設(shè)的相應(yīng)區(qū)間上滿足羅爾首先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)使，其中是欲證方程

證明:設(shè)由羅爾定理，存在使

即這說明就是方程的一個(gè)小于

的正根.上連續(xù)且可導(dǎo)，由題設(shè)易知多項(xiàng)式函數(shù)在【例2】證明方程至少有一個(gè)正根，其中是任意常數(shù)。零點(diǎn)定理,考慮利用羅爾定理證明。因此構(gòu)造函數(shù)分析如果令，由于在范圍內(nèi),不能找到區(qū)間，使得,所以不能利用由于要證明方程至少存在根，所以，要在的范圍內(nèi)找到一個(gè)閉區(qū)間

，使得。通過觀察

的系數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)

所以選取，因此，對(duì)應(yīng)用羅爾定理即可證明。

證明：令取區(qū)間顯然在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且即應(yīng)用羅爾定理知，存在，使得構(gòu)造函數(shù)因此，方程至少有一個(gè)正根。

【例3】

設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.證明存在一點(diǎn)使羅爾定理的條件，且從中能得出.由于結(jié)論是兩項(xiàng)和，故為兩個(gè)函數(shù)乘積的形式。將

分析從結(jié)論看等價(jià)于方程有實(shí)根，但若利用零點(diǎn)定理，無(wú)法驗(yàn)證

，所以采用羅爾定理證明。關(guān)鍵是找,使在上滿足換為若令則結(jié)論為證明:令且,故由羅爾定理知,使即由已知條件知

在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，【例4】

設(shè)證明：

分析將所證不等式變形為

,可見,此題類型為利用拉格朗日中值定理證明不等式。只要對(duì)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.

證明:對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理,即故或得顯然有【例5】

設(shè),函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),試證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使成立.分析

將所證等式變形為或

可見，應(yīng)對(duì)

與在上應(yīng)用證明:設(shè)由題設(shè)知,與在上滿足柯西中值定理的條件。由柯西中值定理可知，柯西中值定理.總結(jié)：利用中值定理證明相關(guān)命題，關(guān)鍵是根據(jù)題目的特點(diǎn)，尋找適宜的定理及相應(yīng)的輔助函數(shù)。步驟如下：〔1〕構(gòu)造輔助函數(shù)；〔2〕確定區(qū)間；〔3〕驗(yàn)證定理?xiàng)l件。亦即在內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使即分析證明函數(shù)恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推論：【例6】證明證明：設(shè)因故上是一個(gè)常數(shù).（為常數(shù)）

又因

所以即顯然

從而有

如果函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么

在區(qū)間洛必達(dá)法那么與泰勒公式典型例題【例1】計(jì)算

解:（型）分析當(dāng)分子分母均趨近于0,為型,

用洛必達(dá)法則計(jì)算.【例2】計(jì)算

解：

（型）（型）分析當(dāng)分子分母均趨近于0,為型,

用洛必達(dá)法則計(jì)算.【例3】計(jì)算解：等價(jià)無(wú)窮小代換（型）分析當(dāng)分子分母均趨近于0,為型,

用洛必達(dá)法則計(jì)算.【例4】計(jì)算

解：

(型)

(型)

分析當(dāng)時(shí),函數(shù)式為型,

將其化為或型.【例5】計(jì)算

解：

(型)（型）（型）分析當(dāng)時(shí),函數(shù)式為型,

將其化為或型.【例6】求

解：

(型)令

（型）分析當(dāng)時(shí),函數(shù)式為型,

將其化為或型.【例7】計(jì)算解:(型)

分析當(dāng)時(shí),函數(shù)式為型,

將其化為或型,再運(yùn)用洛必達(dá)法那么計(jì)算.(型)

（型）使用洛必達(dá)法那么求極限應(yīng)注意的問題①洛必達(dá)法那么可反復(fù)使用,但是要注意驗(yàn)證洛必達(dá)法那么的條件.②單純應(yīng)用洛必達(dá)法那么可能導(dǎo)致繁雜的計(jì)算，注意把求極限的多種方法綜合運(yùn)用〔如等價(jià)無(wú)窮小代換、兩個(gè)重要極限、變量替換等〕，并利用極限運(yùn)算法那么及時(shí)化簡(jiǎn)非零因子，可使計(jì)算簡(jiǎn)捷?！纠?】將函數(shù)

在點(diǎn)處展成一階及三階的泰勒公式，并寫出相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng)。解：因

所以

一階泰勒公式為余項(xiàng)為：

其中在與之間.三階泰勒公式為余項(xiàng)為:0.【例9】求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式。

解：將

按展開n階泰勒公式,即在處展開.因?yàn)?/p>

所以

則的n階泰勒公式為:即

在－1與之間.【例10】求函數(shù)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的n階麥克

勞林公式。解：求

的n階麥克勞林公式,即在處展開.因所以

的n階麥克勞林公式:則即

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用典型例題

解:【例1】確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

因?yàn)?，故知的不可?dǎo)點(diǎn)僅有,令

，得，。從而有當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)增加；

當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

【例2】設(shè)可微函數(shù)由方程所確定，

試確定此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:在方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即。令，得，。從而有當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)減少；

【例3】當(dāng)時(shí),

證明：設(shè)故

在上單調(diào)增加，而

因此

即因?yàn)椤纠?】證明：當(dāng)時(shí)，有不等式.證明：設(shè),則；從而在內(nèi)單調(diào)增加，即有

因此在內(nèi)單調(diào)增加，于是有

即

亦即

【例5】試確定函數(shù)中的，使得

為函數(shù)的駐點(diǎn)，點(diǎn)為函數(shù)的拐點(diǎn)，并求出拐點(diǎn).解：，。由于點(diǎn)為拐點(diǎn)，必有,即，。又點(diǎn)

為駐點(diǎn)，必有，即，

從而函數(shù)為，注意到

當(dāng)時(shí)，，圖形是凸的；

當(dāng)時(shí)，，圖形是凹的；

而。故曲線

的拐點(diǎn)為?！纠?】求函數(shù)

的極值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

（2）

（3）令得駐點(diǎn)；〔4〕利用第一充分條件。當(dāng)

時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.同理在

處取得極大值,極大值為.此題的第四步也可用第二充分條件來(lái)判別：因而,函數(shù)在處取得極小值，極小值為

.〔4’〕利用第二充分條件。所以，

在處取得極小值,極小值為;【例7】求函數(shù)

的極值.解：函數(shù)的定義域

為令

,得駐點(diǎn),且在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),而無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn).在處取得極大值，且極大值為

.從而，函數(shù)在

處取得極小值，極小值為0.【例8】求函數(shù)

的極值.解：（1）函數(shù)的定義域

為;（2）當(dāng)時(shí),

;當(dāng)時(shí),不存在.（3）函數(shù)在內(nèi)無(wú)駐點(diǎn),只有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn);（4）由于在內(nèi),,函數(shù)單調(diào)增加;在內(nèi),,函數(shù)單調(diào)減少;極大值為.又函數(shù)在處連續(xù),于是函數(shù)